2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性(一)學(xué)案 蘇教版必修1

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1、22.1函數(shù)的單調(diào)性(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念.2.會(huì)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性.3.會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性思考畫出函數(shù)f(x)x、f(x)x2的圖象,并指出f(x)x、f(x)x2的圖象的升降情況如何?梳理一般地,單調(diào)性是相對(duì)于區(qū)間來(lái)說(shuō)的,函數(shù)圖象在某區(qū)間上上升,則函數(shù)在該區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù),該區(qū)間稱為單調(diào)增區(qū)間反之則為單調(diào)減函數(shù),相應(yīng)區(qū)間稱為單調(diào)減區(qū)間因?yàn)楹芏鄷r(shí)候我們不知道函數(shù)圖象是什么樣的,而且用上升下降來(lái)刻畫單調(diào)性很粗糙所以有以下定義:設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間IA.(1)如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1x2時(shí),都有

2、f(x1)f(x2),那么就說(shuō)yf(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù),I稱為yf(x)的單調(diào)增區(qū)間(2)如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1f(x2),那么就說(shuō)yf(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù),I稱為yf(x)的單調(diào)減區(qū)間單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間思考我們已經(jīng)知道f(x)x2的單調(diào)減區(qū)間為(,0,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(,0),這兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間的書寫形式能不能交換?梳理一般地,有下列常識(shí)(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題,所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域,則該點(diǎn)處區(qū)間可開(kāi)可閉,若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi)(2)單調(diào)區(qū)間D定義域

3、I.(3)遵循最簡(jiǎn)原則,單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大類型一求單調(diào)區(qū)間并判斷單調(diào)性例1如圖是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)yf(x),根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)?反思與感悟函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),單調(diào)區(qū)間是定義域的子集;當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)以上單調(diào)區(qū)間時(shí),單調(diào)區(qū)間之間可用“,”分開(kāi),不能用“”,可以用“和”來(lái)表示;在單調(diào)區(qū)間D上函數(shù)要么是單調(diào)增函數(shù),要么是單調(diào)減函數(shù),不能二者兼有跟蹤訓(xùn)練1寫出函數(shù)y|x22x3|的單調(diào)區(qū)間,并指出單調(diào)性類型二證明單調(diào)性命題角度1證明具體函數(shù)的單調(diào)性例2證明f(x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)反思與感悟運(yùn)用定義判斷或證

4、明函數(shù)的單調(diào)性時(shí),應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)給定的區(qū)間上任意取x1,x2且x10時(shí),f(x)1.求證:函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)反思與感悟因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)不知道解析式,所以不能代入求f(x1)f(x2),但可以借助題目提供的函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定f(x1)f(x2)的大小,這時(shí)就需要根據(jù)解題需要對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行賦值跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)的定義域是R,對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,n,恒有f(mn)f(m)f(n),且當(dāng)x0時(shí),0f(x)1.求證:f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)類型三單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1利用單調(diào)性求參數(shù)范圍例4若函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)減函數(shù),則a的取值范圍為_(kāi)反思與感悟分段函數(shù)在定義域上單調(diào),除了要保

5、證各段上單調(diào)外,還要保證在接口處不能反超另外,函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的圖象不一定是連續(xù)不斷的跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)命題角度2用單調(diào)性解不等式例5已知yf(x)在定義域(1,1)上是單調(diào)減函數(shù),且f(1a)f(2a1),求a的取值范圍反思與感悟若已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性,則由x1,x2的大小,可得f(x1),f(x2)的大?。挥蒮(x1),f(x2)的大小,可得x1,x2的大小跟蹤訓(xùn)練5在例5中若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镽,且為單調(diào)增函數(shù),f(1a)f(2a1),則a的取值范圍又是什么?1函數(shù)yf(x)在區(qū)間2,2上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的單

6、調(diào)增區(qū)間是_2函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間是_3在下列函數(shù)f(x)中,滿足對(duì)任意x1,x2(0,),當(dāng)x1f(x2)的是_(填序號(hào))f(x)x2;f(x);f(x)|x|;f(x)2x1.4給出下列說(shuō)法:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)f(2),則函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)增函數(shù);若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)f(2),則函數(shù)f(x)在R上不可能為單調(diào)減函數(shù);函數(shù)f(x)在(,0)(0,)上為單調(diào)增函數(shù);函數(shù)f(x)在定義域R上為單調(diào)增函數(shù)其中說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))5若函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù),且f(|x|)f(1),則x的取值范圍是_1若f(x)的定義域?yàn)镈,AD,BD,f(x)在

