2020年高中物理 第七章 萬(wàn)有引力與宇宙航行 4 宇宙航行學(xué)案 新人教版必修2

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1、4.宇宙航行 1．知道三個(gè)宇宙速度的含義，會(huì)推導(dǎo)第一宇宙速度。 2．認(rèn)識(shí)同步衛(wèi)星的特點(diǎn)。 3．了解人造地球衛(wèi)星的相關(guān)知識(shí)和我國(guó)衛(wèi)星發(fā)射的情況以及人類對(duì)太空的探索歷程。 1.宇宙速度 (1)第一宇宙速度的計(jì)算 ①物體在地球附近繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，太陽(yáng)的作用可以忽略。物體只受到指向地心的引力作用，物體繞地球的運(yùn)動(dòng)可視作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)地球的質(zhì)量為m地，物體的質(zhì)量為m，速度為v，它到地心的距離為r。萬(wàn)有引力提供物體運(yùn)動(dòng)所需的向心力，所以G＝m，由此解出v＝ 。可以近似用地球半徑R代替衛(wèi)星到地心的距離r，故v＝ ＝7.9 km/s。 ②物體在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可近似認(rèn)為向

2、心力由重力提供，有mg＝m，由此解出v＝。 (2)三種宇宙速度 2．人造地球衛(wèi)星 (1)1957年10月4日，世界上第一顆人造地球衛(wèi)星發(fā)射成功。1970年4月24日，我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅1號(hào)”發(fā)射成功，開創(chuàng)了中國(guó)航天史的新紀(jì)元。為我國(guó)航天事業(yè)作出特殊貢獻(xiàn)的科學(xué)家錢學(xué)森被譽(yù)為“中國(guó)航天之父”。 (2)地球同步衛(wèi)星：位于赤道上方高度約36000 km處，因相對(duì)地面靜止，也稱靜止衛(wèi)星。地球同步衛(wèi)星與地球以相同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同。 3．載人航天與太空探索 (1)1961年4月12日，蘇聯(lián)航天員加加林進(jìn)入了東方一號(hào)載人飛船，鑄就了人類進(jìn)入太空的豐碑。 (2)

3、1969年7月，美國(guó)阿波羅11號(hào)飛船登上月球。 (3)2003年10月15日，我國(guó)神舟五號(hào)宇宙飛船把中國(guó)第一位航天員楊利偉送入太空。 判一判 (1)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星的速度可以是10 km/s。 (　　) (2)在地面上發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度是7.9 km/s。(　　) (3)要發(fā)射一顆月球人造衛(wèi)星，在地面的發(fā)射速度應(yīng)大于16.7 km/s。(　　) 提示：(1)×　衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)飛行時(shí)的軌道半徑越小，其線速度就越大，最大速度等于第一宇宙速度7.9 km/s。 (2)√　人造衛(wèi)星的最小地面發(fā)射速度為7.9 km/s，即第一宇宙速度。 (3)×　若將某衛(wèi)星在地面上以

4、大于16.7 km/s的速度發(fā)射，該衛(wèi)星會(huì)脫離太陽(yáng)的束縛，而跑到太陽(yáng)系以外的空間。 想一想 通常情況下，人造衛(wèi)星總是向東發(fā)射的，為什么？ 提示：由于地球的自轉(zhuǎn)由西向東，如果我們順著地球自轉(zhuǎn)的方向，即向東發(fā)射衛(wèi)星，就可以充分利用地球自轉(zhuǎn)的慣性，節(jié)省發(fā)射所需要的能量。 課堂任務(wù)　宇宙速度 仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動(dòng)”。 活動(dòng)1：把衛(wèi)星發(fā)射到更高的軌道上需要的發(fā)射速度越大還是越?。? 提示：越大。向高軌道發(fā)射衛(wèi)星比向低軌道發(fā)射衛(wèi)星困難，因?yàn)榘l(fā)射衛(wèi)星要克服地球?qū)λ囊Α? 活動(dòng)2：不同天體的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的決定因素是什么？ 提示：不同天體的第一

5、宇宙速度可能不同。由G＝m得第一宇宙速度v＝ ?？梢钥闯觯谝挥钪嫠俣鹊闹等Q于中心天體的質(zhì)量M和半徑R，中心天體不同，M和R就可能不一樣，第一宇宙速度自然不一樣。 活動(dòng)3：要發(fā)射一顆火星人造衛(wèi)星，在地面的發(fā)射速度應(yīng)有什么要求？ 提示：要達(dá)到第二宇宙速度才能脫離地球的束縛，而達(dá)到第三宇宙速度就跑出太陽(yáng)系了。故發(fā)射火星人造衛(wèi)星，發(fā)射速度v發(fā)理論上應(yīng)滿足：11.2 km/s≤v發(fā)<16.7 km/s。 活動(dòng)4：討論、交流、展示，得出結(jié)論。 1．對(duì)三種宇宙速度的理解 (1)第一宇宙速度：是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，其大小為7.9 km/s。

