2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 習(xí)題課 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修2-2

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1、習(xí)題課 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)會利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(多項式次數(shù)不超過三次)知識點一函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)yf(x)f(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f(x)0單調(diào)遞_f(x)0單調(diào)遞_知識點二求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0,當(dāng)f(x0)0時,(1)如果在x0附近的左側(cè)_,右側(cè)_,那么f(x0)是極大值(2)如果在x0附近的左側(cè)_,右側(cè)_,那么f(x0)是極小值知識點三函數(shù)yf(x)在a,b上最大值與最小值的求法1求函數(shù)yf(x)在(a,b)上的極值2將第(1)步中求得的極值與f(a),f(b)比較,得到f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小

2、值類型一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)例1(1)f(x)是定義在(0,)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf(x)f(x)0,對任意正數(shù)a,b,若a0.討論f(x)的單調(diào)性反思與感悟(1)關(guān)注函數(shù)的定義域,單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間(2)已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時轉(zhuǎn)化要等價(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實質(zhì)是討論不等式的解集(4)求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法跟蹤訓(xùn)練1(1)已知f(x)x3ax2a2x2.若a1,求曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線方程;若a0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)已知f(x)exax1.求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍類型二利用導(dǎo)數(shù)求函

3、數(shù)的極值例2已知函數(shù)f(x)x1(aR,e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線平行于x軸,求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的極值反思與感悟(1)已知極值點求參數(shù)的值后,要回代驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義(2)討論極值點的實質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性,即f(x)的正負(fù)跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f(x)x2ln x1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(a1,a1)內(nèi)存在極值,則實數(shù)a的取值范圍是_類型三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例3已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點P(1,0),且在點P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,t(0t3)上的最大值和

4、最小值反思與感悟求函數(shù)的最值的方法步驟:(1)求f(x)在(a,b)上的極值(2)將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較得出函數(shù)f(x)在a,b上的最值跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)x3ax2b,且a,b為實數(shù),1a1時,x2ln xx3是否恒成立,并說明理由反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題(如:證明不等式,比較大小等),其實質(zhì)就是利用求導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性,而證明不等式(或比較大小)常與函數(shù)最值問題有關(guān)因此,解決該類問題通常是構(gòu)造一個函數(shù),然后考查這個函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點的函數(shù)值使問題得以求解跟蹤訓(xùn)練4證明:當(dāng)x2,1時,x34x.1若函數(shù)yx3x2mx1是R

5、上的單調(diào)函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是_2設(shè)f(x)、g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù),且f(x)g(x)f(x)g(x)0,則當(dāng)axf(b)g(b); f(x)g(a)f(a)g(x);f(x)g(b)f(b)g(x); f(x)g(x)f(a)g(a)3已知函數(shù)yf(x)(xR)的圖象如圖所示,則不等式xf(x)0的解集為_4已知函數(shù)f(x)x3x22x5,若對于任意x1,2,都有f(x)0f(x)0(2)f(x)0題型探究例1(1)解析令g(x),則g(x),xf(x)f(x)0,g(x)0.則g(x)在(0,)上單調(diào)遞減若ag(b),即,得bf(a)af(b)(2)解由題意知,f(

6、x)的定義域是(0,),f(x)1.設(shè)g(x)x2ax2,二次方程g(x)0的判別式a28.當(dāng)0即0a0都有f(x)0,此時f(x)是(0,)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)0即a2時,僅對x,有f(x)0,對其余的x0都有f(x)0.此時f(x)也是(0,)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)0即a2時,方程g(x)0有兩個不同的實根x1,x2,0x10時,由f(x)0,得ax0,得x,此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a,),單調(diào)遞增區(qū)間為(,a)和(,)當(dāng)a0時,由f(x)0,得x0,得xa,此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,a),單調(diào)遞增區(qū)間為(,)和(a,)綜上,當(dāng)a0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a,),單調(diào)遞增區(qū)間為

7、(,a),(,);當(dāng)a0在R上恒成立;當(dāng)a0時,有xln a.綜上所述:當(dāng)a0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,);當(dāng)a0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為ln a,)f(x)exax1,f(x)exa.f(x)在R上單調(diào)遞增,f(x)exa0恒成立,即aex,xR恒成立,xR時,ex(0,),a0.例2解(1)由f(x)x1,得f(x)1,又曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線平行于x軸,得f(1)0,即10,解得ae.(2)f(x)1,當(dāng)a0時,f(x)0恒成立,f(x)為(,)上的增函數(shù),所以函數(shù)f(x)無極值當(dāng)a0時,令f(x)0,得exa,xln a.x(,ln a)時,f(x)0,所以f(

8、x)在(,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,)上單調(diào)遞增,所以f(x)在xln a處取得極小值,且極小值為f(ln a)ln a,無極大值綜上,當(dāng)a0時,函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a0時,f(x)在xln a處取得極小值ln a,無極大值跟蹤訓(xùn)練21,)例3解(1)因為f(x)3x22ax,曲線在P(1,0)處的切線斜率為f(1)32a,即32a3,a3.又函數(shù)過(1,0)點,即2b0,b2.所以a3,b2,f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22,得f(x)3x26x.由f(x)0得,x0或x2.當(dāng)0t2時,在區(qū)間(0,t)上f(x)0,f(x)在0,t上是減函數(shù),所以f(x)max

9、f(0)2,f(x)minf(t)t33t22.當(dāng)2t3時,當(dāng)x變化時,f(x)、f(x)的變化情況如下表:x0(0,2)2(2,t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2,f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個f(t)f(0)t33t2t2(t3)0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)綜上,當(dāng)a0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,);當(dāng)a0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)(2)當(dāng)x1時,x2ln x1時,g(x)0,故g(x)在(1,)上遞增,g(x)g(1)0,x3x2ln x0,即x2ln xx3在x(1,)上恒成立跟蹤訓(xùn)練4證明令f(x)x34x,x2,1,則f(x)x24.因為x2,1,所以f(x)0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上單調(diào)遞減故函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上的最大值為f(2),最小值為f(1).所以,當(dāng)x2,1時,f(x),即x34x成立達(dá)標(biāo)檢測1.2.3(,0)(,2)4.(7,)10

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