2019高考物理 快速提分法 模型三 平衡問題學(xué)案（含解析）

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1、平衡問題 物體處于靜止或勻速運動狀態(tài)，稱之為平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)下的物體是高中物理中重要的模型，解平衡問題的基礎(chǔ)是對物體進(jìn)行受力分析。物體的平衡在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用：在靜力學(xué)中有單體平衡、多體平衡；在電磁學(xué)中也有很多內(nèi)容涉及平衡問題，如帶電粒子在電、磁場中的運動、電磁感應(yīng)中的收尾速度等等，都可能用到物體平衡知識。 一、平衡態(tài)物體的特點： ⑴平面共點力作用下的物體受到的合外力為零。如果物體僅受三個力，則任意兩力的合力與第三力大小相等、方向相反。合外力為零，意味著物體受到的諸力在任一方向上的分力的矢量和為零，因而常用正交分解法列平衡方程。 形式為： ⑵有固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡，其合力

2、矩為零，即M合=0。它表示使物體順時針轉(zhuǎn)動的力矩等于使物體逆時針轉(zhuǎn)動的力矩。 二、平衡狀態(tài)研究方法 平衡態(tài)問題的研究方法，從研究對象的選取看，有整體法和隔離體法；從具體的求解過程看，有定量計算法(解析法)和定性分析法；從定量計算法的運用數(shù)學(xué)知識看，又分為相似三角形法和正弦、余弦定理及直角三角形的邊角關(guān)系等方法。定性分析法，因不要求定量計算，一般采用圖示法(力三角形法或平行四邊形法)。另外還有常見的假設(shè)法、正交分解法等 經(jīng)典例題五根細(xì)線連接如圖，BE、CF兩根細(xì)線下端分別系有重物P、Q。靜止時AB段恰好水平，BC段跟水平方向的夾角α和CD段跟豎直方向的夾角β均為30o。已知重物P的

3、重量為G1=30N。求：⑴AB段細(xì)線對結(jié)點B的拉力大小F1；⑵重物Q的重量G2；⑶CD段細(xì)線對結(jié)點C的拉力大小F2。 α B E A C D β P Q F 分析與解答：⑴以B點為對象，共點力平衡，用平行四邊形定則求AB繩的拉力為30N，同時可以求出BC線上的拉力為60N。 ⑵以C點為對象，共點力平衡，做出相應(yīng)的平行四邊形，其中重力G2和BC線對Q的拉力等大，因此G2=60N⑶由上問的平行四邊形可求得CD線對結(jié)點C的拉力是BC線拉力的倍。 變式1在圖中，AO、BO、CO是三條完全相同的細(xì)繩，并將鋼梁水平吊起，若鋼梁足夠重時，繩A先斷，則 A．θ＝120° B．θ

4、＞120° C．θ＜120° D．不論θ為何值，AO總先斷 分析與解答：當(dāng)θ＝120°時，三繩的拉力互成120°角，三力大小相等，當(dāng)θ＜120°時，F(xiàn)AO＞FBO＝FCO，此時AO繩先斷，故答案為C。 經(jīng)典例題如圖所示，輕繩AC與天花板夾角α=300，輕繩BC與天花板夾角β=600.設(shè)AC、BC繩能承受的最大拉力均不能超過100N，CD繩強度足夠大，求CD繩下端懸掛的物重G不能超過多少？ 分析與解答：如圖所示，以結(jié)點C為研究對象，由共點力的平衡條件有 300 G 600 A B C FA y x FC FB 又G = FC 所以 由題意知，當(dāng)

5、FB=100N時，物重G有最大值Gmax 聯(lián)立解得(或115N) 變式1如圖所示，質(zhì)量為m的物體靠在粗糙的豎直墻上，物體與墻之間的動摩擦因數(shù)為μ，若要使物體沿著墻勻速運動，則與水平方向成α角的外力F的大小如何？ 分析與解答：當(dāng)物體沿墻勻速下滑時，受力如圖（a）所示，建立如圖所示的坐標(biāo)系，由平衡條件得 F1sinα＋Ff1＝mg FN1＝F1cosα 又有Ff1＝μFN1 解得F1＝圖（a）圖（b） 當(dāng)物體勻速上滑時，受力如圖（b）所示，建立如圖所示的坐標(biāo)系，由平衡條件得 F2sinα＝Ff2＋mg

6、 FN2＝F2cosα 又有Ff2＝μFN2 解得F2＝ 變式2質(zhì)量為的物體置于動摩擦因數(shù)為的水平面上，現(xiàn)對它施加一個拉力，使它做勻速直線運動，問拉力與水平方向成多大夾角時這個力最??？ 分析與解答：取物體為研究對象，物體受到重力，地面的支持力N，摩擦力及拉力T四個力作用，如圖1-1所示。由于物體在水平面上滑動，則，將和N合成，得到合力F， 由圖知F與的夾角： 不管拉力T方向如何變化，F(xiàn)與水平方向的夾角不變，即F為一個方向不發(fā)生改變的變力。這顯然屬于三力平衡中的動態(tài)平衡問題，由前面討論知，當(dāng)T與F互相垂直時，T