6、 (2)第二宇宙速度：在地面附近發(fā)射飛行器，使之能夠克服地球的引力，永遠(yuǎn)離開地球的最小發(fā)射速度，其大小為11.2 km/s。 (3)第三宇宙速度：在地面附近發(fā)射飛行器，使其掙脫太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)系外的最小發(fā)射速度，其大小為16.7 km/s。 2．第一宇宙速度的推導(dǎo) 已知地球的質(zhì)量為m地＝5.98×1024 kg，近地衛(wèi)星的軌道半徑近似等于地球半徑R＝6.4×106 m，重力加速度g＝9.8 m/s2。 萬(wàn)有引力提供向心力，由G＝m得v＝ ＝7.9 km/s。 由mg＝m得v＝＝7.9 km/s。 由第一宇宙速度的兩種表達(dá)式可知，第一宇宙速度的大小由地球決定?？梢哉f(shuō)任何一顆天

7、體都有自己的第一宇宙速度，都可以用v＝ 或v＝表示，式中G為引力常量，M為天體的質(zhì)量，g天體為天體表面的重力加速度，R為天體的半徑。 3．發(fā)射速度與環(huán)繞速度 (1)“最小發(fā)射速度”與“最大環(huán)繞速度” ①“最小發(fā)射速度”：向高軌道發(fā)射衛(wèi)星比向低軌道發(fā)射衛(wèi)星困難，因?yàn)榘l(fā)射衛(wèi)星要克服地球?qū)λ囊Γ越匦l(wèi)星的發(fā)射速度(第一宇宙速度)是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。 ②“最大繞行速度”：由G＝m可得v＝ ，軌道半徑越小，線速度越大，所以近地衛(wèi)星的線速度(第一宇宙速度)是地球衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。 ③7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是地球的衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。 (2)發(fā)射速度

8、與運(yùn)行軌道 ①當(dāng)v發(fā)＝7.9 km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 ②當(dāng)7.9 km/s

9、第一宇宙速度約為7.9 km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速率約為(　　) A．0.4 km/s B．1.8 km/s C．11 km/s D．36 km/s (1)該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速率是什么？ 提示：是月球的第一宇宙速度。 (2)怎么求月球的第一宇宙速度？ 提示：與求解地球第一宇宙速度的方法相同，只是中心天體的質(zhì)量和衛(wèi)星的軌道半徑不一樣。 [規(guī)范解答]　星球的第一宇宙速度即為圍繞星球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為該星球半徑時(shí)的環(huán)繞速度，由萬(wàn)有引力提供向心力即可得出這一最大環(huán)繞速度。由G＝m，得v＝ ，又由＝，＝得出：月球和地球第一宇宙速度之比＝，故v月＝7.9× km/s≈1

10、.8 km/s，因此B項(xiàng)正確。 [完美答案]　B 　某人在一星球上以速率v豎直上拋一物體，經(jīng)時(shí)間t后，物體以速率v落回手中。已知該星球的半徑為R，求該星球的第一宇宙速度。 答案　 解析　根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得，該星球表面的重力加速度為g＝，該星球的第一宇宙速度即為衛(wèi)星在其表面附近繞它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，該星球?qū)πl(wèi)星的引力(重力)提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則mg＝m，該星球的第一宇宙速度為v1＝＝ 。 例2　(多選)中俄曾聯(lián)合實(shí)施探測(cè)火星計(jì)劃，由中國(guó)負(fù)責(zé)研制的“螢火一號(hào)”火星探測(cè)器與俄羅斯研制的“福布斯—土壤”火星探測(cè)器一起由俄羅斯“天頂”運(yùn)載火箭發(fā)射前往火星，

11、由于火箭故障未能成功。若發(fā)射成功，且已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，火星的半徑約為地球半徑的。下列關(guān)于火星探測(cè)器的說(shuō)法中正確的是(　　) A．發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．發(fā)射速度只有達(dá)到第三宇宙速度才可以 C．發(fā)射速度應(yīng)大于等于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度 D．火星探測(cè)器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度約為地球第一宇宙速度的 (1)要發(fā)射火星探測(cè)器，發(fā)射速度有什么要求？ 提示：要達(dá)到第二宇宙速度才能脫離地球的束縛，而達(dá)到第三宇宙速度就跑出太陽(yáng)系了，故發(fā)射速度應(yīng)滿足：11.2 km/s≤v<16.7 km/s。 (2)如何計(jì)算火星的第一宇宙速度？ 提示：利用公式v＝ ，其中M為火

12、星的質(zhì)量，R為火星的半徑。 [規(guī)范解答]　火星探測(cè)器前往火星，脫離地球引力束縛，但還在太陽(yáng)系內(nèi)，發(fā)射速度應(yīng)大于等于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度，A、B錯(cuò)誤，C正確；繞火星運(yùn)行的最大速度即為火星的第一宇宙速度，由G＝m得，v＝ ，已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，火星的半徑約為地球半徑的，可得火星的第一宇宙速度與地球第一宇宙速度之比＝＝＝，D正確。 [完美答案]　CD 　(多選)下列關(guān)于三種宇宙速度的說(shuō)法中正確的是(　　) A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，則人造衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速度大于等于v1，小于v2 B．美國(guó)發(fā)射的“鳳凰號(hào)”火