7、A和B上都為單調(diào)減函數(shù),未必有f(x)在AB上為單調(diào)減函數(shù)2對(duì)單調(diào)增函數(shù)的判斷,對(duì)任意x1x2,都有f(x1)0或0.對(duì)單調(diào)減函數(shù)的判斷,對(duì)任意x1f(x2),相應(yīng)地也可用一個(gè)不等式來(lái)替代:(x1x2)f(x1)f(x2)0或0.3熟悉常見(jiàn)的一些函數(shù)的單調(diào)性,包括一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù)等4若f(x),g(x)都是單調(diào)增函數(shù),h(x)是單調(diào)減函數(shù),則:在定義域的交集(非空)上,f(x)g(x)為單調(diào)增函數(shù),f(x)h(x)為單調(diào)增函數(shù),f(x)為單調(diào)減函數(shù),為單調(diào)減函數(shù)(f(x)0)5對(duì)于函數(shù)值恒正(或恒負(fù))的函數(shù)f(x),證明單調(diào)性時(shí),也可以作商與1比較答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考兩函

8、數(shù)的圖象如下:函數(shù)f(x)x的圖象由左到右是上升的;函數(shù)f(x)x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的,在y軸右側(cè)是上升的知識(shí)點(diǎn)二思考f(x)x2的單調(diào)減區(qū)間可以寫成(,0),而f(x)的單調(diào)減區(qū)間(,0)不能寫成(,0,因?yàn)?不屬于f(x)的定義域題型探究例1解yf(x)的單調(diào)區(qū)間有5,2,2,1,1,3,3,5,其中yf(x)在區(qū)間5,2,1,3上是單調(diào)減函數(shù),在區(qū)間2,1,3,5上是單調(diào)增函數(shù)跟蹤訓(xùn)練1解先畫出f(x)的圖象,如圖所以y|x22x3|的單調(diào)區(qū)間有(,1,1,1,1,3,3,),其中單調(diào)減區(qū)間是(,1,1,3;單調(diào)增區(qū)間是1,1,3,)例2證明f(x)的定義域?yàn)?,)設(shè)x1,x2是定

9、義域0,)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1x2,則f(x1)f(x2).0x1x2,x1x20,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在定義域0,)上是單調(diào)增函數(shù)跟蹤訓(xùn)練2證明設(shè)x1,x2是實(shí)數(shù)集R上的任意實(shí)數(shù),且1x1x2,則f(x1)f(x2)x1(x2)(x1x2)()(x1x2)(x1x2)(1)(x1x2)()1x1x2,x1x20,10,故(x1x2)()0,即f(x1)f(x2)0,即f(x1)x2.令xyx1,yx2,則xx1x20.f(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1.x0,f(x)1,f(x)10,f(x1)f(x2)0,即f

10、(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)方法二設(shè)x1x2,則x1x20,從而f(x1x2)1,即f(x1x2)10.f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1f(x2),故f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)跟蹤訓(xùn)練3證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,n,恒有f(mn)f(m)f(n),令m1,n0,可得f(1)f(1)f(0),當(dāng)x0時(shí),0f(x)1,f(1)0,f(0)1.令mx0,nx0,則f(mn)f(0)f(x)f(x)1,f(x)f(x)1,又x0時(shí),0f(x)1,f(x)1.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f(x)恒大于0.設(shè)任意x10,0f(x2x1)1,f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x

11、1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)10,f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)例4,)解析要使f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù),需滿足:解得a.跟蹤訓(xùn)練4(,12,)解析由于二次函數(shù)開(kāi)口向上,故其單調(diào)增區(qū)間為a,),單調(diào)減區(qū)間為(,a,而f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào),所以1,2a,)或1,2(,a,即a1或a2.例5解f(1a)f(2a1)等價(jià)于解得0a,即所求a的取值范圍是0a.跟蹤訓(xùn)練5解yf(x)的定義域?yàn)镽,且為單調(diào)增函數(shù),f(1a)f(2a1),1a,所求a的取值范圍是(,)當(dāng)堂訓(xùn)練12,12.(,0),(0,)34解析由單調(diào)增函數(shù)的定義,可知錯(cuò)誤;由單調(diào)減函數(shù)的定義,可知正確;因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(,0)和(0,)上為單調(diào)增函數(shù),所以錯(cuò)誤;作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,由圖象可知正確5(1,1)12

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