7、有最小值，即當(dāng)拉力與水平方向的夾角時，使物體做勻速運動的拉力T最小。 變式3如圖所示，AB、BC、CD、和DE為質(zhì)量可忽略的等長細(xì)線，長度均為5米，A、E端懸掛在水平天花板上，AE=14米，B、D是質(zhì)量均為m0=7千克的相同小球.質(zhì)量為m的重物掛于C點，平衡時C點離天花板的垂直距離為7米.試求重物質(zhì)量m. 分析與解答：如圖所示，設(shè)BH=x，HC=y 則由幾何關(guān)系得 解得x=4，y=3（因α<450，所以另解x=3，y=4舍去） 則， 取B球為研究對象，由共點力的平衡條件得 解得 再取重物為研究對象，由共點力的平衡條件得 解得kg 變式4如圖所示，質(zhì)量

8、為m的物體放在傾角為θ的斜面上，它與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，今對物體施加沿斜面向上的拉力作用，物體恰好能勻速上滑，求此拉力的大??？ 分析與解答：物體在勻速運動中受四個力的作用，在用正交分解法建立坐標(biāo)系時有兩種思路：一種是把平行斜面方向和垂直斜面方向分別定為x、y軸，如圖所示，有： 小錦囊 比較上述兩種解題思路可以看出，用正交分解法解靜力學(xué)問題，無論坐標(biāo)系怎么建立，都能得到同樣的答案，但坐標(biāo)系建立得恰當(dāng)有利于簡化解題步驟。 解得： 另一種思路是 把水平方向和豎直方向分別定為x軸、y軸，如圖所示，有： 解得： 經(jīng)典例題光滑半球面上的小球（可是為質(zhì)點）被一通過定滑

9、輪的力F由底端緩慢拉到頂端的過程中（如圖所示），試分析繩的拉力F及半球面對小球的支持力FN的變化情況。 分析與解答：如圖所示，作出小球的受力示意圖，注意彈力FN總與球面垂直，從圖中可得到相似三角形。 設(shè)球面半徑為R，定滑輪到球面的距離為h，繩長為L，據(jù)三角形相似得： 　　 　　由上兩式得： 　　繩中張力： 　　 　　小球的支持力： 　　 　　又因為拉動過程中，h不變，R不變，L變小，所以F變小，F(xiàn)N不變。 變式1已知如圖，帶電小球A、B的電荷分別為QA、QB，OA=OB，都用長L的絲線懸掛在O點。靜止時A、B相距為d。為使平衡時AB間距離減為d/2，可采用以下哪些方法 O

10、 A B mBg F N L d A．將小球A、B的質(zhì)量都增加到原來的2倍 B．將小球B的質(zhì)量增加到原來的8倍 C．將小球A、B的電荷量都減小到原來的一半 D．將小球A、B的電荷量都減小到原來的一半，同時將小球B的質(zhì)量增加到原來的2倍 分析與解答：由B的共點力平衡圖知，而，可知，答案為BD 變式2如圖所示，一個重力為的小環(huán)套在豎直的半徑為的光滑大圓環(huán)上，一勁度系數(shù)為k，自然長度為L（L<2r）彈簧的一端固定在小環(huán)上，另一端固定在大圓環(huán)的最高點A。當(dāng)小環(huán)靜止時，略去彈簧的自重和小環(huán)與大圓環(huán)間的摩擦。求彈簧與豎直方向之間的夾角 分析與解答：若物體在三個力F1、F2、F3

11、作用下處于平衡狀態(tài)，這三個力必組成首尾相連的三角形F1、F2、F3，題述中恰有三角形AO與它相似，則必有對應(yīng)邊成比例。 變式4一個質(zhì)量為m=50kg的均勻圓柱體，放在臺階的旁邊，臺階的高度A是圓柱半徑r的一半，如圖所示，柱體與臺階接觸處是粗糙的?，F(xiàn)在圖中柱體的最上方A處施一最小的力，使柱體剛好能開始以P為軸向臺階上滾，求： ⑴ 所加力的大小。 ⑵臺階對柱體作用力的大小。 分析與解答：先將圓柱的重力順AP與垂直AP方向分解，得到帶斜線的力三角形，再作輔助線BP、AB，又得幾何，與力三角形相似，有： 小錦囊 研究物理平衡問題時，遇上物體受三力作用而平衡，且三力成一定的夾角時，一

