2019高考物理 快速提分法 模型十三 帶點(diǎn)粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)學(xué)案（含解析）

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1、帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 經(jīng)典例題如圖1所示，真空中相距d=5cm的兩塊平行金屬板A、B與電源連接（圖中未畫(huà)出），其中B板接地（電勢(shì)為零）。A板電勢(shì)變化的規(guī)律如圖2所示。將一個(gè)質(zhì)量m=2.0×10－27kg，電量q=＋1.6×10－19C的帶電粒子從緊臨B板處釋放，不計(jì)重力。求： (1)在t=0時(shí)刻釋放該帶電粒子，釋放瞬間粒子加速度的大??； (2)若A板電勢(shì)變化周期T=1.0×10－5s，在t=0時(shí)將帶電粒子從緊臨B板處無(wú)初速釋放，粒子到達(dá)A板時(shí)速度的大?。? (3)A板電勢(shì)變化周期多大時(shí)，在t=T/4時(shí)刻從緊臨B板處無(wú)初速釋放該帶電粒子，粒子恰能到達(dá)A板。 分析與解答：（

2、1）電場(chǎng)強(qiáng)度E=Ud，帶電粒子所受電場(chǎng)力F=qE=Uqd，F(xiàn)=ma, 解得a=Uqdm=4.0×109m/s2； （2）粒子在0~T2時(shí)間內(nèi)走過(guò)的距離為12a(T2)2=5.0×10-2m 故帶電粒子在t=T2時(shí)，恰好到達(dá)A板， 根據(jù)動(dòng)量定理，此時(shí)粒子動(dòng)量p=Ft=4.0×10-23kg?m/s， 又P=mv，解得v=2.0×104m/s； （3）帶電粒子在T4~T2向A板做勻加速運(yùn)動(dòng)，在T2~3T4向A板做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后將返回．粒子向A板運(yùn)動(dòng)可能的最大位移s=2×12a(T4)2=116aT2 要求粒子恰能到達(dá)A板，有s=d，可得T=5.0×10-2×164.0×10

3、9=2×10-5s． 變式1如圖甲所示，電荷量為q=1×10-4C的帶正電的小物塊置于粗糙絕緣水平面上，所在空間存在方向沿水平向右的電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小與時(shí)間的關(guān)系如圖乙所示，物塊運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間t的關(guān)系如圖丙所示，取重力加速度g=10m/s2。 求： （1）物塊所受的摩擦力大小和0~1秒內(nèi)的加速度大小。 （2）物塊的質(zhì)量。 （3）前2秒內(nèi)電場(chǎng)力做的功。 分析與解答：（1）1-2s，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有物塊所受的摩擦力大小f=qE2=2N 0~1秒內(nèi)的加速度大小a=Δvt=2m/s2 （2）0-1s時(shí)間內(nèi)由牛頓第二定律可得qE1-f=ma 解得m=0.5kg （

4、3）0~1秒內(nèi)的位移s1=12vt=1m 第1秒內(nèi)電場(chǎng)力做的功W1=qE1s1=3J 第2秒內(nèi)電場(chǎng)力做的功W2=qE2s2=4J 前2秒內(nèi)電場(chǎng)力做的功W=W1+W2=7J 變式2一個(gè)質(zhì)量為9.1×10－31 kg，電荷量為+1.6×10－19 C的帶點(diǎn)粒子（不計(jì)重力），以v0＝4×107 m/s的初速度逆著勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線方向飛入勻強(qiáng)電場(chǎng)，已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E＝2×105 N/C，求：（結(jié)果保留二位有效數(shù)字） (1)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大??； (2)粒子進(jìn)入電場(chǎng)的最大距離； (3)粒子進(jìn)入電場(chǎng)最大距離的一半時(shí)的動(dòng)能 分析與解答：(1)電子沿著勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線方向飛入