13、星探測(cè)衛(wèi)星，其發(fā)射速度大于第三宇宙速度 C．第二宇宙速度是在地面附近使物體可以掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度 D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度 答案　CD 解析　根據(jù)v＝ 可知，衛(wèi)星的軌道半徑r越大，即距離地面越遠(yuǎn)，衛(wèi)星的環(huán)繞速度越小，故衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速度都小于等于第一宇宙速度，A錯(cuò)誤；美國(guó)發(fā)射的“鳳凰號(hào)”火星探測(cè)衛(wèi)星，仍在太陽(yáng)系內(nèi)，所以其發(fā)射速度小于第三宇宙速度，B錯(cuò)誤；第二宇宙速度是使物體掙脫地球引力束縛的地面最小發(fā)射速度，C正確；7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度，D正確。 課堂任務(wù)　人造地球衛(wèi)

14、星 仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動(dòng)”。 活動(dòng)1：人造地球衛(wèi)星在繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所需的向心力由什么力提供？它們的運(yùn)行軌道有什么特點(diǎn)？ 提示：由人造地球衛(wèi)星所受的地球的萬(wàn)有引力(圓軌道時(shí))或萬(wàn)有引力的一個(gè)分力(橢圓軌道時(shí))，圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)(有時(shí)也會(huì)做橢圓運(yùn)動(dòng))。人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道一定與地球的地心在同一平面。 活動(dòng)2：地球同步衛(wèi)星的軌道和周期有什么特點(diǎn)？ 提示：地球同步衛(wèi)星要與地球同步，第一它必須是自西向東的運(yùn)行方向，軌道平面一定和赤道平面重合(保證轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致必須與赤道平行，而圓心必須在地心就只能與赤道平面重合)。第二它的公轉(zhuǎn)周期一定和地球自轉(zhuǎn)的周期相同。 活動(dòng)3：

15、地球赤道上的物體和地球同步衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同嗎？線速度呢？ 提示：赤道上的物體和同步衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間都是一天也就是24小時(shí)，始終保持相對(duì)“靜止”，所以它們周期相同，角速度也相同。由于v＝ωr，而同步衛(wèi)星的軌道半徑大，所以線速度也大。 活動(dòng)4：討論、交流、展示，得出結(jié)論。 1．人造地球衛(wèi)星的軌道 (1)軌道形狀 ①橢圓軌道：地心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。 ②圓軌道：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星所需的向心力由地球?qū)λ娜f(wàn)有引力提供，由于萬(wàn)有引力指向地心，所以衛(wèi)星的軌道圓心必然是地心，即衛(wèi)星在以地心為圓心的軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 (2)軌道位置：過(guò)地心，與地心在同一平面。

16、 2．地球同步衛(wèi)星 (1)定義：相對(duì)于地面靜止的衛(wèi)星，又叫靜止衛(wèi)星。 (2)同步衛(wèi)星的特點(diǎn)：七個(gè)“一定” ①繞行方向一定：同步衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致，即自西向東。 ②周期一定：同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24 h。 ③角速度一定：同步衛(wèi)星的運(yùn)行角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度。 ④軌道平面一定：所有的同步衛(wèi)星都在赤道的正上方，其軌道平面與赤道平面重合。 ⑤高度一定：同步衛(wèi)星的高度h＝3.6×104 km。 由G＝m2r知r＝ 。由于T一定，故r一定，而r＝R＋h，R為地球半徑，h＝－R。又因GM＝gR2，代入數(shù)據(jù)T＝24 h＝86400 s，g取9.8 m/

17、s2，R＝6.38×106 m，得h＝3.6×104 km。 ⑥線速度大小一定：同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度大小為3.1×103 m/s。 設(shè)其運(yùn)行速度為v，由于G＝m，所以v＝ ＝ ＝3.1×103 m/s。 ⑥向心加速度大小一定：同步衛(wèi)星的向心加速度等于軌道處的重力加速度(0.23 m/s2)。 由G＝ma得a＝G＝gh＝0.23 m/s2。 注意：有些數(shù)據(jù)不必記憶，只需記住特點(diǎn)即可。 3．人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律類似行星運(yùn)行規(guī)律 人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力，由G＝m＝mω2r＝m2r＝ma，可得v＝ 、ω＝ 、T＝2π 、a＝，所以衛(wèi)星的v、ω、a隨r

18、的增大而減小，周期T隨r的增大而增大。 4．同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上的物體的比較 (1)同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星 相同點(diǎn)：都是萬(wàn)有引力提供向心力，即都滿足G＝m＝mω2r＝mr＝man。 不同點(diǎn)：因同步衛(wèi)星r較大，由上式比較各運(yùn)動(dòng)量的大小關(guān)系知道，同步衛(wèi)星v、ω、an較小，T較大。 (2)同步衛(wèi)星和赤道上物體 相同點(diǎn)：周期和角速度相同。 不同點(diǎn)：向心力來(lái)源不同。 對(duì)于同步衛(wèi)星，有G＝m同an＝m同ω2r 對(duì)于赤道上物體，有G＝m赤g＋m赤ω2R，m赤ω2R比m赤g要小很多。 由于做圓周運(yùn)動(dòng)的物體都有v＝ωr，an＝ω2r的規(guī)律，而r較大，所以同步衛(wèi)星v、an較大。 　赤道上物

