2017-2018版高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.5.2 定積分學案 蘇教版選修2-2

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1、1.5.2定積分學習目標1.了解定積分的概念，會用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質知識點一定積分的概念思考回顧求曲邊梯形面積和變速直線運動路程的求法，找一下它們的共同點一般地，設函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上有定義，將區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為x(x)，在每個小區(qū)間上取一點，依次為x1，x2，xi，xn.作和_，如果當x0(亦即n)時，SnS(常數(shù))，那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記為：Sf(x)dx，其中，f(x)稱為_，a，b稱為_，a稱為_，b稱為_知識點二定積分的幾何意義思考定積分和曲邊梯形的面積有何關系？從幾何角度看，

2、如果在區(qū)間a，b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有_，那么定積分f(x)dx表示由_所圍成的曲邊梯形的面積這就是定積分f(x)dx的幾何意義知識點三定積分的性質思考你能根據(jù)定積分的幾何意義解釋f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)嗎？1kf(x)dx(k為常數(shù))2f1(x)f2(x)dx.3f(x)dx(其中acb)類型一定積分的概念例1用定積分的定義計算x2dx.反思與感悟利用定義求定積分的步驟：跟蹤訓練1用定義計算(1x)dx.類型二定積分的幾何意義例2(1)如圖所示，f(x)在區(qū)間a，b上，則陰影部分的面積S為_(填寫序號)f(x)dx；f(x)dxf(x)dx；f(x)dxf(x)d

3、x；f(x)dxf(x)dx.(2)利用定積分的幾何意義計算dx.反思與感悟(1)定積分的幾何意義是在x軸上半部，計算的面積取正值，在x軸下半部計算的面積取負值(2)不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個容易求定積分的圖形求面積，要注意分割點要確定準確(關鍵詞：分割)(3)奇、偶函數(shù)在區(qū)間a，a上的定積分若奇函數(shù)yf(x)的圖象在a，a上連續(xù)，則f(x)dx0.若偶函數(shù)yf(x)的圖象在a，a上連續(xù)，則f(x)dx2f(x)dx.跟蹤訓練2利用幾何意義計算下列定積分：(1)dx；(2)(3x1)dx；(3)(x33x)dx.類型三定積分的性質例3計算(x3)dx的值反思與感悟根據(jù)定積分的性質

4、計算定積分，可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關函數(shù)的定積分，再利用函數(shù)的性質、定積分的性質結合圖形進行計算跟蹤訓練3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.1關于定積分a(2)dx的敘述正確的是_(填序號)被積函數(shù)為y2，a6；被積函數(shù)為y2，a6；被積函數(shù)為y2，a6；被積函數(shù)為y2，a6.2將曲線yex，x0，x2，y0所圍成的圖形面積寫成定積分的形式為_32(x2)dx_.4計算： (25sin x)dx.1定積分f(x)dx是一個和式f(i)的極限，是一個常數(shù)2可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定積分

5、；對于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分3定積分的幾何性質可以幫助簡化定積分運算提醒：完成作業(yè)1.5.2答案精析問題導學知識點一思考兩個問題均可以通過“分割、以直代曲、作和、逼近”解決，都可以歸結為一個特定形式和的極限Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x被積函數(shù)積分區(qū)間積分下限積分上限知識點二思考(1)當函數(shù)f(x)0時，定積分f(x)dx表示由直線xa，xb(ab)，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(2)當函數(shù)f(x)0時，曲邊梯形位于x軸的下方，此時f(x)dx等于曲邊梯形面積S的相反數(shù)，即f(x)dxS.(3)當f(x)在區(qū)間a，b上有正有負時，定積分f(

6、x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線xa，xb(ab)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負)f(x)0直線xa，xb，y0和曲線yf(x)知識點三思考直線xc把一個大的曲邊梯形分成了兩個小曲邊梯形，因此大曲邊梯形的面積S是兩個小曲邊梯形的面積S1，S2之和，即SS1S2.1kf(x)dx2f1(x)dxf2(x)dx3f(x)dxf(x)dx題型探究例1解令f(x)x2.(1)分割在區(qū)間0,3上等間隔地插入n1個點，把區(qū)間0,3分成n等份，其分點為xi(i1,2，n1)，這樣每個小區(qū)間xi1，xi的長度x(i1,2，n)(2)以直代曲、作和令ixi(i1,2，n

7、)，于是有和式：(i)x()22n(n1)(2n1)(1)(2)(3)逼近n時，(1)(2)9.根據(jù)定積分的定義x2dx9.跟蹤訓練1解(1)分割將區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間(i1,2，n)，每個小區(qū)間的長度為x.(2)以直代曲、作和在上取點i1(i1,2，n)，于是f(i)112，從而得(i)x(2)n012(n1)22.(3)逼近n時，2.因此(1x)dx.例2(1)(2)解dx表示圓心為(2,0)，半徑等于2的圓的面積的，即dx22.跟蹤訓練2解(1)在平面上y表示的幾何圖形為以原點為圓心以2為半徑的上半圓，其面積為S222.由定積分的幾何意義知dx2.(2)由直線x1，x3，y0，以及

8、y3x1所圍成的圖形，如圖所示：(3x1)dx表示由直線x1，x3，y0以及y3x1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，(3x1)dx(3)(331)(1)216.(3)yx33x為奇函數(shù)，(x33x)dx0.例3解如圖， 由定積分的幾何意義得dx，x3dx0，由定積分性質得(x3)dxdxx3dx. 跟蹤訓練3解(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3()12.(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6()126；(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx3x2dx2x3dx327.達標檢測12.exdx3.54解由定積分的幾何意義得2dx()22.由定積分的幾何意義得sin xdx0.所以 (25sin x)dx2dx5sin xdx2.9