5、，僅受電場(chǎng)力作用，做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，得：qE=ma， a=qEm=3.5×1016 m/s2 (2) 電子做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得： v02=2ax，得：x= 2.3×10－2 m (3) 根據(jù)動(dòng)能定理可得 qEx2=EK-12mv02代入數(shù)據(jù)得EK=3.6×10－16 J 變式3如圖所示,一根長(zhǎng)為l的不可伸長(zhǎng)的細(xì)絲線一端固定于O點(diǎn),另一端系住一個(gè)質(zhì)量為m的帶電小球.將此裝置放在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E中,待小球穩(wěn)定后,細(xì)絲線與豎直方向夾角為α.求: (1)小球帶什么電,電荷量為多少？ (2)剪斷繩子后小球做什么運(yùn)動(dòng)？ 分析與解答：（1）對(duì)小球進(jìn)行受力分析

6、：由于小球所受電場(chǎng)力水平向右，E的方向水平向右，所以小球帶正電。小球受力如圖所示，有：qE=mgtanα 即：q=mgtanαE （2）剪斷細(xì)繩后，小球受重力和電場(chǎng)力，其合力方向沿細(xì)繩方向斜向下，則小球?qū)⒀丶?xì)繩的方向做初速度是零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。 變式4如圖所示，空間某區(qū)域存在足夠大的水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E=2×104 N/C，將一長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m的不可伸長(zhǎng)的絕緣細(xì)線一端固定于O點(diǎn)，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m=0.1 kg的可視為質(zhì)點(diǎn)小球，小球帶電量q= +5 ×l0-5 C，現(xiàn)將絕緣細(xì)線AO拉至與電場(chǎng)線平行位置，且細(xì)線剛好拉直，讓小球從A處?kù)o止釋放，取g= 10 m/s2，求： (1)小球

7、第一次到達(dá)O點(diǎn)正下方的B點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力F; (2)小球從A運(yùn)動(dòng)到B過(guò)程中，小球的最大速度vm； (3)若讓小球在如圖所示的豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則需在A處給小球一個(gè)垂直于細(xì)線的初速度vo，求vo的最小值。（以上結(jié)果可用根式表示） 分析與解答：（1）因mg=1N，qE=1N，則小球沿圓弧運(yùn)動(dòng)，由A到B由動(dòng)能定理：12mvB2=mgL-EqL解得vB=0， 則F=mg=1N （2）依題意小球運(yùn)動(dòng)到AB圓弧中點(diǎn)C時(shí)，速度最大，由A到C由動(dòng)能定理：mgLsin450-qEL(1-cos450)=12mvm2 解得：vm=25(2-1)m/s （3）由題意可知，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓周上與C

8、點(diǎn)對(duì)稱的D處時(shí)，有：2mg=mvD2L 由A到D由動(dòng)能定理：-mgLsin450-qEL(1+cos450)=12mvD2-12mv02 解得：v0=302+20m/s 經(jīng)典例題如圖所示，一束電子(電荷量為e)以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，穿透磁場(chǎng)時(shí)速度方向與原來(lái)入射方向的夾角為θ＝30°，求： (1)確定圓心位置，做出運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)動(dòng)半徑多大？ (2)電子的質(zhì)量多大？ (3)穿透磁場(chǎng)的時(shí)間是多少？ 分析與解答：（1）電子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只受洛倫茲力作用，故其軌跡是圓弧的一部分，又因?yàn)锽⊥v，故圓心在電子穿入和穿出磁場(chǎng)時(shí)受到洛倫茲力指向交點(diǎn)上，由

9、幾何知識(shí)知，AB對(duì)應(yīng)的圓心角 θ=30°，由幾何知識(shí)可得：電子的軌跡半徑 r=dsinθ=2d；軌跡如圖； （2）又由qvB=mv2r，得：m=qBrv=2eBdv （3）AB弧的圓心角是30°，則電子穿越磁場(chǎng)的時(shí)間為：t=θ360T=30°360°?2πrv=πd3v． 變式1如圖，正三角形ABC內(nèi)有B＝0.1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向外，在BC邊右側(cè)有平行于BC足夠長(zhǎng)的擋板EF，已知B點(diǎn)到擋板的水平距離BD＝0.5m。某一質(zhì)量m＝4×10－10kg，電荷量q＝1×10－4C的帶正電粒子，以速度v0＝1×104m/s自A點(diǎn)沿磁場(chǎng)中的AB邊射入，恰可從BC邊水平射出打到擋板上。