19、體不是衛(wèi)星更不是近地衛(wèi)星，不能用分析衛(wèi)星的思路去分析求解問(wèn)題。 例3　如圖所示，A為地面上的待發(fā)射衛(wèi)星，B為近地圓軌道衛(wèi)星，C為地球同步衛(wèi)星。三顆衛(wèi)星質(zhì)量相同，線速度大小分別為vA、vB、vC，角速度大小分別為ωA、ωB、ωC，周期分別為TA、TB、TC，向心加速度分別為aA、aB、aC，則(　　) A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TCaB (1)A、B、C三者有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？ 提示：A、C的周期相同，與B不同；B、C都是衛(wèi)星而A不是。 (2)如何比較A、B的周期及其他運(yùn)動(dòng)參量的大?。? 提示：分別與C進(jìn)行比較后再

20、進(jìn)行比較。 [規(guī)范解答]　同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及a＝ω2r得vC>vA，aC>aA。同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星，根據(jù)G＝m＝mω2r＝mr＝ma，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC。故可知ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vA

21、的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系，則下列判斷正確的是(　　) A．若v2∝R則外層的環(huán)是土星的衛(wèi)星群 B．若v∝R則外層的環(huán)是土星的一部分 C．若v∝則外層的環(huán)是土星的一部分 D．若v2∝則外層的環(huán)是土星的衛(wèi)星群 答案　BD 解析　若外層的環(huán)為土星的一部分，則它們各層轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正確，C錯(cuò)誤；若外層的環(huán)是土星的衛(wèi)星群，則由G＝m，得v2∝，故A錯(cuò)誤，D正確。 例4　如圖所示，A、B兩顆人造地球衛(wèi)星在同一平面不同圓軌道上同向運(yùn)行。設(shè)它們運(yùn)行的周期分別是T1、T2，某時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近。問(wèn)： (1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間這兩顆衛(wèi)星再次相距最近？

22、 (2)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間這兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)？ (1)兩顆衛(wèi)星再次相距最近時(shí)的要求是什么？ 提示：轉(zhuǎn)動(dòng)較快的衛(wèi)星比轉(zhuǎn)動(dòng)較慢的衛(wèi)星恰好多轉(zhuǎn)一圈。 (2)兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)位置上有什么特點(diǎn)？需要達(dá)到什么要求？ 提示：兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)與地心位于同一直線上，分居地心的兩側(cè)。需要達(dá)到的要求是轉(zhuǎn)動(dòng)較快的衛(wèi)星比轉(zhuǎn)動(dòng)較慢的衛(wèi)星多轉(zhuǎn)了圈的奇數(shù)倍。 [規(guī)范解答]　(1)衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力提供向心力，設(shè)地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，衛(wèi)星的軌道半徑為r，衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T，則由萬(wàn)有引力提供向心力，有＝m2r，得T＝2π ，即軌道半徑大的周期大，故T1

23、它們轉(zhuǎn)動(dòng)的角度之差Δθ＝2π，即t－t＝2π，解得t＝。 (2)設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t′兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)，則它們轉(zhuǎn)動(dòng)的角度之差Δθ′＝(2k＋1)π(k＝0,1,2，…) 即t′－t′＝(2k＋1)π(k＝0,1,2，…)，解得t′＝(k＝0,1,2…)。 [完美答案]　(1)　(2)(k＝0,1,2，…) 如果有兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)兩個(gè)不同軌道上同向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a衛(wèi)星的角速度為ωa，b衛(wèi)星的角速度為ωb，某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面同一點(diǎn)正上方，相距最近，如圖甲所示，則當(dāng)它們轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差Δθ＝π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝π時(shí)，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)，如圖乙所示。兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)

24、的條件是ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2,3…)，相距最近的條件是ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝0,1,2,3…)。 如圖所示，甲、乙兩顆衛(wèi)星在同一平面的兩個(gè)不同軌道上均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，公轉(zhuǎn)方向相同。已知衛(wèi)星甲的公轉(zhuǎn)周期為T，每經(jīng)過(guò)最短時(shí)間9T，衛(wèi)星乙都要運(yùn)動(dòng)到與衛(wèi)星甲最近 的位置上，則衛(wèi)星乙的公轉(zhuǎn)周期為(　　) A.T B.T C.T D.T 答案　A 解析　由t＝2π且t＝9T，解得T乙＝T，A正確。,　　 課堂任務(wù)　衛(wèi)星變軌問(wèn)題 仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動(dòng)”。 活動(dòng)1：正常運(yùn)行時(shí)，衛(wèi)星在Ⅰ軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)和在

