《黑龍江省虎林高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件 新人教A版選修45》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《黑龍江省虎林高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件 新人教A版選修45（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、式式用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明不不等等二二.納納法法證證明明不不等等式式歸歸進(jìn)進(jìn)一一步步討討論論如如何何用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)下下面面我我們們結(jié)結(jié)合合具具體體例例題題.,:;,:.?, 512256128643216842281644936251694112nnnnnbnaba證證明明你你的的結(jié)結(jié)論論小小于于從從第第幾幾項(xiàng)項(xiàng)起起觀觀察察下下面面兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列例例 .,.,的情形的情形步應(yīng)證步應(yīng)證第第猜想時(shí)猜想時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述用數(shù)學(xué)歸納法證明上述即即項(xiàng)起項(xiàng)起從第從第由數(shù)列的前幾項(xiàng)猜想由數(shù)列的前幾項(xiàng)猜想分析分析515252 nnNnnbannn .,命題成立時(shí)有當(dāng)證明522551 n .,kk
2、kkn2522 即有時(shí)命題成立假設(shè)當(dāng) 121122 kkkkn因?yàn)闀r(shí)當(dāng).kkkkk3222 2222kkk .1222 kk .,時(shí)命題成立即所以12112 knkk .,52212 nNnnn可知由?的理由中嗎的理由中嗎你能說(shuō)出證明中每一步你能說(shuō)出證明中每一步 .|sin|sin| Nnnn證明不等式證明不等式例例2.,對(duì)值不等式對(duì)值不等式用三角函數(shù)的性質(zhì)及絕用三角函數(shù)的性質(zhì)及絕應(yīng)注意利應(yīng)注意利在證明遞推關(guān)系時(shí)在證明遞推關(guān)系時(shí)又與絕對(duì)值有關(guān)又與絕對(duì)值有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題的三角函數(shù)問(wèn)題這是一個(gè)涉及正整數(shù)這是一個(gè)涉及正整數(shù)分析分析n .,|sin|,式成立不等右邊上式左邊時(shí)當(dāng)證明 11n . |s
3、in|sin|,kkkkn 即有不等式成立時(shí)假設(shè)當(dāng)12,時(shí)當(dāng)1 kn |sincoscossin|sin|kkk 1|sincos|cossin|kk |sin|cos|cos|sin| kk|sin|sin| k|sin|sin| k . |sin|1 k.時(shí)不等式成立所以當(dāng)1 kn .,均成立不等式對(duì)一切正整數(shù)可知由n21?的理由中嗎的理由中嗎你能說(shuō)出證明中每一步你能說(shuō)出證明中每一步 .,:nxxnxxxBernoullin 111013那么有那么有的自然數(shù)的自然數(shù)為大于為大于且且是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)如果如果不等式不等式證明貝努利證明貝努利例例.,進(jìn)行歸納進(jìn)行歸納對(duì)對(duì)我們用數(shù)學(xué)歸納法只能我們用數(shù)學(xué)
4、歸納法只能的自然數(shù)的自然數(shù)是大于是大于的任意實(shí)數(shù)的任意實(shí)數(shù)且不等于且不等于于于表示大表示大個(gè)字母?jìng)€(gè)字母貝努利不等式中涉及兩貝努利不等式中涉及兩分析分析nnx101 .,不等式成立得由于時(shí)當(dāng)證明xxxxxn2121102122 .,kxxkknk 1122即有時(shí)不等式成立假設(shè)當(dāng) kkxxxkn 11111,時(shí)當(dāng) kxx 1121kxkxx . xk11 .時(shí)不等式成立所以當(dāng)1 kn .,貝努利不等式成立可知由21?的的理理由由中中嗎嗎你你能能說(shuō)說(shuō)出出證證明明中中每每一一步步 .,.,成立成立的正整數(shù)的正整數(shù)對(duì)一切不小于對(duì)一切不小于到不等式到不等式由貝努利不等式不難得由貝努利不等式不難得時(shí)時(shí)且且是
5、實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)當(dāng)當(dāng)例如例如揮作用揮作用法證明不等式中可以發(fā)法證明不等式中可以發(fā)這在數(shù)值故計(jì)和放縮這在數(shù)值故計(jì)和放縮形式形式縮小為簡(jiǎn)單的縮小為簡(jiǎn)單的方方式把二項(xiàng)式的乘式把二項(xiàng)式的乘人們經(jīng)常用貝努利不等人們經(jīng)常用貝努利不等在數(shù)學(xué)研究中在數(shù)學(xué)研究中nxnxxxxxxnxxnn211110111 :,一般的形式一般的形式它們是貝努利不等式更它們是貝努利不等式更有類(lèi)似不等式成立有類(lèi)似不等式成立仍仍時(shí)時(shí)改為實(shí)數(shù)改為實(shí)數(shù)整數(shù)整數(shù)把貝努利不等式中的正把貝努利不等式中的正事實(shí)上事實(shí)上n .,11101 xxx有有時(shí)時(shí)或者或者并滿(mǎn)足并滿(mǎn)足是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)當(dāng)當(dāng) .,11110 xxx有有時(shí)時(shí)并且滿(mǎn)足并且滿(mǎn)足是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)當(dāng)當(dāng)
