五年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)練習(xí)14 數(shù)列的分組（B）

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1、數(shù)列的分組(B)年級(jí) 班 姓名 得分 一、填空題 1. 有一列由三個(gè)數(shù)組成的數(shù)組,它們依次是(1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);第99個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和是_.2. 有數(shù)組:(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),第100組的三個(gè)數(shù)之和是_. 3. 有數(shù)組1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12,那么第100個(gè)數(shù)組的四個(gè)數(shù)的和是_.4. 將自然數(shù)按下面的規(guī)律分組:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12),(13, 14,15,16,17,18,19,20),第1991組的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)各是_.5. 將奇數(shù)按下列方式分組: (1

2、),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),.(1) 第15組中第一個(gè)數(shù)是_;(2) 第15組中所有數(shù)的和是_;(3) 999位于第_組第_號(hào). 6. 自然數(shù)列1,2,3,它的第組含有2-1個(gè)數(shù),第10組中各數(shù)的和是_.7. 給定以下數(shù)列: ,(1)是第_項(xiàng);(2)第244項(xiàng)是_;(3)前30項(xiàng)之和是_. 8. 在以下數(shù)列: ,中,居于第_項(xiàng).9. 設(shè)自然數(shù)按下圖的格式排列: 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 (1) 200所在的位置是第_行,第_列;(2) 第10行第10個(gè)數(shù)是

3、_. 10. 緊接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字,寫下的數(shù)字都是它們前面兩個(gè)數(shù)字之積的個(gè)位數(shù),例如89=72,在9后面寫2,29=18,在2后面寫8,這樣得到一串?dāng)?shù)字,從1開始,第1989個(gè)數(shù)字是_. 二、解答題11. 將1到1989的自然數(shù)從頭開始,依次第四個(gè)數(shù)一組,第一組各數(shù)間添上“+”號(hào),第二組各數(shù)間添上“一”號(hào),以后各組以“+”,“一”號(hào)相間隔,列成一個(gè)算式:1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-.問:(1) 1989前添什么號(hào)?(2) 求這個(gè)算式的結(jié)果.12. 把由1開始的自然數(shù)依次寫下來: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14.重新分組,

4、按三個(gè)數(shù)字為一組: 123,456,789,101,112,131,問第10個(gè)數(shù)是幾? 13. 根據(jù)下圖回答: (1) 第一行的第8個(gè)數(shù)是幾?(2) 第五行第六列上的數(shù)是幾?(3) 200的位置在哪一格(說出所在行和列的序號(hào))?14. 已知自然數(shù)組成的數(shù)列: 1,2,3,9,10,11,12,把這個(gè)數(shù)列的10和大于10的數(shù),全部用逗號(hào)隔成一位數(shù),做成一個(gè)新的數(shù)列: 1,2,3,9,1,0,1,1,1,2,.問: (1) 中100這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的“0”在中是第幾個(gè)數(shù)? (2) 中第100個(gè)數(shù)是幾?這個(gè)數(shù)在中的哪個(gè)數(shù)內(nèi)?是它的哪一位數(shù)? (3) 到的第100個(gè)數(shù)為止,“3”這個(gè)數(shù)字出現(xiàn)了幾次? (

5、4) 中前100個(gè)數(shù)的和是多少?答 案 答 案: 1. 解法一 這串?dāng)?shù)組,各組數(shù)的和是16,32,48,.各組數(shù)的和分別是按16的1倍,2倍,3倍,的規(guī)律遞增.因此,第99個(gè)數(shù)組的和是1699=16(100-1)=1600-16=1584.解法二 通過觀察可以發(fā)現(xiàn),每一組括號(hào)中的三個(gè)數(shù)的關(guān)系是:第一個(gè)數(shù)表示組數(shù),第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的5倍,第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的10倍.因此,第99組內(nèi)三個(gè)數(shù)應(yīng)為:(99,995,9910).所以,第99個(gè)數(shù)組的和是:99+995+9910=99(1+5+10) =9916 =1584 2. 解法一 通過觀察可以發(fā)現(xiàn),每一組括號(hào)中三個(gè)數(shù)的關(guān)系是:第一個(gè)數(shù)表示組數(shù),第

6、二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)自乘的積,第三個(gè)數(shù)是第一、二兩數(shù)的乘積,因此,第100組中的三個(gè)數(shù)應(yīng)分別是:第一個(gè)數(shù)是100;第二個(gè)數(shù)是100100=10000;第三個(gè)數(shù)是10010000=1000000,所以,第100組的三個(gè)數(shù)的和為:100+10000+1000000=1010100.解法二 通過觀察可發(fā)現(xiàn)每一組的三個(gè)數(shù)的和可以用通項(xiàng)公式表示,=1,2,3,.因此,第100組的三個(gè)數(shù)之和是: . 3. 解法一 這串?dāng)?shù)組,各組數(shù)的和是10,20,30,40,.因此,第100個(gè)數(shù)中的四個(gè)數(shù)的和是10010=1000.解法二 通過觀察可以發(fā)現(xiàn),每一組數(shù)括號(hào)中四個(gè)數(shù)的關(guān)系是:第一個(gè)數(shù)表示組數(shù),第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的