12、般可以化三力平衡為二力平衡，其中涉及到力的三角形。如果能找出一個幾何意義的三角形與這個具有物理意義的三角形相似時，可以快速利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的規(guī)律建立比例關(guān)系式。可以避免采用正交分解法解平衡問題時對角度（力的方向）的要求． ， 解得：， 經(jīng)典例題如下圖（a）所示，m在三根細(xì)繩懸吊下處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)用手持繩OB的B端，使OB緩慢向上轉(zhuǎn)動，且始終保持結(jié)點O的位置不動，分析AO、BO兩繩中的拉力如何變化． 分析與解答：由于 O點始終不動故物體始終處于平衡狀態(tài)，OC對O的拉力不變且OA中拉力的方向不變，由平衡條件的推論可知繩AO的拉力 F1、繩O

13、B的拉力F2的合力 F’的大小和方向不變?，F(xiàn)假設(shè)OB轉(zhuǎn)至圖（b）中F2’位置，用平行四邊形定則可以畫出這種情況下的平行四邊形，依此即可看出，在OB上轉(zhuǎn)的過程中，OA中的拉力F1變小，而OB中的拉力F2是先變小后變大。 變式1重G的光滑小球靜止在固定斜面和豎直擋板之間。若擋板逆時針緩慢轉(zhuǎn)到水平位置，在該過程中，斜面和擋板對小球的彈力的大小F1、F2各如何變化？ F1 F2 G 小錦囊 動態(tài)平衡中各力的變化情況是一種常見類型，總結(jié)其特點有：①合力大小和方向不變；②一個分力的方向不變，分析另一個分力方向變化時兩個分力的大小的變化情況。用圖解法具有簡單、直觀的優(yōu)點 分析與解答：由于擋板是

14、緩慢轉(zhuǎn)動的，可以認(rèn)為每個時刻小球都處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此所受合力為零。應(yīng)用三角形定則，G、F1、F2三個矢量應(yīng)組成封閉三角形，其中G的大小、方向始終保持不變；F1的方向不變；F2的起點在G的終點處，而終點必須在F1所在的直線上，由作圖可知，擋板逆時針轉(zhuǎn)動90°過程，F(xiàn)2矢量也逆時針轉(zhuǎn)動90°，因此F1逐漸變小，F(xiàn)2先變小后變大。（當(dāng)F2⊥F1，即擋板與斜面垂直時，F(xiàn)2最?。? 1 2 3 經(jīng)典例題三根不可伸長的相同的輕繩，一端系在半徑為r0的環(huán)1上，彼此間距相等，繩穿過半徑為r0的第2個圓環(huán)，另一端同樣地系在半徑為2r0的環(huán)3上，如圖所示，環(huán)1固定在水平面上，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).試求第

15、2個環(huán)中心與第3個環(huán)中心之間的距離.(三個環(huán)都是用相同的金屬絲制作的，摩擦不計) 分析與解答：過中心作一截面圖，如圖所示，由于對稱，每根繩上張力相同，設(shè)為F.設(shè)環(huán)2的質(zhì)量為m，則環(huán)3的質(zhì)量為2m. 對環(huán)2和3整體有:3F = mg + 2mg θ 2 3 r0 d F 對環(huán)3有:3Fsinθ= 2mg 由以上兩式得: 即，所以. 變式1半圓柱體P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的豎直擋板MN。在P和MN之間放有一個光滑均勻的小圓柱體Q，整個裝置處于靜止。右圖所示是這個裝置的縱截面圖。若用外力使MN保持豎直，緩慢地向右移動，在Q落到地面以前，發(fā)現(xiàn)P始終保持靜止。在此

16、過程中，下列說法中正確的是 P M Q N A．MN對Q的彈力逐漸減小 B．地面對P的摩擦力逐漸增大 C．P、Q間的彈力先減小后增大 D．Q所受的合力逐漸增大 分析與解答：整體為對象MN對Q的彈力和地面對P的摩擦力是一對平衡力，以Q為對象畫受力分析圖，可知MN右移時MN對Q的彈力和P、Q間的彈力都是增大的；Q始終處于靜止，因此合力始終為零。答案為B 小錦囊 若研究對象由多個物體組成，首先考慮運用整體法，這樣受力情況比較簡單，但整體法并不能求出系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力，故此時需要使用隔離法，所以整體法和隔離法常常交替使用 變式2有一個直角支架AOB，AO水平放置，表面