25、Ⅱ軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度、加速度大小相同嗎？ 提示：速度大小不同，在Ⅱ軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度大，因?yàn)榻?jīng)過(guò)Ⅰ軌道上的P點(diǎn)時(shí)必須要加速才能運(yùn)動(dòng)到Ⅱ軌道上。根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律知，加速度大小相同。 活動(dòng)2：分析衛(wèi)星在Ⅱ軌道上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)和在Ⅲ軌道上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度和速度大小關(guān)系后，結(jié)合活動(dòng)1可得出什么規(guī)律？ 提示：衛(wèi)星在Ⅱ軌道上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度比在Ⅲ軌道上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度小，但經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度大小相等。結(jié)合活動(dòng)1可知，衛(wèi)星在經(jīng)過(guò)不同軌道的交點(diǎn)時(shí)加速度相同，在內(nèi)軌上經(jīng)過(guò)時(shí)的速度小于在外軌上經(jīng)過(guò)時(shí)的速度。 活動(dòng)3：如圖所示，線速度v1、v2、v3、v4的大小關(guān)系是怎樣的？ 提示：v

26、3

27、FF向時(shí)，衛(wèi)星在萬(wàn)有引力作用下，向地心做橢圓運(yùn)動(dòng)。 因此，星、箭分離時(shí)的速度以及與地心的距離是決定衛(wèi)星運(yùn)行軌道的主要因素。 2．人造衛(wèi)星的軌道調(diào)整 如圖所示，以衛(wèi)星從近地圓軌道Ⅰ變軌到圓軌道Ⅲ為例加以分析。 衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)滿足G＝m(rA為A點(diǎn)到地心的距離)。若在A點(diǎn)提高速度(衛(wèi)星自帶推進(jìn)器可完成這個(gè)任務(wù))至vA′，則有G

28、變到高軌道必須在適當(dāng)?shù)奈恢锰崴?，同理，由高軌道變到低軌道必須在適當(dāng)?shù)奈恢脺p速。 3．飛船對(duì)接問(wèn)題 (1)低軌道飛船與高軌道空間站對(duì)接 如圖甲所示，低軌道飛船通過(guò)合理地加速，沿橢圓軌道追上高軌道空間站與其完成對(duì)接。 (2)同一軌道飛船與空間站對(duì)接 如圖乙所示，后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過(guò)適當(dāng)控制，使飛船追上空間站時(shí)恰好具有相同的速度。 例5　如圖所示，某次發(fā)射同步衛(wèi)星的過(guò)程如下：先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后再次點(diǎn)火進(jìn)入橢圓形的過(guò)渡軌道2，最后將衛(wèi)星送入同步軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說(shuō)

29、法正確的是(　　) A．衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率 B．衛(wèi)星在軌道3上的角速度大于在軌道1上的角速度 C．衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度 D．衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度 (1)衛(wèi)星在軌道1、軌道3上分別做什么運(yùn)動(dòng)？ 提示：均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 (2)衛(wèi)星在軌道2上是做什么運(yùn)動(dòng)，從軌道1變軌到軌道2需要什么條件？ 提示：衛(wèi)星在軌道2上做橢圓運(yùn)動(dòng)，從軌道1變軌到軌道2需要做離心運(yùn)動(dòng)，所以要在軌道1上運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)加速。 [規(guī)范解答]　由G＝m＝mω2r得，v＝ ，ω＝ ，由于r1

30、v1>v3，ω1>ω3，A、B錯(cuò)誤；軌道1上的Q點(diǎn)與軌道2上的Q點(diǎn)是同一點(diǎn)，到地心的距離相同，根據(jù)萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律知，衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度，同理衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度，C錯(cuò)誤，D正確。 [完美答案]　D 　“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道到達(dá)月球，在距月球表面200 km的P點(diǎn)進(jìn)行第一次“剎車制動(dòng)”后被月球捕獲，進(jìn)入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，如圖所示。之后，衛(wèi)星在P點(diǎn)經(jīng)過(guò)幾次“剎車制動(dòng)”，最終在距月球表面200 km的圓形軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。用T1、T2、T3分別表示衛(wèi)星在橢圓

31、軌道Ⅰ、Ⅱ和圓形軌道Ⅲ上運(yùn)行的周期，用a1、a2、a3分別表示衛(wèi)星沿三個(gè)軌道運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的加速度，則下面說(shuō)法正確的是(　　) A．T1>T2>T3 B．T1a2>a3 D．a(chǎn)1T2>T3，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；不管沿哪一軌道運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，衛(wèi)星所受月球的引力都相等，由牛頓第二定律得a1＝a2＝a3，故C、D兩項(xiàng)均錯(cuò)誤。 　(多選)如圖所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運(yùn)行的3顆人造衛(wèi)星，下列說(shuō)法正確的是(　　)

32、 A．b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度 B．a(chǎn)加速可能會(huì)追上b C．c加速可追上同一軌道上的b，b減速可等到同一軌道上的c D．a(chǎn)衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則其線速度將變大 答案　BD 解析　因?yàn)閎、c在同一軌道上運(yùn)行，故其線速度大小、加速度大小均相等。又由b、c軌道半徑大于a軌道半徑，v＝ ，可知vb＝vc＜va，故A錯(cuò)誤；當(dāng)a加速后，會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，軌道會(huì)變成橢圓，若橢圓與b所在軌道相切(或相交)，且a、b同時(shí)來(lái)到切(或交)點(diǎn)時(shí)，a就追上了b，故B正確；當(dāng)c加速時(shí)，c受的萬(wàn)有引力F＜m，故它將偏離原軌道，做離心運(yùn)動(dòng)，當(dāng)b減速時(shí)，b受的萬(wàn)有引力F