10、不計(jì)粒子重力。 （1）求粒子從BC邊射出時(shí)，射出點(diǎn)距C點(diǎn)的距離； （2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。（本題計(jì)算結(jié)果可以保留根號(hào)） 分析與解答：（1）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖， 粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)qvB=mv2r，半徑r=mvqB＝0.4m 射出點(diǎn)距C點(diǎn)的距離MC＝r-rsin300cos300=2153m ⑵磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝6003600×2πrv0＝4π3×10－5s 變式2 一個(gè)質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P（a，0）點(diǎn)以速度v，沿與x正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強(qiáng)

11、磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。 分析與解答：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)受洛倫茲力作用偏轉(zhuǎn)，由左手定則可知，粒子帶負(fù)電；由射入、射出點(diǎn)的半徑可找到圓心O′，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況如圖： 由幾何關(guān)系得出半徑為r=2a3 由牛頓第二定律：qvB=mv2r 聯(lián)立解得：B=3mv2qa 射出點(diǎn)離O的距離為為d=r+rcos60°=3a 故射出點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3a) 變式3 如圖所示，兩平行金屬板P、Q水平放置，板間存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)帶正電的粒子在兩板間沿虛線所示路徑做勻速直線運(yùn)動(dòng)。粒子通過(guò)兩平行板后從O點(diǎn)進(jìn)入另一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在洛侖茲力的作用下，

12、粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周后打在擋板MN上的A點(diǎn)。測(cè)得O、A兩點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)。不計(jì)粒子重力。 （1）試判斷P、Q間的磁場(chǎng)方向； （2）求粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度大小v； （3）求粒子的電荷量與質(zhì)量之比qm。 分析與解答：（1）粒子做勻速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡（如圖所示）． 根據(jù)左手定則知，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里． （2）電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡，qE=qvB1， 解得v＝EB1． （3）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，qvB2＝mv2r， 又L=2r， 解得qm＝2ELB1B2． 變式4如圖所示，坐標(biāo)系xoy在豎直平面內(nèi)，y軸的正方向豎直向上，y軸的右側(cè)廣大空間存在水

13、平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)E1=2N/C，y軸的左側(cè)廣大空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和電場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，B=1T，電場(chǎng)方向豎直向上，E2=2N/C。t=0時(shí)刻，一個(gè)帶正電的質(zhì)點(diǎn)在O點(diǎn)以v=2m/s的初速度沿著與x軸負(fù)方向成450角射入y軸的左側(cè)空間，質(zhì)點(diǎn)的電量為q=10-6C，質(zhì)量為m=2×10-7kg，重力加速度g=10m/s2。求： （1）質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)射入后第一次通過(guò)y軸的位置； （2）質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)射入到第二次通過(guò)y軸所需時(shí)間； 分析與解答：（1）質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)進(jìn)入左側(cè)空間后，所受電場(chǎng)力：qE=2×10-6N=mg 電場(chǎng)力與重力平衡，質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力充當(dāng)向心力qvB=mv2R 則：R

14、=mvqB=0.4m 質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)y軸的位置：y1=2R=225m （2）質(zhì)點(diǎn)的1/4個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t1=14×2πmqB=π10s 質(zhì)點(diǎn)到達(dá)右側(cè)空間時(shí)，F(xiàn)合=Eq2+mg2=2mg 由牛頓第二定律得：a=2mgm=2g 且F合與v反向，質(zhì)點(diǎn)做有往返的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，往返時(shí)間t2=2×va=25s 質(zhì)點(diǎn)從剛射入左側(cè)空間到第二次通過(guò)y軸所需的時(shí)間：t=t1+t2=π+2210s。 變式5如圖所示，半徑為r的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ與x軸相切于坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1，方向垂直于紙面向外．磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ右側(cè)有一長(zhǎng)方體加速管，加速管底面寬度為2r，軸線與x軸平行且過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的

15、圓心，左側(cè)的電勢(shì)比右側(cè)高U=2qB12r2m．在加速管出口下側(cè)距離2r處放置一寬度為2r的熒光屏．加速管右側(cè)存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ．在O點(diǎn)處有一個(gè)粒子源，能沿紙面向y>0的各個(gè)方向均勻地發(fā)射大量質(zhì)量為m、帶電荷量為q且速率相同的粒子，其中沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子，恰能沿軸線進(jìn)入長(zhǎng)方形加速管并打在熒光屏的中心位置．不計(jì)粒子重力及其相互作用，求： （1）粒子剛進(jìn)入加速管時(shí)的速度大??； （2）磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2（用B1表示）； （3）若磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2減小10%，求熒光屏上有粒子到達(dá)的范圍？ 分析與解答：（1）磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)軌道半徑為r，qvB1