17、粗糙， OB豎直向下，表面光滑。AO上套有小環(huán)P，OB上套有小環(huán)Q，兩環(huán)質(zhì)量均為m，兩環(huán)由一根質(zhì)量可忽略、不可伸長的細(xì)繩相連，并在某一位置平衡（如圖所示）?，F(xiàn)將P環(huán)向左移一小段距離，兩環(huán)再次達(dá)到平衡，那么將移動后的平衡狀態(tài)和原來的平衡狀態(tài)比較，AO桿對P環(huán)的支持力FN和摩擦力f的變化情況是 mg F N α O A B P Q A．FN不變，f變大 B．FN不變，f變小 C．FN變大，f變大 D．FN變大，f變小 分析與解答：以兩環(huán)和細(xì)繩整體為對象求FN，可知豎直方向上始終二力平衡，F(xiàn)N=2mg不變；以Q環(huán)為對象，在重力、細(xì)繩拉力F和OB壓力N作用下平衡，設(shè)細(xì)繩和豎

18、直方向的夾角為α，則P環(huán)向左移的過程中α將減小，N=mgtanα也將減小。再以整體為對象，水平方向只有OB對Q的壓力N和OA 對P環(huán)的摩擦力f作用，因此f=N也減小。答案為B。 變式3重G的均勻繩兩端懸于水平天花板上的A、B兩點。靜止時繩兩端的切線方向與天花板成α角。求繩的A端所受拉力F1和繩中點C處的張力F2。 分析與解答：以AC段繩為研究對象，根據(jù)判定定理，雖然AC所受的三個力分別作用在不同的點（如圖中的A、C、P點），但它們必為共點力。設(shè)它們延長線的交點為O，用平行四邊形定則作圖可得： 經(jīng)典例題如圖所示，AB桿重力不計，長為20 cm，A端用鐵鏈與墻相連，桿可繞A自由轉(zhuǎn)

19、動，另一端掛重10 N的物體P，繩長l=8 cm，系于墻與桿之間，桿AB保持水平，欲使拉力最小，角應(yīng)多大？ 分析與解答：重物P對AB桿B端拉力，對A點力臂為AB，其力矩為： 繩拉力分解為平行桿和豎直桿方向的兩個分力 垂直AB桿的分力對A點的力矩為 根據(jù)力矩平衡條件，則有： 即 解得： 當(dāng)時，取最小值，其最小值為： F F G G v v F合 經(jīng)典例題一航天探測器完成對月球的探測任務(wù)后，在離開月球的過程中，由靜止開始沿著與月球表面成一傾斜角的直線飛行，先加速運動，再勻速運動。探測器通過噴氣而獲得推動力。以下關(guān)于噴氣方向的描述中正確的是 A．探測器

20、加速運動時，沿直線向后噴氣 B．探測器加速運動時，豎直向下噴氣 C．探測器勻速運動時，豎直向下噴氣 D．探測器勻速運動時，不需要噴氣 分析與解答：探測器沿直線加速運動時，所受合力F合方向與運動方向相同，而重力方向豎直向下，由平行四邊形定則知推力方向必須斜向上方，因此噴氣方向斜向下方。勻速運動時，所受合力為零，因此推力方向必須豎直向上，噴氣方向豎直向下。答案為C 變式1測定患者的血沉，在醫(yī)學(xué)上有助于醫(yī)生對病情作出判斷。設(shè)血液是由紅血球和血漿組成的懸浮液，將此懸浮液放進(jìn)豎直放置的血沉管內(nèi)，紅血球便會在血漿中勻速下沉，其下沉速率稱為血沉。某人的血沉v的值大約是10mm/h，如果把紅血球近似

21、為半徑為R的小球，且認(rèn)為它在血漿中下沉?xí)r所受的粘滯阻力為f=6πRηv。在室溫下，η≈1.8×10-3Pa·s，已知血漿的密度ρ0≈1.0×103㎏/m3，紅血球的密度ρ≈1.3×103㎏/m3。試由以上數(shù)據(jù)估算紅血球半徑的大小。（結(jié)果保留一位有效數(shù)字） 分析與解答：血液是由紅血球和血漿組成的懸浮液，紅血球會在血漿中勻速下沉，可以把紅血球近似為半徑R的小球，它在血漿中下沉?xí)r所受的粘滯阻力為f=6πRηv，由以上幾個信可得出受力圖，如圖。此時紅血球在血漿中勻速下沉，取紅血球為研究對象。因為勻速下沉則∑F=0，即mg=F+f ρvg=ρ0vg+6πRηv 即(ρ－ρ0)4/3πR3g=6

22、πRηv 代入數(shù)據(jù)，解之得R=2.73×10-6m≈3×10-6 m 變式22003年10月15日9時，在太空遨游21小時的“神舟”五號飛船返回艙按預(yù)定計劃，載著宇航員楊利偉安全降落在內(nèi)蒙古四子王旗地區(qū)．“神舟”五號飛船在返回時先要進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整，然后返回艙以近8 km/s的速度進(jìn)入大氣層，當(dāng)返回艙距地面30 km時，返回艙上的回收發(fā)動機啟動，相繼完成拉出天線、拋掉底蓋等動物．在飛船返回艙運動到距地面20 km以下的高度后，速度減為200 m/s而勻速下降，此段過程中返回艙所受空氣阻力為f =，式中為大氣的密度，v是返回艙的運動速度，S為與形狀特征有關(guān)的阻力面積，當(dāng)返回艙距地面高度為10