33、＞m，它將偏離原軌道，做近心運(yùn)動(dòng)，所以c追不上b，b也等不到c，故C錯(cuò)誤；對(duì)a衛(wèi)星，當(dāng)它的軌道半徑緩慢減小時(shí)，由v＝可知，v逐漸增大，故D正確。 A組：合格性水平訓(xùn)練 1．(宇宙速度的理解)(多選)一顆人造地球衛(wèi)星以初速度v發(fā)射后，可繞地球運(yùn)動(dòng)，若使發(fā)射速度增大為2v，則該衛(wèi)星可能(　　) A．繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng) B．繞地球運(yùn)動(dòng)，軌道變?yōu)闄E圓 C．不繞地球運(yùn)動(dòng)，成為太陽(yáng)的人造行星 D．掙脫太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)系以外的宇宙 答案　CD 解析　衛(wèi)星以初速度v發(fā)射后能繞地球運(yùn)動(dòng)，可知發(fā)射速度v一定大于等于第一宇宙速度7.9 km/s而小于第二宇宙速度11.2 km/s；當(dāng)以

34、2v速度發(fā)射時(shí)，發(fā)射速度一定大于等于15.8 km/s且小于22.4 km/s，已超過(guò)了第二宇宙速度11.2 km/s，也可能超過(guò)第三宇宙速度16.7 km/s，所以此衛(wèi)星不再繞地球運(yùn)行，可能繞太陽(yáng)或太陽(yáng)系其他星體運(yùn)行，也可能飛到太陽(yáng)系以外的宇宙，故A、B錯(cuò)誤，C、D正確。 2．(宇宙速度的計(jì)算)已知地球的質(zhì)量約為火星質(zhì)量的10倍，地球的半徑約為火星半徑的2倍，則航天器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率約為(　　) A．3.5 km/s B．5.0 km/s C．17.7 km/s D．35.2 km/s 答案　A 解析　根據(jù)題設(shè)條件可知：M地＝10M火，R地＝2R火，

35、由萬(wàn)有引力提供向心力G＝m，可得v＝ ，即＝ ＝ ，因?yàn)榈厍虻牡谝挥钪嫠俣葹関地＝7.9 km/s，所以航天器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率v火≈3.5 km/s，A正確。 3．(衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)參量的比較)四顆人造地球衛(wèi)星a、b、c、d的位置如圖所示，其中a是靜止在地球赤道上還未發(fā)射的衛(wèi)星，b是近地軌道衛(wèi)星，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測(cè)衛(wèi)星，四顆衛(wèi)星相比較(　　) A．a(chǎn)的向心加速度最大 B．相同時(shí)間內(nèi)b轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng) C．c相對(duì)于b靜止 D．d的運(yùn)動(dòng)周期可能是23 h 答案　B 解析　赤道上面未發(fā)射的衛(wèi)星a和同步衛(wèi)星c相對(duì)靜止，角速度相同，因?yàn)橄蛐募铀俣萢＝ω2r，r

36、c>ra，所以ac>aa，A錯(cuò)誤；根據(jù)線速度v＝rω可得vc>va，衛(wèi)星b、c、d都是萬(wàn)有引力提供向心力，圓周運(yùn)動(dòng)線速度v＝ ，rd>rc>rb，所以vb>vc>vd，即b的線速度最大，相同時(shí)間內(nèi)b通過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，B正確；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得ω＝ ，進(jìn)而判斷b、c角速度不等，所以c不可能相對(duì)于b靜止，C錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得T＝ ，同步衛(wèi)星周期為24 h，因?yàn)閐衛(wèi)星的軌道半徑比同步衛(wèi)星大，所以運(yùn)動(dòng)周期比同步衛(wèi)星長(zhǎng)，大于24 h，D錯(cuò)誤。 4．(衛(wèi)星變軌問(wèn)題)探測(cè)器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則變軌后與變軌前相比(　　) A．軌道半徑變小

37、 B．向心加速度變小 C．線速度變小 D．角速度變小 答案　A 解析　由G＝mr知T＝2π，變軌后T減小，則r減小，故A正確；由G＝ma知a＝，r減小，a變大，故B錯(cuò)誤；由G＝m知v＝ ，r減小，v變大，故C錯(cuò)誤；由ω＝知T減小，ω變大，故D錯(cuò)誤。 5．(宇宙速度的計(jì)算)在星球表面發(fā)射飛行器使其脫離星球引力束縛所需的最小發(fā)射速度稱為該星球的第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2與其第一宇宙速度v1的關(guān)系是v2＝v1。已知某星球的半徑為r，其表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的，不計(jì)其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為(　　) A. B. C. D.gr 答案　