16、=mv2r 解得v=qB1rm （2）經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)：qU=12mv22-12mv2 解得：v2=5qB1rm 粒子在磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ的軌道半徑為2r，qv2B2=mv222r 解得B2=52B1 （3）粒子經(jīng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ后，其速度方向均與x軸平行；經(jīng)證明可知：OO1CO2是菱形，所以CO2和y軸平行，v和x軸平行． 磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2減小10%，即B2'=910B2，r2'=109r2=209r 熒光屏上方?jīng)]有粒子到達(dá)的長(zhǎng)度為d=2r2'-2r2=49r 即熒光屏上有粒子到達(dá)的范圍是：距上端49r處到下端，總長(zhǎng)度149r 變式6如圖所示，坐標(biāo)空間中有場(chǎng)強(qiáng)為E=100 N/C的勻

17、強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=10-3T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸為兩種場(chǎng)的分界面，圖中虛線為磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為-q的帶電粒子從電場(chǎng)中坐標(biāo)位置(-1，0)處，以初速度vo=105 m/s沿x軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，且已知帶電粒子的比荷qm= 108 C/kg，粒子的重力忽略不計(jì)，則： (1)求帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大?。? (2)為使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，求磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿足的條件。 分析與解答：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的加速度為a，由牛頓第二定律可得：qE=ma 設(shè)粒子出電場(chǎng)、入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v，此時(shí)在y方向的分速度為vy，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

18、的時(shí)間為t，則：vy=at l=v0t 解得vy=v0 v=v02+vy2=2v0=2×105m/s （2）設(shè)v的方向與y軸夾角為θ，則有cosθ=vyv=22可得θ=450 粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖：則有：qvB=mv2R 可得R=mvqB 要使粒子穿越磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的寬度應(yīng)滿足的條件：d0的區(qū)域存在方向沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，在y<0的區(qū)域存在方向垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一個(gè)氕核11H和一個(gè)氘核

19、12H先后從y軸上y=h點(diǎn)以相同的動(dòng)能射出，速度方向沿x軸正方向.已知11H進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度方向與x軸正方向的夾角為60°，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O處第一次射出磁場(chǎng)。11H的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)重力。求 （1）11H第一次進(jìn)入磁場(chǎng)的位置到原點(diǎn)O的距離 （2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小 （3）12H第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的位置到原點(diǎn)O的距離 分析與解答：（1）11H在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向：x1=v1t1，豎直方向：h=12a1t12， 粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)豎直分速度：vy=a1t1=v1tan60°， 解得：x1=233h； （2）11H在電場(chǎng)中的加速度：a1=qEm， 11H進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速

20、度：v=v12+(a1t1)2， 11H在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：由幾何知識(shí)得：x1=2r1sin60°， 11H在磁場(chǎng)中做勻速圓運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=mv2r1 解得：B=6mEqh； （3）由題意可知：11H和12H的初動(dòng)能相等，即：12mv12=12?2mv22， 由牛頓第二定律得：qE=2ma2， 12H在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)， 水平方向：x2=v2t2， 豎直方向：h=12a2t22， 12H進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度：v′=v22+(a2t2)2，sinθ'=vy2v2=a2t2v2， 解得：x2=x1，θ′=θ=60°，v′=22

21、v， 12H在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r'=2mv'qB=2r 射出點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，12H進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)到第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的出射點(diǎn)間的距離：x2′=2r′sinθ′， 12H第一次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置距離O點(diǎn)的距離為：d=x2′-x2， 解得：d=23(2-1)h3； 變式1在xoy平面內(nèi)，第Ⅲ象限內(nèi)的直線OM是電場(chǎng)與磁場(chǎng)的邊界，OM與負(fù)x軸成45°角.在x<0且OM的左側(cè)空間存在著負(fù)x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，場(chǎng)強(qiáng)大小為0.32N/C，在y<0且OM的右側(cè)空間存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為0.1T，如圖所示.一不計(jì)重力的帶負(fù)電微粒，從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向以v0=