23、km時打開面積為1 200 m2的降落傘，直到速度達(dá)到8 m/s后勻速下落．為實現(xiàn)軟著陸（即著陸時返回艙的速度為0），當(dāng)返回艙離地面1.2 m時反沖發(fā)動機點火，使反回艙落地的速度減為零，返回艙此時的質(zhì)量為2.7 × 103 kg，取g = 10 m/s2． （1）用字母表示出返回艙在速度為200 m/s時的質(zhì)量； （2）分析從打開降落傘到反沖發(fā)動機點火前，返回艙的加速度和速度的變化情況； （3）求反沖發(fā)動機的平均反推力的大小及反沖發(fā)動機對返回艙做的功． 分析與解答：（1）當(dāng)返回艙在速度為20 m/s時，受到的重力和阻力平衡而勻速下落，由牛頓第二定律mg – f = 0，根據(jù)已知條件得m

24、g –= 0，m = （2）在打開降落傘到反沖發(fā)動機點火前，返回艙的加速度先增大而后減小，加速度方向向上，返回艙的速度不斷減少，直到速度減小到8 m/s后勻速下落． （3）反沖發(fā)動機工作后，使返回艙的速度由8 m/s減小為0，返回艙受重力和平均反沖力F作用做減速運動的位移為h = 1.2 m，根據(jù)動能定理，（mg – F）h = 0 –mv2，F(xiàn) = 9.9 × 104 N反沖發(fā)動機對返回艙做的功W = Fh = 1.2 × 105 J． 變式3在廣場游玩時，一個小孩將一充有氫氣的氣球用細(xì)繩系于一個小石塊上，并將小石塊放置于水平地面上．已知小石塊的質(zhì)量為m1，氣球（含球內(nèi)氫氣）的質(zhì)量為m

25、2，氣球體積為V，空氣密度為（V和均視作不變量），風(fēng)沿水平方向吹，風(fēng)速為v．已知風(fēng)對氣球的作用力（式中k為一已知系數(shù)，u為氣球相對空氣的速度）．開始時，小石塊靜止在地面上，如圖所示． （1）若風(fēng)速v在逐漸增大，小孩擔(dān)心氣球會連同小石塊一起被吹離地面，試判斷是否會出現(xiàn)這一情況，并說明理由． （2）若細(xì)繩突然斷開，已知氣球飛上天空后，在氣球所經(jīng)過的空間中的風(fēng)速v保持不變量，求氣球能達(dá)到的最大速度的大?。? 分析與解答：（1）將氣球和小石塊作為一個整體：在豎直方向上，氣球（包括小石塊）受到重力G、浮力F和地面支持力N的作用，據(jù)平衡條件有　N=（m1＋m2）g－式中N是與風(fēng)速v無關(guān)的恒力，故氣球會

26、連同小石塊不會一起被吹離地面． （2）氣球的運動可分解成水平方向和豎直方向的兩分運動，達(dá)最大速度時氣球在水平方向做勻速運動，有　氣球在豎直方向做勻速運動，有 氣球的最大速度　 聯(lián)立求解得　　　 變式4當(dāng)物體從高空下落時，空氣阻力會隨物體的速度增大而增大，因此經(jīng)過下落一段距離后將勻速下落，這個速度稱為此物體下落的終極速度。研究發(fā)現(xiàn)，在相同環(huán)境條件下，球形物體的終極速度僅與球的半徑和質(zhì)量有關(guān)。下表是某次研究的實驗數(shù)據(jù)： 小球編號 A B C D E 小球的半徑（×10-3m） 0.5 0.5 1.5 2 2.5 小球的質(zhì)量（×10-6kg） 2 5 45

27、40 100 小球的終極速度（m/s） 16 40 40 20 32 (1) 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出B球與C球在達(dá)到終極速度時所受的空氣阻力之比。 (2) 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，歸納出球型物體所受的空氣阻力f與球的速度及球的半徑的關(guān)系，寫出表達(dá)式及比例系數(shù)。 (3)現(xiàn)將C號和D號小球用輕質(zhì)細(xì)線連接，若它們在下落時所受的空氣阻力與單獨下落時的規(guī)律相同。讓它們同時從足夠高處下落，請求出它們的終極速度；并判斷它們落地的順序（不需要寫出判斷理由）。 分析與解答： (1) 球在達(dá)到終極速度時為平衡狀態(tài)。 f = mg fB : fC = mB : mC=1:9