38、C 解析　飛行器在星球表面所受的重力近似等于它在星球表面附近圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的向心力，mg＝m得v1＝ 。再根據(jù)v2＝ v1得v2＝ ，故C項(xiàng)正確。 6．(衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)參量的比較)(多選)我國(guó)在軌運(yùn)行的氣象衛(wèi)星有兩類，如圖所示，一類是極地軌道衛(wèi)星——“風(fēng)云1號(hào)”，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為12 h，另一類是地球同步軌道衛(wèi)星——“風(fēng)云2號(hào)”，運(yùn)行周期為24 h。下列說(shuō)法正確的是(　　) A．“風(fēng)云1號(hào)”的線速度大于“風(fēng)云2號(hào)”的線速度 B．“風(fēng)云1號(hào)”的向心加速度大于“風(fēng)云2號(hào)”的向心加速度 C．“風(fēng)云1號(hào)”的發(fā)射速度大于“風(fēng)云2號(hào)”的發(fā)射速度 D．“風(fēng)云1號(hào)”“風(fēng)云2號(hào)”相對(duì)地

39、面均靜止 答案　AB 解析　由＝k知，風(fēng)云2號(hào)的軌道半徑大于風(fēng)云1號(hào)的軌道半徑。由G＝m＝man得v＝ ，an＝，r越大，v越小，an越小，所以A、B正確。把衛(wèi)星發(fā)射的越遠(yuǎn)，所需發(fā)射速度越大，C錯(cuò)誤。只有同步衛(wèi)星相對(duì)地面靜止，所以D錯(cuò)誤。 7. (衛(wèi)星變軌問(wèn)題)(多選)“神舟十一號(hào)”飛船與“天宮二號(hào)”實(shí)施自動(dòng)交會(huì)對(duì)接。交會(huì)對(duì)接前“神舟十一號(hào)”飛船先在較低的圓軌道1上運(yùn)動(dòng)，在適當(dāng)位置經(jīng)變軌與在圓軌道2上運(yùn)動(dòng)的“天宮二號(hào)”對(duì)接。如圖所示，M、Q兩點(diǎn)在軌道1上，P點(diǎn)在軌道2上，三點(diǎn)連線過(guò)地球球心，把飛船的加速過(guò)程簡(jiǎn)化為只做一次短時(shí)加速。則(　　) A．“神舟十一號(hào)”須在Q點(diǎn)加速，才能在P

40、點(diǎn)與“天宮二號(hào)”相遇 B．“神舟十一號(hào)”在M點(diǎn)經(jīng)一次加速，即可變軌到軌道2 C．“神舟十一號(hào)”在M點(diǎn)變軌后的速度大于變軌前的速度 D．“神舟十一號(hào)”變軌后運(yùn)行周期總大于變軌前的運(yùn)行周期 答案　BD 解析　衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力提供向心力，即G＝m＝mω2r＝mr，解得v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，可知軌道半徑越大，v、ω越小，周期越大，所以“神舟十一號(hào)”在變軌后速度變小，周期變大，故C錯(cuò)誤，D正確?！吧裰凼惶?hào)”在低軌道，適度加速可實(shí)現(xiàn)與“天宮二號(hào)”對(duì)接，但在Q點(diǎn)加速后速度仍沿軌道切線方向，故不會(huì)在P點(diǎn)與“天宮二號(hào)”相遇，在M點(diǎn)經(jīng)一次加速，即可變軌到軌道2，故A錯(cuò)誤，B正確。

41、 8．(衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)參量的計(jì)算)一顆人造衛(wèi)星在離地面高度等于地球半徑的圓形軌道上運(yùn)行，已知地球的第一宇宙速度為v1＝7.9 km/s，g＝9.8 m/s2。 (1)這顆衛(wèi)星運(yùn)行的線速度為多大？ (2)它繞地球運(yùn)動(dòng)的向心加速度為多大？ (3)質(zhì)量為1 kg的儀器放在衛(wèi)星內(nèi)的平臺(tái)上，儀器的重力為多大？它對(duì)平臺(tái)的壓力有多大？ 答案　(1)5.6 km/s　(2)2.45 m/s2　(3)2.45 N　0 解析　(1)衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行時(shí)， 有G＝m 衛(wèi)星在離地面的高度為R處的圓形軌道上運(yùn)行時(shí)， 有G＝m 由以上兩式得v2＝＝ km/s≈5.6 km/s。 (2)衛(wèi)星離地面的高度

42、為R時(shí)，有G＝ma 靠近地面時(shí)，有G＝mg，解得a＝g＝2.45 m/s2。 (3)在衛(wèi)星內(nèi)，儀器的重力等于地球?qū)λ奈?，則 G′＝m儀g′＝m儀a＝1×2.45 N＝2.45 N 由于衛(wèi)星內(nèi)儀器的重力完全用于提供做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，儀器處于完全失重狀態(tài)，所以儀器對(duì)平臺(tái)的壓力為零。 B組：等級(jí)性水平訓(xùn)練 9．(衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)參量的比較)設(shè)地球半徑為R，a為靜止在地球赤道上的一個(gè)物體，b為一顆近地衛(wèi)星，c為地球的一顆同步衛(wèi)星，其軌道半徑為r。下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．a(chǎn)與c的線速度大小之比為 B．a(chǎn)與c的線速度大小之比為 C．b與c的周期之比為 D．b與c的周期

