2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 直線、多邊形、圓 1 第二課時 平行線分線段成比例定理學(xué)案 北師大版選修4-1

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1、 第二課時 平行線分線段成比例定理 [對應(yīng)學(xué)生用書P5] 1.平行線分線段成比例定理及推論 定理內(nèi)容 符號語言 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線,截得的對應(yīng)線段成比例 如圖,若a∥b∥c,則= 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),截得的對應(yīng)線段成比例 如圖,若a∥b∥c,則== 2.三角形內(nèi)角平分線定理 定理內(nèi)容 符號語言 三角形內(nèi)角平分線定理 三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例 如圖,AD為∠A的平分線,則= 1.平行線分線段成比例定理的條件是什么? 提示:

2、定理的條件應(yīng)給出一組平行線,至少三條,可以推廣到多條但要注意對應(yīng)成比例. 2.線段的比與比例線段有何異同? 提示:線段的比是兩條線段而言的,而比例線段是對四條線段而言的.線段的比有順序性,a∶b與b∶a通常是不相等的.比例線段也有順序性,如線段a,b,c,d成比例,與線段a,c,b,d成比例不同. 3.三角形內(nèi)角平分線定理中能否寫成AB·DC=BD·AC? 提示:可以.但要注意其對應(yīng)成比例不變. [對應(yīng)學(xué)生用書P5] 利用定理證明比例式 [例1] 如圖,AD為△ABC的中線,在AB上取點(diǎn)E,AC上取點(diǎn)F,使AE=AF,求證:=. [思路點(diǎn)撥] 本題主要考查利用平行線分線

3、段成比例定理證明比例式.解答此題時,可考慮過C作CM∥EF,補(bǔ)一個平行四邊形求解. [精解詳析] 如圖,過C作CM∥EF,交AB于點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)N. ∵AE=AF,∴AM=AC. ∵AD為△ABC的中線, ∴BD=CD. 延長AD到G,使得DG=AD,則四邊形ABGC為平行四邊形. ∴AB=GC. ∵CM∥EF,∴==,∴=. 又AB∥GC,AM=AC,GC=AB, ∴==.∴=. 1.利用平行線分線段成比例定理證明比例式時,當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時,常把線段的比轉(zhuǎn)化為另兩條線段的比. 2.當(dāng)題中沒有平行線條件而必須轉(zhuǎn)移比例時,常添加輔助平行線,從而達(dá)到轉(zhuǎn)移比

4、例的目的. 1.AD為△ABC的中線,過C作任一直線交線段AB及中線AD于F,E.求證:=. 證明:作FK∥AD交BC于點(diǎn)K,則有=. 又=,=, CD=BD,兩式相乘, 得=,即=, ∴===, ∴=,又=,∴=. 利用定理證明乘積式 [例2] 如圖所示,已知直線FD和△ABC的BC邊交于D,與AC邊交于E,與BA的延長線交于F,且BD=DC,求證:AE·FB=EC·FA. [思路點(diǎn)撥] 本題只需證=即可.由于與沒有直接關(guān)系,因此必須尋找過渡比將它們聯(lián)系起來.因此考慮添加平行線構(gòu)造過渡比. [精解詳析] 過A作AG∥BC,交DF于G點(diǎn),如圖所示. ∵A

5、G∥BD,∴=. 又∵BD=DC,∴=. ∵AG∥BD,∴=. ∴=,即AE·FB=EC·FA. 證明乘積式時先轉(zhuǎn)化為比例式,再利用平行線分線段成比例定理證明,必要時添加輔助平行線. 2.如圖已知,點(diǎn)E是?ABCD邊CD延長線上的一點(diǎn),連接BE交AC于點(diǎn)O,交AD于點(diǎn)F.求證:OB2=OE·OF. 證明:因為四邊形ABCD是平行四邊形, 所以AB∥CD,AD∥BC. 由AB∥CE,得=. 由AF∥BC,得=. 所以=(等量代換). 即OB2=OE·OF. 定理的應(yīng)用 [例3] 如圖所示,∠A=∠E,=,BD=8,求BC的長. [思路點(diǎn)撥]

6、 本題主要考查利用平行線分線段成比例定理求線段長.解此題時,由于BC和BD是對應(yīng)線段,因此只需得出AC∥DE即可. [精解詳析] ∵∠A=∠E,∴AC∥DE, ∴=,∴=,∴BC=4. 在列比例式求線段的長時,應(yīng)盡可能將需求的線段寫成比例式的一項,以減少比例變形,減少錯誤. 3.如圖,EF⊥FD,AB⊥FD,CD⊥FD,EF=1.5,AB=2.5,F(xiàn)B=2,BD=6,求CD的長. 解:由EF⊥FD,AB⊥FD,CD⊥FD,得EF∥AB∥CD. 過E作EH⊥CD于H,交AB于G, 則EH∥FD,則EF=GB=HD,EG=FB,GH=BD, AG=AB-EF=2.5-1

7、.5=1, ===, 所以CH=4,所以CD=CH+HD=4+1.5=5.5. 本課主要考查平行線分線段成比例定理,難度較低,屬中低檔題. [考題印證] 如圖,設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn),D點(diǎn)沿著平行于BC的方向移動到AC邊上的E點(diǎn),再由E點(diǎn)沿著平行于AB的方向移動到BC邊上的F點(diǎn);再由F點(diǎn)沿著平行于CA的方向移動到AB邊上的G點(diǎn)……這樣每沿著平行于某邊的直線移動到另一邊算作一次,那么最多n次,D點(diǎn)可回到原出發(fā)點(diǎn),則n的值為 . [命題立意] 本題主要考查平行線分線段成比例定理的應(yīng)用. [自主嘗試] 當(dāng)D點(diǎn)是AB邊的中點(diǎn)時,只需3次; 當(dāng)D點(diǎn)是AB邊