28、（2）由A、B球數(shù)據(jù)可得，阻力與速度成正比，由B、C球數(shù)據(jù)可得，阻力與球的半徑 的平方成正比，得f = kvr2 k = 4.9Ns/m3 （3）mCg + mDg = fC + fD = kv(rC2 + rD2) 代入得 v=27.2m/s C球先落地 經(jīng)典例題如圖所示，一質(zhì)量為m、電量為+q的帶電小球以與水平方向成某一角度θ的初速度v0射入水平方向的勻強電場中，小球恰能在電場中做直線運動．若電場的場強大小不變，方向改為相反同時加一垂直紙面向外的勻強磁場，小球仍以原來的初速度重新射入，小球恰好又能做直線運動．求電場強度的大小、磁感應(yīng)強度的大小和初速度與水平方

29、向的夾角θ。 分析與解答：在沒有磁場，只有電場時，設(shè)小球的運動方向與水平方向的夾角為θ受力情況如圖甲所示． mg θ V0 qE qvB 乙 θ mg θ θ 甲 V0 qE θ V0 E 根據(jù)已知得： 在既有磁場又有電場時，E不變，受力情況如圖乙，由幾何知識得θ＝450 小球仍做直線運動，有： 解得：B＝ E＝ 變式1兩個正點電荷Q1=Q和Q2=4Q分別置于固定在光滑絕緣水平面上的A、B兩點，A、B兩點相距L，且A、B兩點正好位于水平光滑絕緣半圓細(xì)管的兩個端點出口處，如圖所示。（1）現(xiàn)將另一正點電荷置于A、

30、B連線上靠近A處靜止釋放，它在AB連線上運動過程中能達(dá)到最大速度的位置離A點的距離。 （2）若把該點電荷放于絕緣管內(nèi)靠近A點處由靜止釋放，試確定它在管內(nèi)運動過程中速度為最大值時的位置P。即求出圖中PA和AB連線的夾角θ。 （3）Q1、Q2兩點電荷在半圓弧上電勢最低點的位置P/是否和P共點，請作出判斷并說明理由。 分析與解答：（1）正點電荷在A、B連線上速度最大處對應(yīng)該電荷所受合力為零，即 即 得x= （2）點電荷在P點處如其所受庫侖力的合力沿OP方向，則它在P點處速度最大，即此時滿足 tanθ= 即得θ=arctan （3）P/點即為P點。因為正點電荷從A點沿管道運動至P

31、的過程中，電場力做正功，它的電勢能減小，而從P運動至B過程中，克服電場力做功，它的電勢能將增大，因此該正點電荷在P處電勢能最小，相應(yīng)P點處的電勢最低。 a b B E 經(jīng)典例題如圖所示，在空間存在水平向里，場強為B的勻強磁場和豎直向上，場強為E的勻強電場。在某點由靜止釋放一個帶負(fù)電的液滴a ,它運動到最低點處，恰與一個原來處于靜止的帶正電的液滴b相撞，撞后兩液滴合為一體，沿水平方向做直線運動，已知液滴a的質(zhì)量是液滴b質(zhì)量的2倍；液滴a 所帶電量是液滴b所帶電量的4倍。求兩液滴初始位置之間的高度差h。（a、b之間的靜電力忽略） 分析與解答：碰撞前a做曲線運動，電場力和

32、重力做功，獲得速度v，a、b碰撞動量守恒，碰后合液滴豎直方向合力為零，沿水平方向勻速直線運動。 設(shè)a電量為4q，質(zhì)量為2m, b電量為q，質(zhì)量為m 碰前對a由動能定理 對b碰前有：qE=mg a、b碰撞，動量守恒 碰后合液滴水平直線，力平衡，總電量3q，質(zhì)量3m 聯(lián)立得 變式1在同時存在勻強電場和勻強磁場的空間中取正交坐標(biāo)系oxyz (z軸正方向豎直向上)．如圖所示．已知電場方向沿z軸正方向，場強大小為E；磁場方向沿y軸正方向，磁感應(yīng)強度的大小為B；重力加速度為g．問：一質(zhì)量為m，帶電量為+q的從原點出發(fā)的質(zhì)點能否在坐標(biāo)軸(x、y、z)上以速度v做勻速運動？若能，m、q、

33、E、B、v及g應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？若不能，說明理由． 分析與解答：已知帶電質(zhì)點受到的電場力為qE，方向沿z軸正方向，質(zhì)點受到的重力為mg，沿z軸負(fù)方向． 假設(shè)質(zhì)點在x軸上做勻速運動，則它們所受洛侖茲力必沿z軸正方向(當(dāng)v沿x軸正方向)或沿z軸負(fù)方向(當(dāng)v沿x軸負(fù)方向)，要質(zhì)點做勻速運動必分別有： qvB+qE=mg 或qE=qBv+mg 假設(shè)質(zhì)點在y軸上做勻速運動，則無論沿y軸正方向還是負(fù)方向，洛侖茲力都為零，要質(zhì)點做勻速運動必有：qE=mg 假設(shè)質(zhì)點在z軸上做勻速運動，則它受的洛侖茲力必平行于x軸，而電場力和重力都平行于z軸，二力的合力不可能為零，與假設(shè)矛盾，故質(zhì)點不可能在