7、2倍,第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)的3倍,第四個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的4倍.因此,第100個(gè)數(shù)組內(nèi)的四個(gè)數(shù)分別是:(100,200,300,400).所以,第100個(gè)數(shù)組的四個(gè)數(shù)的和是:100+200+300+400=1000. 4. 仔細(xì)觀察找出這些自然數(shù)分組的規(guī)律,再找出每一組的第一個(gè)數(shù)與該組的序數(shù)之間的關(guān)系.第1組的第1個(gè)數(shù)是:1=(1-1)1+1;第2組的第1個(gè)數(shù)是:3=(2-1)2+1;第3組的第1個(gè)數(shù)是:7=(3-1)3+1;第4組的第1個(gè)數(shù)是:13=(4-1)4+1;根據(jù)這一規(guī)律,可求出第1991組的第1個(gè)數(shù)是:(1991-1)1991+1=3962091.第1992組的第一個(gè)數(shù)是: (1992-1

8、)1992+1=3966073.因此,第1991組的最后一個(gè)數(shù)是:3966073-1=3966072. 5. (1)從第1組到第14組的奇數(shù)有1+2+3+14=105(個(gè)).因此,第15組最初一個(gè)數(shù)是第106個(gè)奇數(shù):2106-1=211. (2)在第15組中的數(shù)是以211為首項(xiàng),公差為2,項(xiàng)數(shù)等于15的等差數(shù)列,其和是15211+2=3375.(3)設(shè)999位于第組,因3132=992,3233=1056,所以=32,第32組最初一個(gè)數(shù)是:2(1+2+31)-1+2=993.因此,999是第32組的第4號(hào)數(shù). 6. 第1組到第9組共有自然數(shù):1+3+5+(29-1)=18(個(gè)).因此,第10組

9、第1號(hào)數(shù)是82,第10組有210-1=19個(gè)數(shù),所以第10組各數(shù)之和為 . 7. (1)以分母相同的分?jǐn)?shù)分組,并記分母為的分?jǐn)?shù)屬于第組,從而是第29組的第13號(hào)數(shù),第組由個(gè)分?jǐn)?shù)組成,從第1組到第28組有 1+2+3+28=406個(gè)分?jǐn)?shù),因此位于第406+13=419項(xiàng).(2)因2120=420,2221=462,2322=506,故第244項(xiàng)在第22組,前21組有=231個(gè)分?jǐn)?shù),從而第244項(xiàng)是居于第22組中的第13號(hào)數(shù),是.(3)前30項(xiàng)之和為 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+7)+ =1+ =(2+3+4+8)+ =+ = =17. 8. 將分子與分母之和相等者歸于同一組: ,，

10、其中在7+19-1=25組,是第19號(hào)數(shù).1至24組共有分?jǐn)?shù) 1+2+3+24=300(個(gè)).所以在原數(shù)列中是第300+19=319項(xiàng). 9. 注意到第一列是完全平方數(shù): 1,4,9,16,25,.按(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),分組,則200在196與225之間,屬第15組,倒數(shù)第4個(gè)數(shù),在第4行、第15列上.第10行第10個(gè)數(shù)是位于第10行第10列上的數(shù)91. 10. 寫出前面幾個(gè)數(shù)字: 198928688428688428,1989后面的六位數(shù)字出現(xiàn)循環(huán). (1989-4)6=3305,所以第1989位數(shù)字是8. 11. 19898=2485,所以1989前添的是“-”

11、號(hào).觀察到,從第3個(gè)數(shù)起,每8個(gè)數(shù)之和為0: 3+4-5-6-7-8+9+10=0, 11+12-13-14-15-16+17+18=0, (1989-2)8=2483,所以,這個(gè)算式的結(jié)果是: 1+2+1987+1988-1989=1989. 12. 1到9有9個(gè)數(shù)字,10到19有20個(gè)數(shù)字,第10個(gè)三位數(shù)是192. 13. (1)所有自然數(shù)按自右上至左下以斜線分組: (1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),第組第1號(hào)數(shù)是第一行的第個(gè)數(shù).從第1組到第(-1)組有: 1+2+3+(-1)=個(gè)數(shù),從而第組第1號(hào)數(shù)是+1.因此,第1行第8個(gè)數(shù)是+1=29. (2)一般地,自上至下

12、第行,自左至右第列上的數(shù)在第(+-1)組中,第五行第六列上的數(shù)在第10組中,第10組第1號(hào)數(shù)是+1=46,第10組在第五行的數(shù)是46+5-1=50.(3)1920=380,2021=420,故200在第20組中,第20組第一個(gè)數(shù)是+1=191,因此數(shù)200在第10行第11列的位置上. 14. (1)數(shù)100之前有數(shù)字9+290=189(個(gè)),所以數(shù)100的個(gè)位上的“0”在中是第189+3=192個(gè)數(shù).(2)中第9+240=89個(gè)數(shù)是中數(shù)49的“9”:4950515253545556, 中第100個(gè)數(shù)是中數(shù)55的十位數(shù)上的“5”.(3)到的第100個(gè)數(shù)為止,數(shù)字“3”一共出現(xiàn)了1+1+1+11+1+1=16(次).(4)中前100個(gè)數(shù)字之和為 (1+2+9)5+10(1+2+3+4)+65+(0+1+2+3+4) =225+100+30+10 =365.