22、2×103m/s的初速度進(jìn)入磁場(chǎng)，已知微粒的帶電量為q=5×10-18C，質(zhì)量為m=1×10-24kg，求： (1)帶電微粒第一次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)邊界的位置坐標(biāo)； (2)帶電微粒在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間； (3)帶電微粒最終離開(kāi)電、磁場(chǎng)區(qū)域的位置坐標(biāo)． 分析與解答：（1）帶電微粒從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖， 第一次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)邊界上的A點(diǎn)，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得：qv0B＝mv02r r＝mv0qB＝4×10?3m? A點(diǎn)位置坐標(biāo)（-4×10-3m，-4×10-3m） （2）設(shè)帶電微粒在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)＝2πmqB t=tOA+tAC=14T+34T 代入數(shù)

23、據(jù)解得t=T=1.256×10-5s? （3）微粒從C點(diǎn)沿y軸正方向進(jìn)入電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)a＝qEm △x＝12at12＝2r △y=v0t1 代入數(shù)據(jù)解得△y=0.2m?? y=△y-2r=（0.2-2×4×10-3）m=0.192m?? 離開(kāi)電、磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)?（0，0.192m）． 變式2如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，在y＜d的區(qū)域內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在d＜y＜2d的區(qū)域內(nèi)分布有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN為電場(chǎng)和磁場(chǎng)的邊界，在y=2d處放置一垂直于y軸的足夠大金屬擋板，帶電粒子打到板上即被吸收，一質(zhì)量為m、電量為＋q的粒子以初速度v0由坐標(biāo)原點(diǎn)O

24、處沿x軸正方向射入電場(chǎng)，已知電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=3mv022qd，粒子的重力不計(jì)。 （1）求粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v的大小和方向； （2）要使粒子不打到擋板上，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足什么條件？ （3）通過(guò)調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可讓該粒子兩次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)后剛好通過(guò)x軸上x(chóng)=4d的點(diǎn)P（圖中未畫(huà)出），求此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。 分析與解答：(1)粒子在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力作用做類平拋運(yùn)動(dòng)，有加速度a=qEm vy2=2ad v=v02+vy2 設(shè)v與水平方向的夾角為θ，tanθ=vyv0 聯(lián)立解得：θ=600 v=2v0 (2)在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有qvB=mv2R 根據(jù)幾何關(guān)系可得

25、：要使粒子不打到擋板上，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：R+Rcosθ=d 聯(lián)立解得：B=3mv0qd 從而要滿足題意必須B﹥3mv0qd (3)在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有d=12at2 x=v0t 聯(lián)立解得：x=233d 由題，有2（2x-2R/sinθ）=4d 解得：R/=2（2-3）3d 又qvB/=mv2R/ 解得：B/=3（2+3）mv0qd 變式3如圖所示，在y>0的區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在y<0的區(qū)域內(nèi)有垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一電子（質(zhì)量為m、電量為e）從y軸上A點(diǎn)以沿x軸正方向的初速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。當(dāng)電子第一次穿越x軸時(shí)，恰好到達(dá)C點(diǎn)；當(dāng)電子第二次穿

26、越x軸時(shí)，恰好到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn).已知A、C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離分別為d、2d。不計(jì)電子的重力。求 （1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大??； （2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小； 分析與解答：電子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示： （1）電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)電子從A到C的時(shí)間為t1， 則2d=v0t ? d=12at2 ? a=eEm 解得???E=mv022ed （2）設(shè)電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v，v與x軸的夾角為θ，則tanθ=at1v0 解得θ=45°　 解得v=2v0 電子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，得evB=mv2r 由圖可知　r=2d 解得B=mv0ed 變式4如圖所示，在

27、兩個(gè)水平平行金屬極板間存在著豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為E=2×106N/C和B1=0.1T，極板的長(zhǎng)度l=33m，間距足夠大．在板的右側(cè)還存在著另一圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蛲?，圓形區(qū)域的圓心O位于平行金屬極板的中線上，圓形區(qū)域的半徑R=33m。有一帶正電的粒子以某速度沿極板的中線水平向右飛入極板后恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，飛出圓形磁場(chǎng)區(qū)域后速度方向偏轉(zhuǎn)了60°，不計(jì)粒子的重力，粒子的比荷qm=2×108C/kg。 （1）求粒子沿極板的中線飛入的初速度v0； （2）求圓形區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小