6、.,泛地應(yīng)用泛地應(yīng)用貝努利不等式可以被廣貝努利不等式可以被廣函數(shù)范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)函數(shù)范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)隨著指數(shù)隨著指數(shù)結(jié)果的證明結(jié)果的證明我們不在這里給出上述我們不在這里給出上述.,.,時(shí)命題成立時(shí)命題成立來(lái)證明來(lái)證明充分利用這樣聯(lián)系充分利用這樣聯(lián)系時(shí)命題之間的關(guān)系時(shí)命題之間的關(guān)系納假設(shè)與納假設(shè)與注意發(fā)現(xiàn)或設(shè)法創(chuàng)設(shè)歸注意發(fā)現(xiàn)或設(shè)法創(chuàng)設(shè)歸重要不等式重要不等式一些一些和和種方法種方法的各的各式式如前面學(xué)習(xí)的證明不等如前面學(xué)習(xí)的證明不等他條件及相關(guān)知識(shí)他條件及相關(guān)知識(shí)還要靈活利用問(wèn)題的其還要靈活利用問(wèn)題的其設(shè)設(shè)不僅要正確使用歸納假不僅要正確使用歸納假為完成這步證明為完成這步證明一步一步時(shí)命題成立這時(shí)命題成
7、立這時(shí)命題成立推出時(shí)命題成立推出由由難點(diǎn)往往出現(xiàn)在難點(diǎn)往往出現(xiàn)在等式等式使用數(shù)學(xué)歸納法證明不使用數(shù)學(xué)歸納法證明不111 knknknkn .,:naaaaaaaaannnnn 21212114那么它們的和那么它們的和積積的乘的乘個(gè)正數(shù)個(gè)正數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)如果如果證明證明例例.,.,要要遞遞推推的的目目標(biāo)標(biāo)心心中中有有數(shù)數(shù)由由它它并并對(duì)對(duì)什什么么是是歸歸納納假假設(shè)設(shè)和和的的條條件件正正數(shù)數(shù)的的乘乘積積為為個(gè)個(gè)應(yīng)應(yīng)注注意意利利用用用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明它它時(shí)時(shí)簡(jiǎn)簡(jiǎn)潔潔和和諧諧它它的的形形式式的的不不等等式式這這是是與與正正整整數(shù)數(shù)密密切切相相關(guān)關(guān)分分析析1n .,命題成立有時(shí)當(dāng)證明11
8、11 an .,kaaaaaakknkn 212112則個(gè)正數(shù)的乘積即若命題成立時(shí)當(dāng)假設(shè).,111121121 kkkkaaaaaaaakkn足條件滿(mǎn)個(gè)正數(shù)已知時(shí)當(dāng).,.,命題成立其和為是則它們都都相等個(gè)正數(shù)若這111121 kaaaakkk.,).(,.,11111121121121 aaaaaaaaakkkk不妨設(shè)矛盾否則與的數(shù)也有小于的數(shù)則其中必有大于不全相等個(gè)正數(shù)若這.,kaaaaaaaaaakaakkkk 13211321211歸納假設(shè)可以得到由的乘積是個(gè)正數(shù)樣就得到這看著一個(gè)數(shù)我們把乘積為利用歸納假設(shè). 11321 kaaaaakk要證的目標(biāo)是.,用用討論的作討論的作回味這樣回味這
9、樣面的證明面的證明請(qǐng)結(jié)合下請(qǐng)結(jié)合下.就得到則 .,.,時(shí)命題成立當(dāng)就是說(shuō)這于是目標(biāo)得證即得由110111121212121 knaaaaaaaa .,成立那么它們的和的乘積個(gè)正數(shù)如果對(duì)一切正整數(shù)可知由naaaaaaaaannnnn 212121121,12121 aaaa若有可以發(fā)現(xiàn)對(duì)比 .,它它們們起起了了什什么么作作用用了了哪哪些些式式子子變變形形證證出出遞遞推推關(guān)關(guān)系系做做為為了了利利用用歸歸納納假假設(shè)設(shè)以以及及體體會(huì)會(huì)其其中中的的證證明明過(guò)過(guò)程程回回顧顧例例探探究究41 ?),(,均均值值不不等等式式嗎嗎個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)的的你你能能得得出出是是正正數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)考考慮慮的的結(jié)結(jié)論論利利用用例例naaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnn 212121221142
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