34、z軸上做勻速運動. 變式2磁流體發(fā)電是一種新型發(fā)電方式，圖1和圖2是其工作原理示意圖。圖1中的長方體是發(fā)電導(dǎo)管，其中空部分的長、高、寬分別為、、，前后兩個側(cè)面是絕緣體，上下兩個側(cè)面是電阻可略的導(dǎo)體電極，這兩個電極與負(fù)載電阻相連。整個發(fā)電導(dǎo)管處于圖2中磁場線圈產(chǎn)生的勻強磁場里，磁感應(yīng)強度為B，方向如圖所示。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)有電阻率為的高溫、高速電離氣體沿導(dǎo)管向右流動，并通過專用管道導(dǎo)出。由于運動的電離氣體受到磁場作用，產(chǎn)生了電動勢。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速隨磁場有無而不同。設(shè)發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速處處相同，且不存在磁場時電離氣體流速為，電離氣體所受摩擦阻力總與流速成正比，發(fā)電導(dǎo)管兩端的電離氣體壓強差

35、維持恒定，求： （1）不存在磁場時電離氣體所受的摩擦阻力F多大； （2）磁流體發(fā)電機的電動勢E的大??； （3）磁流體發(fā)電機發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率P。 分析與解答：（1）不存在磁場時，由力的平衡得 （2）設(shè)磁場存在時的氣體流速為，則磁流體發(fā)電機的電動勢 回路中的電流 電流I受到的安培力 設(shè)為存在磁場時的摩擦阻力，依題意 存在磁場時，由力的平衡得 根據(jù)上述各式解得 （3）磁流體發(fā)電機發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率 由能量守恒定律得故 F a b θ B 經(jīng)典例題如圖所示，傾角θ=30o、寬度L=1m的足夠長的“U”形平行光滑金屬導(dǎo)軌固定在磁感應(yīng)強度B =1T，范圍充分大

36、的勻強磁場中，磁場方向垂直于斜面向下。用平行于軌道的牽引力拉一根質(zhì)量m =0.2㎏、電阻R =1Ω放在導(dǎo)軌上的金屬棒a b，使之由靜止沿軌道向上移動，牽引力做功的功率恒為6W，當(dāng)金屬棒移動2.8m時，獲得穩(wěn)定速度，在此過程中金屬棒產(chǎn)生的熱量為5.8J，不計導(dǎo)軌電阻及一切摩擦，取g=10m/s2。求： （1）金屬棒達(dá)到穩(wěn)定時速度是多大？ （2）金屬棒從靜止達(dá)到穩(wěn)定速度時所需的時間多長？ 分析與解答：（1）金屬棒沿斜面上升達(dá)穩(wěn)定速度時，設(shè)所受的安培力為F安，由平衡條件得： F=mgsinθ+F安 而F安=BIL=B L 又 聯(lián)立以上三式解得v=2m/s

37、 （2）由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律可得Pt = mgssinθ++Q 代入數(shù)據(jù)解得：t =1.5s 變式1如圖所示，兩根完全相同的“V”字形導(dǎo)軌OPQ與KMN倒放在絕緣水平面上，兩導(dǎo)軌都在豎直平面內(nèi)且正對、平行放置，其間距為L，電阻不計。兩條導(dǎo)軌足夠長，所形成的兩個斜面與水平面的夾角都是α．兩個金屬棒ab和a'b'的質(zhì)量都是m，電阻都是R，與導(dǎo)軌垂直放置且接觸良好．空間有豎直向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B． (1)如果兩條導(dǎo)軌皆光滑，讓a'b'固定不動，將ab釋放，則ab達(dá)到的最大速度是多少? (2)如果將ab與a'b'同時

38、釋放，它們所能達(dá)到的最大速度分別是多少? 分析與解答： (1)ab運動后切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，而后受到安培力，當(dāng)受力平衡時，加速度為0，速度達(dá)到最大，受力情況如圖所示．則： mgsinα=F安cosα 又F安＝BIL I＝E感/2R E感＝BLvmcosα 聯(lián)立上式解得 (2)若將ab、a'b'同時釋放，因兩邊情況相同，所以達(dá)到的最大速度大小相等，這時ab、a'b'都產(chǎn)生感應(yīng)電動勢而且是串聯(lián)． ∴mgsinα＝F安‘cosα F安‘＝BI‘L ∴ 變式2如圖所示，金屬桿ａｂ、ｃｄ置于平行軌道MN、PQ上，可沿軌道滑動，兩軌道間距離為L＝0.5ｍ，軌

