2018年高考數(shù)學二輪復習 專題13 直線與圓教學案 文

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1、 專題13 直線與圓 (1)以客觀題形式考查兩條直線平行與垂直的關(guān)系判斷，常常是求參數(shù)值或取值范圍，有時也與命題、充要條件結(jié)合，屬?？键c之一． (2)與三角函數(shù)、數(shù)列等其他知識結(jié)合，考查直線的斜率、傾斜角、直線與圓的位置關(guān)系等，以客觀題形式考查． (3)本部分內(nèi)容主要以客觀題形式考查，若在大題中考查，較少單獨命制試題，常常與圓錐曲線相結(jié)合，把直線與圓的位置關(guān)系的判斷或應用作為題目條件的一部分或一個小題出現(xiàn)，只要掌握最基本的位置關(guān)系，一般都不難獲解． 1．直線方程 (1)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系 傾斜角α的取值范圍：0°≤α<180°. 傾斜角為α(α≠90°)的直線的斜

2、率k＝tanα，傾斜角為90°的直線斜率不存在． 當0°<α<90°時，k>0且k隨傾斜角α的增大而增大． 當90°<α<180°時，k<0且k隨傾斜角α的增大而增大． (2)直線方程 名稱 方程 適用范圍 點斜式 y－y1＝k(x－x1) 不能表示與x軸垂直的直線 斜截式 y＝kx＋b 不能表示與x軸垂直的直線 兩點式 ＝ 不能表示與坐標軸垂直的直線 截距式 ＋＝1 不能表示與坐標軸垂直和過原點的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 適合所有的直線 (3)兩直線的位置關(guān)系 位置關(guān)系 l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2

3、x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行 k1＝k2，且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0 相交 k1≠k2特別地，l1⊥l2?k1k2＝－1 A1B2≠A2B1特別地，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0 (4)距離公式 ①兩點P1(x1，y1)，P(x2，y2)間的距離 |P1P2|＝. ②點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝. 2．圓的方程 (1)圓的方程 ①標準方程：(x－a)2＋(y－b

4、)2＝r2，圓心坐標為(a，b)，半徑為r. ②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圓心坐標為，半徑r＝. (2)點與圓的位置關(guān)系 ①幾何法：利用點到圓心的距離d與半徑r的關(guān)系判斷：d>r?點在圓外，d＝r?點在圓上；d0)的位置關(guān)系如下表. 方法

5、位置關(guān)系 幾何法：根據(jù)d＝與r的大小關(guān)系　 代數(shù)法： 消元得一元二次方程，根據(jù)判別式Δ的符號 相交 d0 相切 d＝r Δ＝0 相離 d>r Δ<0 (4)圓與圓的位置關(guān)系 表現(xiàn)形式 位置關(guān)系 幾何表現(xiàn)：圓心距d與r1、r2的關(guān)系 代數(shù)表現(xiàn)：兩圓方程聯(lián)立組成的方程組的解的情況 相離 d>r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實數(shù)解 相交 |r1－r2|

6、式或斜截式求直線方程時，注意斜率不存在情形的討論，應用截距式求直線方程時，注意過原點的情形． 2．判斷兩直線平行與垂直時，不要忘記斜率不存在的情形． 考點一　直線及其方程 例1. 【2017江蘇，13】在平面直角坐標系中,點在圓上,若則點的橫坐標的取值范圍是 ▲ . 【答案】 【解析】設，由，易得，由，可得或，由得P點在圓左邊弧上,結(jié)合限制條件 ，可得點P橫坐標的取值范圍為. 【變式探究】【2016高考新課標3文數(shù)】已知直線：與圓交于兩點，過分別做的垂線與軸交于兩點，若，則__________________. 【答案】4 【變式探究】已知點A(－1，0)，B

7、(1，0)，C(0，1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是(　　) A．(0，1) B. C. D. 【答案】B 【解析】(1)當直線y＝ax＋b與AB、BC相交時(如圖①)，由得yE＝，又易知xD＝－，∴|BD|＝1＋，由S△DBE＝××＝得b＝∈. 　　 圖①　　　　　　　　圖② (2)當直線y＝ax＋b與AC、BC相交時(如圖②)，由S△FCG＝(xG－xF)·|CM|＝得b＝1－∈ (∵00恒成立 ， ∴b∈∩，即b∈.故選B. 考點二　兩直線的位置關(guān)系 例2、【2016高考上

8、海文數(shù)】已知平行直線，則的距離___________. 【答案】 【解析】利用兩平行線間距離公式得. 已知點O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有(　　) A．b＝a3 B．b＝a3＋ C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0 【答案】C 【變式探究】設m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________． 【答案】5 【解析】易求定點A(0，0)，B(1，3)．當P與A和B均不重合時，不難驗

9、證PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(當且僅當|PA|＝|PB|＝時，等號成立)，當P與A或B重合時，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 考點三　圓的方程 例3．【2017課標3，文20】在直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為.當m變化時，解答下列問題： （1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； （2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 【答案】（1）不會；（2）詳見解析 【解析】 （1）不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下： 設, ,則滿足，所以. 又C的坐標為