8、上除中點(diǎn)外的任一點(diǎn)時,由平行線分線段成比例定理得 ======, ∴=, 即=, ∴BD=BM,可知D點(diǎn)與M點(diǎn)重合, ∴n=6. 答案:6 [對應(yīng)學(xué)生用書P7] 一、選擇題 1.如圖,已知AA′∥BB′∥CC′,AB∶BC=2∶1,那么下列等式成立的是(  ) A.AB=A′B′    B.AB∶AC=2∶3 C.A′C′=2BC D.CC′=2AA′ 解析:選B ∵=,∴=. ∴=.∴=,即=. 2.如圖,AD是△ABC的中線,E是CA邊的三等分點(diǎn),BE交AD于點(diǎn)F,則AF∶FD為(  ) A.2∶1        B.3∶1

9、C.4∶1 D.5∶1 解析:選C 過D作DG∥AC交BE于G, ∴DG=EC,又AE=2EC, ∴AF∶FD=AE∶DG=2EC∶EC=4∶1. 3.如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AD上一點(diǎn),連接CE并延長交BA的延長線于點(diǎn)F,則下列結(jié)論中錯誤的是(  ) A.∠AEF=∠DEC B.FA∶CD=AE∶BC C.FA∶AB=FE∶EC D.AB=DC 解析:選B 對于A,根據(jù)對頂角相等,此結(jié)論正確; 對于B,分析可得FA∶FB=AE∶BC,所以此結(jié)論錯誤; 對于C,根據(jù)平行線分線段成比例定理得,此結(jié)論正確; 對于D,由平行四邊形性

10、質(zhì)知,正確. 4.如圖,在△ABC中,AE∶EB=1∶3,BD∶DC=2∶1,AD與CE相交于F,則+的值為(  ) A. B.1 C. D.2 解析:選C 過點(diǎn)D作DG∥AB交EC于G, 則===, 而=,即=.∴AE=DG. ∴AF=DF,EF=FG=CG. ∴+=+=+1=. 二、填空題 5.如圖,正方形ABCD中,過點(diǎn)D作DP交AC于點(diǎn)M,交AB于中點(diǎn)N,交CB的延長線于點(diǎn)P.若MN=1,PN=3,則DM的長為 . 解析:∵AD∥BC,AN=NB,∴==1. ∵PN=3,∴DN=3. ∵M(jìn)N=1,∴DM=D

11、N-MN=2. 答案:2 6.(廣東高考)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在AB上且EB=2AE,AC與DE交于點(diǎn)F,則= . 解析:由CD∥AE,得△CDF∽△AEF, 于是=2=2=9. 答案:9 7.如圖,體育興趣小組選一名身高1.6 m的同學(xué)直立于旗桿影子的頂端處,其他人分為兩部分,一部分同學(xué)測得該同學(xué)的影長為1.2 m,另一部分同學(xué)測得同一時刻旗桿影長為9 m,那么旗桿的高度是 m. 解析:由題意得1.6∶1.2=旗桿的高度∶9.所以旗桿的高度為12 m. 答案:12 8.如圖,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是BD的中點(diǎn),直線

12、AE交BC于F,則的值為 . 解析:過點(diǎn)D作DM∥AF交BC于點(diǎn)M, ∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn), ∴在△BDM中,BF=FM. ∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn), ∴在△CAF中,CM=MF. ∴==. 答案: 三、解答題 9.已知線段OA⊥OB,點(diǎn)C為OB中點(diǎn),D為線段OA上一點(diǎn).連接AC,BD交于點(diǎn)P.如圖,當(dāng)OA=OB,且D為OA中點(diǎn)時,求的值. 解:過D作DE∥CO交AC于E, 因為D為OA中點(diǎn), 所以AE=CE=AC,=, 因為點(diǎn)C為OB中點(diǎn),所以BC=CO,=, 所以==, 所以PC=CE=AC, 所以===2. 10.如圖,AB⊥BD于B,CD⊥B

13、D于D,連接AD,BC交于點(diǎn)E,EF⊥BD于F,求證:+=. 證明:∵AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD, ∴AB∥EF∥CD, ∴=,=, ∴+=+===1, ∴+=. 11.已知?ABCD的對角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)P是直線BD上任意一點(diǎn)(異于B,O,D三點(diǎn)),過P點(diǎn)作平行于AC的直線,交直線AD于E,交直線BA的延長線于F. (1)若點(diǎn)P在線段BD上(如圖所示),試說明:AC=PE+PF. (2)若點(diǎn)P在BD或DB的延長線上,試探究AC,PE,PF滿足的等量關(guān)系式(只寫出結(jié)論,不作證明). 解:(1)延長FP交DC于點(diǎn)G, 因為AB∥CD,AC∥FG, 所以四邊形AFGC是平行四邊形, 所以AC=FG(平行四邊形的對邊相等), 因為EG∥AC, 所以==(被平行線所截的線段對應(yīng)成比例); 又因為OA=OC,所以PE=PG, 所以AC=FG=PF+PG=PE+PF. (2)若點(diǎn)P在BD延長線上,AC=PF-PE.如圖所示. 若點(diǎn)P在DB延長線上,AC=PE-PF.如圖所示. 10

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