39、道所在空間有勻強磁場與軌道平面相互垂直，磁感應(yīng)強度B＝0.5T，用力F＝0.25N向右水平拉桿ａｂ，若ａｂ、ｃｄ與軌道間的滑動摩擦力為f1＝0.15N、f2＝0.1N，兩桿的電阻分別為R1＝R2＝0.1W。求： （1）兩桿之間的穩(wěn)定速度差，設(shè)軌道電阻不計，ａｂ、ｃｄ的質(zhì)量關(guān)系為2ｍ1＝3ｍ2 （2）若F＝0.3N，兩桿間穩(wěn)定速度差又是多少？　　 分析與解答：由F＞f1，故棒ab由靜止開始作勻加速運動，棒ab中將出現(xiàn)不斷變大的感應(yīng)電流，致使cd也會受到安培力F2作用. 當(dāng)F2＞f2時，cd棒也開始運動，故cd棒開始運動的條件是 F－f1－f2＞0. (1)當(dāng)F= 0.25N時，F(xiàn)－f1－

40、f2＝0.故cd棒保持靜止，兩桿的穩(wěn)定速度差等于ab棒的最終穩(wěn)定速度v1max，故此種情況有 Im＝＝，F(xiàn)m＝BIml，F(xiàn)－Fm－f1＝0，得v1max = 0.32m/s. (2)當(dāng)F＝0.3N時，有 I＝，F(xiàn)1＝F2＝BIl，F(xiàn)－f1－F1＝m1a1， F2－f2＝m2a2，a1＝a2 得 v1－v2＝＝0.38m/s. 變式3如圖所示，有兩根足夠長、不計電阻，相距L的平行光滑金屬導(dǎo)軌cd、ef與水平面成θ角固定放置，底端連一電阻R，在軌道平面內(nèi)有磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，方向垂直軌道平面斜向上.現(xiàn)有一平行于ce、垂直于導(dǎo)軌、質(zhì)量為m、電阻不計的金屬桿ab，在沿軌道平面向上的恒

41、定拉力F作用下，從底端ce由靜止沿導(dǎo)軌向上運動，當(dāng)ab桿速度達(dá)到穩(wěn)定后，撤去拉力F，最后ab桿又沿軌道勻速回到ce端.已知ab桿向上和向下運動的最大速度相等.求:拉力F和桿ab最后回到ce端的速度v. 分析與解答：解:當(dāng)ab桿沿導(dǎo)軌上滑達(dá)到最大速度v時，其受力如圖所示: θ ╯ FB F FN mg v θ a F b B R c d e f 由平衡條件可知: F-FB-mgsinθ=0 又FB=BIL 而 聯(lián)立得: 同理可得，下滑過程中: 解得: 變式4如圖所示，

42、處于勻強磁場中的兩根足夠長、電阻不計的平行金屬導(dǎo)軌相距l(xiāng)m，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=37°角，下端連接阻值為R的電阻．勻強磁場方向與導(dǎo)軌平面垂直．質(zhì)量為0.2kg、電阻不計的金屬棒放在兩導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸，它們之間的動摩擦因數(shù)為0.25。求： (1)求金屬棒沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑時的加速度大小； (2)當(dāng)金屬棒下滑速度達(dá)到穩(wěn)定時，電阻R消耗的功率為8W，求該速度的大小； (3)在上問中，若R＝2Ω，金屬棒中的電流方向由a到b，求磁感應(yīng)強度的大小與方向． (g=10rn／s2，sin37°＝0.6， cos37°＝0.8) 分析與解答： (1)金屬棒開始下滑的初速為零，根據(jù)牛

43、頓第二定律： mgsinθ－μmgcosθ＝ma 得a＝10×(O.6－0.25×0.8)m／s2=4m／s2 (2)設(shè)金屬棒運動達(dá)到穩(wěn)定時，速度為v，所受安培力為F，棒在沿導(dǎo)軌方向受力平衡 mgsinθ一μmgcos0一F＝0 　 此時金屬棒克服安培力做功的功率等于電路中電阻R消耗的電功率：Fv＝P 　　 解得 (3)設(shè)電路中電流為I，兩導(dǎo)軌間金屬棒的長為l，磁場的磁感應(yīng)強度為B P＝I2R 解得磁場方向垂直導(dǎo)軌平面向上 解決平衡問題的基本方法： （1）弄請平衡狀態(tài)（加速度為零） （2）巧選研究對象（整體法和隔離法） （3）作好受力分析（規(guī)范畫好受力圖） （4）建立平衡方程 （5）求解、討論 21