43、之比為 答案　D 解析　物體a與同步衛(wèi)星c角速度相等，由v＝rω可得，二者線速度大小之比為，A、B均錯(cuò)誤；而b、c均為衛(wèi)星，由T＝2π 可得，二者周期之比為 ，C錯(cuò)誤，D正確。 10.(衛(wèi)星變軌問(wèn)題)(多選)如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一般程序是：先讓衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)近地的圓軌道，然后在P點(diǎn)變軌，進(jìn)入一個(gè)橢圓形轉(zhuǎn)移軌道，該橢圓軌道的近地點(diǎn)為近地圓軌道上的P點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)為同步衛(wèi)星圓軌道上的Q點(diǎn)，在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)再次變軌，進(jìn)入同步衛(wèi)星軌道。設(shè)衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行的速率為v1，在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)P點(diǎn)的速率為v2，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為v3，在同步衛(wèi)星軌道上的速率

44、為v4，在近地圓軌道、橢圓形轉(zhuǎn)移軌道、同步衛(wèi)星圓軌道上運(yùn)動(dòng)的周期分別為T1、T2、T3，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．在P點(diǎn)變軌時(shí)需要加速，Q點(diǎn)變軌時(shí)要減速 B．在P點(diǎn)變軌時(shí)需要減速，Q點(diǎn)變軌時(shí)要加速 C．T1＜T2＜T3 D．v2＞v1＞v4＞v3 答案　CD 解析　設(shè)近地圓軌道、橢圓形轉(zhuǎn)移軌道、同步衛(wèi)星圓軌道的軌道半徑(或半長(zhǎng)軸)分別為r1、r2、r3，衛(wèi)星在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)P點(diǎn)時(shí)做離心運(yùn)動(dòng)，所受的萬(wàn)有引力小于所需要的向心力，即G＜m，而在圓軌道時(shí)萬(wàn)有引力等于向心力，即G＝m，所以v2＞v1，在P點(diǎn)變軌需要加速；同理，由于衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上Q點(diǎn)做離心運(yùn)動(dòng)，可知v3＜v

45、4，在Q點(diǎn)變軌也要加速，故A、B錯(cuò)誤；又由人造衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v＝ 可知v1＞v4，由以上所述可知D正確；由于軌道半徑(或半長(zhǎng)軸)r1＜r2＜r3，由開普勒第三定律＝k(k為常量)得T1＜T2＜T3，故C正確。 11．(綜合)一顆在赤道上空飛行的人造地球衛(wèi)星，其軌道半徑為r＝3R(R為地球半徑)，運(yùn)動(dòng)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，已知地球表面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω0，求： (1)該衛(wèi)星的運(yùn)行周期是多大？ (2)若某一時(shí)刻該衛(wèi)星通過(guò)赤道上某建筑物的正上方，再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間它又一次出現(xiàn)在該建筑物正上方？ 答案　(1)6π 　(2) 解析　(1)由萬(wàn)有引力定律和牛頓定律可得

46、G＝m·3R① 又G＝mg② 聯(lián)立①②兩式，可得T＝6π 。 (2)以地面為參考系，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上方時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為2π，衛(wèi)星相對(duì)地面的角速度為ω1－ω0，其中ω1＝，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，該衛(wèi)星再次出現(xiàn)該建筑物上方， 則(ω1－ω0)t＝2π，得t＝。 12．(綜合)我國(guó)正在逐步建立同步衛(wèi)星與中低軌道衛(wèi)星構(gòu)成的衛(wèi)星通信系統(tǒng)。 (1)若已知地球的平均半徑為R0，自轉(zhuǎn)周期為T0，地表的重力加速度為g，試求同步衛(wèi)星的軌道半徑R； (2)一顆與上述同步衛(wèi)星在同一軌道平面的低軌道衛(wèi)星，轉(zhuǎn)動(dòng)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，繞地球運(yùn)行，軌道半徑為同步衛(wèi)星軌道半徑R的四分之一，則該衛(wèi)星至少每隔多長(zhǎng)時(shí)間才

47、能在同一地點(diǎn)的正上方出現(xiàn)一次？(計(jì)算結(jié)果只能用題中已知物理量的字母表示) 答案　(1) 　(2) 解析　(1)設(shè)地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)周期為T，因?yàn)樾l(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供，故 G＝m2R① 同步衛(wèi)星的周期為T＝T0② 而在地球表面，質(zhì)量為m′的物體的重力近似等于萬(wàn)有引力，有 m′g＝G③ 由①②③式解得R＝ 。 (2)由①式可知T2∝R3，設(shè)低軌道衛(wèi)星運(yùn)行的周期為T′，則＝，因而T′＝，設(shè)該衛(wèi)星至少每隔t時(shí)間才在同一地點(diǎn)的正上方出現(xiàn)一次，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)角速度與所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角的關(guān)系θ＝ωt，得t－t＝2π，解得t＝，即該衛(wèi)星至少每隔時(shí)間才在同一地點(diǎn)的正上方出現(xiàn)一次。 - 25 -