28、； （3）在其他條件都不變的情況下，將極板間的磁場(chǎng)B1撤去，為使粒子飛出極板后不能進(jìn)入圓形區(qū)域的磁場(chǎng)，求圓形區(qū)域的圓心O離極板右邊緣的水平距離d應(yīng)滿足的條件． 分析與解答：（1）粒子在極板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：qv0B1=qE，代入數(shù)據(jù)解得：v0=2×107m/s． （2）設(shè)粒子的初速度大小為v，粒子在極板間勻速直線運(yùn)動(dòng)，則：qvB1=qE 設(shè)粒子在圓形區(qū)域磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由牛頓第二定律得：qvB2=mv2r 粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子速度方向偏轉(zhuǎn)了60°，由數(shù)學(xué)知識(shí)可得：r=Rcot30° 解得：B2=0.1T （3）撤去磁場(chǎng)B1后粒子在極板間做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)在板間運(yùn)

29、動(dòng)時(shí)間為t，運(yùn)動(dòng)的加速度為a 飛出電場(chǎng)時(shí)豎直方向的速度為vy，速度的偏轉(zhuǎn)角為θ，由牛頓第二定律得：qE=ma 水平方向：l=vt，豎直方向：vy=at，tanθ=vyv 解得：tanθ=33，即θ=30° 設(shè)粒子飛出電場(chǎng)后速度恰好與圓形區(qū)域的邊界相切時(shí)，圓心O離極板右邊緣的水平距離為d，如圖所示： 由幾何關(guān)系得：d=Rsinθ-12，解得：d=32m 所以圓心O離極板右邊緣的水平距離d應(yīng)滿足d>32m（或d≥32m）。 變式5如圖所示，空間存在著方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和方向垂直于紙面向內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球Q靜置在光滑絕緣的水平高臺(tái)邊緣

30、，另一質(zhì)量為m不帶電的絕緣小球P以水平初速度v0向Q運(yùn)動(dòng)，v0=mg2qB，已知小球P、Q正碰過(guò)程中沒(méi)有機(jī)械能損失且電荷量不發(fā)生轉(zhuǎn)移，已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E=mgq，水平臺(tái)面距離地面高度h=2m2gq2B2，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。 （1）求P、Q兩球首次發(fā)生彈性碰撞后，小球Q的速度大小。 （2）P、Q兩球首次發(fā)生彈性碰撞后，經(jīng)多少時(shí)間小球P落地，落地點(diǎn)與平臺(tái)邊緣的水平距離多大？ 分析與解答：（1）P、Q兩球發(fā)生彈性碰撞，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，據(jù)此列式，可求得碰撞后小球Q的速度大小．（2）兩球碰撞后交換速度，Q球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期時(shí)間再次與

31、P球碰撞，交換速度，P球做平拋運(yùn)動(dòng)．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解即可． （1）小球PQ首次發(fā)生彈性碰撞時(shí)：mv0=mvP+mvQ 12mv02=12mvP2+12mvQ2 聯(lián)立解得：vP=0,vQ=v0=mg2qB （2）對(duì)于小球Q，由于qE=mg，故Q球做勻速圓周遠(yuǎn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，qv0B=mv02r 經(jīng)t1=T=2πmqB小球PQ再次發(fā)生彈性碰撞，由（1）可知碰后：v'P=v0=mg2qB，v'Q=0 小球P離開(kāi)平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋的時(shí)間為t2，t2=2hg=2mqB 所以，P與Q首次發(fā)生碰撞后到落地，經(jīng)過(guò)的時(shí)間t=2πmqB+2mqB=2mqB(1+π) 落地點(diǎn)與平臺(tái)