10、（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況. 【變式探究】【2016高考新課標2文數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ） （A） （B） （C） （D）2 【答案】A 【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標為，由點到直線的距離公式得： ，解得，故選A． 【變式探究】(2015·新課標全國Ⅰ，14)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________． 【解析】由題意知圓過(4，0)，(0，2)，(0，－2)三點，(4，0)，(0，－2)

11、兩點的垂直平分線方程為y＋1＝－2(x－2)， 令y＝0，解得x＝，圓心為，半徑為.故圓的標準方程為＋y2＝. 【答案】＋y2＝ 考點四　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 例4．【2016高考江蘇卷】 如圖，在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓及其上一點 （1）設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標準方程； （2）設平行于的直線與圓相交于兩點，且,求直線的方程； （3）設點滿足：存在圓上的兩點和,使得,求實數(shù)的取值范圍。 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 因為 而 所以，解得m=5或m=-15. 【變式探究】(2015·新課標全國Ⅱ，7

12、)過三點A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圓交y軸于M、N兩點，則|MN|＝(　　) A．2 B．8 C．4 D．10 【答案】C 【解析】由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，則·＝3×(－3)＋ (－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故過三點A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，選C. 1.【2017江蘇，13】在平面直角坐標系中, 點在圓上,若則點的橫坐標的取值范圍是 ▲ . 【答案】 2

13、.【2017課標3，文20】在直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為.當m變化時，解答下列問題： （1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； （2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 【答案】（1）不會；（2）詳見解析 【解析】 （1）不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下： 設, ,則滿足，所以. 又C的坐標為（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況. （2）BC的中點坐標為（），可得BC的中垂線方程為. 由（1）可得，所以AB的中垂線方程為. 聯(lián)立又，可得 所以過A、B、C三點的圓的圓心坐標為（），半徑

14、 故圓在y軸上截得的弦長為，即過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 1.【2016高考新課標2文數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ） （A） （B） （C） （D）2 【答案】A 【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標為，由點到直線的距離公式得： ，解得，故選A． 2.【2016高考上海文數(shù)】已知平行直線，則的距離___________. 【答案】 【解析】利用兩平行線間距離公式得. 3.【2016高考新課標3文數(shù)】已知直線：與圓交于兩點，過分別做的垂線與軸交于兩點，若，則__________

15、________. 【答案】4 4.【2016高考新課標1卷】（本小題滿分12分）設圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E. （I）證明為定值,并寫出點E的軌跡方程； （II）設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）（）（II） . 可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為. 當與軸垂直時，其方程為，，，四邊形的面積為12. 綜上，四邊形面積的取值范圍為. 5.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分

16、） 如圖，在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓及其上一點 （1）設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標準方程； （2）設平行于的直線與圓相交于兩點，且,求直線的方程； （3）設點滿足：存在圓上的兩點和,使得,求實數(shù)的取值范圍。 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 1．(2015·江蘇，10)在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________． 【答案】(x－1)2＋y2＝2 【解析】直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑

17、r＝＝. 故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2. 2．(2015·重慶，8)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．2 【答案】C 【解析】圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為C(2，1)，半徑為r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝＝ ＝6，選C. 3．(2015·山東，9)一條光線從點(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所

18、在直線的斜率為(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 【答案】D 【解析】圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圓心為(－3，2)，半徑r＝1.(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點為(2，－3)．如 1. 【2014高考江蘇卷第9題】在平面直角坐標系中，直線被圓截得的弦長為 . 【答案】 【解析】圓的圓心為，半徑為，點到直線的距離為，所求弦長為． 【考點定位】直線與圓相交的弦長問題． 2. 【2014全國2高考文第16題】設點M（,1），若在圓O:上存在點N，使得∠OMN=45°，則的取值范圍是________. 【答案】 【解析】由題意知：

19、直線MN與圓O有公共點即可，即圓心O到直線MN的距離小于等于1即可，如圖， 過OA⊥MN，垂足為A，在中，因為∠OMN=45，所以=， 解得，因為點M（,1），所以，解得，故的取值范圍是 . 【考點定位】直線與圓的位置關(guān)系 3.【2014四川高考文第14題】設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是 . 【答案】5 【考點定位】直線與圓 4. 【2014重慶高考文第13題】已知直線與圓心為的圓相交于兩點，且為等邊三角形，則實數(shù)_________. 【答案】 【解析】由題設圓心到直線的距離為 解得： 所以答案應填： 【考點定位】直線與

20、圓的位置關(guān)系 5.【2014陜西高考第12題】若圓的半徑為1，其圓心與點關(guān)于直線對稱，則圓的標準方程為_______. 【答案】 【考點定位】圓的標準方程. 6. 【2014高考湖北卷文第12題】直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則 . 【答案】2 【解析】依題意，設與單位圓相交于兩點，則∠°.如圖，當時滿足題意，所以. 【考點定位】直線與圓 7. 【2014大綱高考文第15題】直線和是圓的兩條切線，若與的交點為，則與的夾角的正切值等于 . 【答案】． 【解析】顯然兩切線，斜率都存在．設圓過的切線方程為，則圓心到直線的距離等于半徑，，解得由夾角公式得與的夾角的正切值：． 18