2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 3.1 等比數(shù)列(一)學(xué)案 北師大版必修5

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1、31等比數(shù)列(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例,理解等比數(shù)列的概念并學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)應(yīng)用.3.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并了解其推導(dǎo)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的概念思考觀察下列4個(gè)數(shù)列,歸納它們的共同特點(diǎn)1,2,4,8,16,;1,;1,1,1,1,;1,1,1,1,.梳理等比數(shù)列的概念和特點(diǎn)(1)如果一個(gè)數(shù)列從第_項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的_一項(xiàng)的_都等于_常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的_,通常用字母q表示(q0)(2)遞推公式形式的定義q(n1)(或q,nN)(3)等比數(shù)列各項(xiàng)均_為0.知識(shí)點(diǎn)二等比中項(xiàng)的概念思考在2,8之間插入一個(gè)數(shù),使之成等比數(shù)列這樣的實(shí)數(shù)有幾個(gè)?

2、梳理等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的異同,對(duì)比如下表:對(duì)比項(xiàng)等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)定義若a,A,b成等差數(shù)列,則A叫作a與b的等差中項(xiàng)若a,G,b成_數(shù)列,則G叫作a與b的等比中項(xiàng)定義式AabA公式AG個(gè)數(shù)a與b的等差中項(xiàng)唯一a與b的等比中項(xiàng)有_個(gè),且互為_(kāi)備注任意兩個(gè)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)只有當(dāng)_時(shí),a與b才有等比中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列的通項(xiàng)公式思考等差數(shù)列通項(xiàng)公式是如何推導(dǎo)的?你能類比推導(dǎo)首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?梳理等差數(shù)列an首項(xiàng)為a1,公比為q,則ana1qn1.類型一證明等比數(shù)列例1根據(jù)下面的框圖,寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng),并建立數(shù)列的遞推公式這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎?反思與感悟判斷一個(gè)數(shù)列是否為

3、等比數(shù)列的方法是利用定義,即q(與n無(wú)關(guān)的常數(shù))跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn(an1)(nN)(1)求a1,a2;(2)證明:數(shù)列an是等比數(shù)列類型二等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題角度1方程思想例2一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18,求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)反思與感悟已知等比數(shù)列an的某兩項(xiàng)的值,求該數(shù)列的其他項(xiàng)或求該數(shù)列的通項(xiàng)常用方程思想,通過(guò)已知可以得到關(guān)于a1和q的兩個(gè)方程,從而解出a1和q,再求其他項(xiàng)或通項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練2在等比數(shù)列an中(1)已知a13,q2,求a6;(2)已知a320,a6160,求an.命題角度2等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)

4、,每經(jīng)過(guò)一年剩余的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%,這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)?(精確到1年,放射性物質(zhì)衰變到原來(lái)的一半所需時(shí)間稱為這種物質(zhì)的半衰期)反思與感悟等比數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題,在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中較為常見(jiàn),解題的關(guān)鍵是弄清楚等比數(shù)列模型中的首項(xiàng)a1,項(xiàng)數(shù)n所對(duì)應(yīng)的實(shí)際含義跟蹤訓(xùn)練3某制糖廠2011年制糖5萬(wàn)噸,如果從2011年起,平均每年的產(chǎn)量比上一年增加20%,那么到哪一年,該糖廠的年制糖量開(kāi)始超過(guò)30萬(wàn)噸?(保留到個(gè)位,lg 60.778,lg 1.20.079)類型三等比中項(xiàng)例4若1,a,3成等差數(shù)列,1,b,4成等比數(shù)列,則的值為()A B. C1 D1反思與感悟(1)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有唯一確定的等差中

5、項(xiàng);(2)只有同號(hào)的兩個(gè)實(shí)數(shù)才有實(shí)數(shù)等比中項(xiàng),且一定有2個(gè)跟蹤訓(xùn)練41與1的等比中項(xiàng)是()A1 B1C1 D.1在等比數(shù)列an中,a18,a464,則a3等于()A16 B16或16C32 D32或322若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4,末項(xiàng)為128,公比為2,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A4 B8 C6 D323已知等比數(shù)列an滿足a1a23,a2a36,則a7等于()A64 B81 C128 D243445和80的等比中項(xiàng)為_(kāi)1等比數(shù)列的判斷或證明(1)利用定義:q(與n無(wú)關(guān)的常數(shù))(2)利用等比中項(xiàng):aanan2(nN)2兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)a、b才有等比中項(xiàng),而且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(),而不是一個(gè)(),這是

6、容易忽視的地方3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn1共涉及a1,q,n,an四個(gè)量,已知其中三個(gè)量可求得第四個(gè)量答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考從第2項(xiàng)起,每項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)梳理(1)2前比同一公比(3)不能知識(shí)點(diǎn)二思考設(shè)這個(gè)數(shù)為G.則,G216,G4.所以這樣的數(shù)有2個(gè)梳理等比兩相反數(shù)ab0知識(shí)點(diǎn)三思考等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是借助累加消去中間項(xiàng),等比數(shù)列則可用累乘根據(jù)等比數(shù)列的定義得q,q,q,q(n2)將上面n1個(gè)等式的左、右兩邊分別相乘,得qn1,化簡(jiǎn)得qn1,即ana1qn1(n2)當(dāng)n1時(shí),上面的等式也成立ana1qn1(nN)題型探究例1解若將輸出的數(shù)依次記為a1(即A),a

7、2,a3,.由框圖可知,a11,a2a1,a3a2,a4a3,a5a4.于是,可得遞推公式由于,因此這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式是ann1.跟蹤訓(xùn)練1(1)解a1S1(a11),a1.又a1a2S2(a21),a2.(2)證明Sn(an1),Sn1(an11),兩式相減得an1an1an,即an1an,數(shù)列an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列例2解設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是a1,公比是q,那么,得q,將q代入,得a1.因此,a2a1q8.綜上,這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是與8.跟蹤訓(xùn)練2解(1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得,a63(2)6196.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,那么解得所以ana1qn152n1.例3解設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1,經(jīng)過(guò)n年,剩余量是an,由條件可得,數(shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列其中a10.84,q0.84,設(shè)an0.5,則0.84n0.5.兩邊取對(duì)數(shù),得nlg 0.84lg 0.5,用計(jì)算器算得n4.答這種物質(zhì)的半衰期大約為4年跟蹤訓(xùn)練3解記該糖廠每年制糖產(chǎn)量依次為a1,a2,a3,an,.則依題意可得a15,1.2(n2且nN),從而an51.2n1,這里an30,故1.2n16,即n1log1.269.85.故n11.答從2021年開(kāi)始,該糖廠年制糖量開(kāi)始超過(guò)30萬(wàn)噸例4D跟蹤訓(xùn)練4C當(dāng)堂訓(xùn)練1C2.C3.A4.60或607

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