32、邊緣的水平距離xP=v'Pt=m2gq2B2 變式6如圖甲所示，在y≥0的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示；與x軸平行的虛線MN下方有沿+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=8π×103N/C。在y軸上放置一足夠大的擋板。t=0時(shí)刻，一個(gè)帶正電粒子從P點(diǎn)以v=2×104m/s的速度沿+x方向射入磁場(chǎng)。已知電場(chǎng)邊界MN到x軸的距離為π-210m，P點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為1.1m，粒子的比荷qm=106C/kg，不計(jì)粒子的重力。求粒子： ⑴ 在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)距x軸的最大距離； ⑵ ⑵連續(xù)兩次通過(guò)電場(chǎng)邊界MN所需的時(shí)間； ⑶ 最終打在擋板上的位置到坐標(biāo)原

33、點(diǎn)O的距離。 分析與解答：(1)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有qvB=mv2R 解得半徑R=0.2m 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，到x軸的最大距離ym=2R=0.4m (2)如答圖甲所示，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期 T=2πRv=2π×0.22×104=2π×10-5s 由磁場(chǎng)變化規(guī)律可知，它在0-3π2×10-5s(即0-34T) 時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)，接著沿-y方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)直至電場(chǎng)邊界C點(diǎn)， 用時(shí)t2=R+y0v=π2×10-5s=T4 進(jìn)入電場(chǎng)后做勻減速運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)，由牛頓定律得粒子的加速度：a=qEm=8π×109m/s2 粒子從C點(diǎn)減速至D再反

34、向加速至C所需的時(shí)間 t3=2va=2×2×1048π×109=π2×10-5s=T4 接下來(lái)，粒子沿+y軸方向勻速運(yùn)動(dòng)至A所需時(shí)間仍為t2，磁場(chǎng)剛好恢復(fù)，粒子將在洛倫茲力的作用下從A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)3π2×10-5s時(shí)間，粒子將運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，此后將重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)過(guò)程．所以粒子連續(xù)通過(guò)電場(chǎng)邊界MN有兩種可能： 第一種可能是，由C點(diǎn)先沿-y方向到D再返回經(jīng)過(guò)C，所需時(shí)間為t=t3=π2×10-5s 第二種可能是，由C點(diǎn)先沿+y方向運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)開(kāi)始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)一圈半后，從G點(diǎn)沿-y方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)至MN，所需時(shí)間為t'=T4+3T2+T4=2T=4π×10-5s (3)由上問(wèn)

35、可知，粒子每完成一次周期性的運(yùn)動(dòng)，將向-x方向平移2R(即答圖甲中所示從P點(diǎn)移到F點(diǎn))，OP=1.1m=5.5R，故粒子打在擋板前的一次運(yùn)動(dòng)如答圖乙所示，其中I是粒子開(kāi)始做圓周運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，J是粒子打在擋板上的位置，K是最后一段圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，Q是I點(diǎn)與K點(diǎn)連線與y軸的交點(diǎn)。 由題意知，QI=OP-5R=0.1m KQ=R-QI=0.1m=R2，則JQ=R2-(KQ)2=32R J點(diǎn)到O的距離JO=R+32R=2+310m≈0.37m 變式7如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy的第一象限有沿y軸負(fù)方向、場(chǎng)強(qiáng)為E＝200N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第二象限有垂直于xoy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量m＝

36、2.0×10－11kg，電量q＝1.0×10－5C帶正電的粒子，從負(fù)x軸上的A點(diǎn)以v＝1.0×104m/s的速度垂直x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，恰好垂直通過(guò)y軸上的P點(diǎn)并進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)電場(chǎng)后通過(guò)x軸上的Q點(diǎn)。已知OP的長(zhǎng)度h＝2m，不計(jì)粒子重力，求： (1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大?。? (2)OQ的長(zhǎng)度L； (3)粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的總時(shí)間t總。 分析與解答：(1)微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌道半徑為r， 由牛頓第二定律有：qvB=mv2r① 由幾何關(guān)系知:r=h② 由①②式代入數(shù)據(jù)解之得：B=0.01T ③ (2)設(shè)微粒在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t, 加速度為a，做類平拋運(yùn)動(dòng) 水平方向：L=vt④ 豎直方向：qE=ma⑤ h=12at2⑥ 聯(lián)立④⑤⑥式代入數(shù)據(jù)解之得：L=2m⑦ (3)由⑥式代入數(shù)據(jù)解之得：t=2×10－4s 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t1=T4=14?2πrv=3.14×10-4s 粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的總時(shí)間：t總=t1+t=5.14×10－4s. 19