《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、一數(shù)學(xué)歸納法1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2.了解數(shù)學(xué)歸納法的使用范圍3.會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題1數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟:(1)證明當(dāng)nn0時(shí)命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN且kn0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立,這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法2數(shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)驗(yàn)證當(dāng)nn0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk(kN,且kn0)時(shí)命題成立,推導(dǎo)nk1時(shí)命題也成立(3)結(jié)論:由(1)(2)可知,
2、命題對一切nn0的自然數(shù)都成立1判斷(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)歸納法的特點(diǎn)是由一般到特殊()(2)在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí),要注意起點(diǎn)n一定取1.()(3)數(shù)學(xué)歸納法得出的結(jié)論都是正確的()(4)數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟,第一步是歸納基礎(chǔ),第二步是歸納遞推,兩者缺一不可()(5)數(shù)學(xué)歸納法第二步不需要假設(shè)也可以得出結(jié)論()答案:(1)(2)(3)(4)(5)2在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證()An1成立Bn2成立Cn3成立 Dn4成立答案:C3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3),當(dāng)n1時(shí),左邊應(yīng)為_解析:因?yàn)楫?dāng)n1時(shí),n34.所以左邊應(yīng)為1234.答案:1234用數(shù)學(xué)歸納
3、法證明恒等式學(xué)生用書P54用數(shù)學(xué)歸納法證明1(n1,nN)【證明】(1)當(dāng)n1時(shí),左邊1,右邊,命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時(shí)等式成立,即1.當(dāng)nk1時(shí),左邊1,即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由(1)和(2)知,等式對一切n1,nN均成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的注意點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn):一是要準(zhǔn)確表達(dá)nn0時(shí)命題的形式,二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時(shí),命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn),并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時(shí),必須使用歸納假設(shè) 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:nN時(shí),.證明:當(dāng)n1時(shí),左邊,右邊,左邊右邊,所以等式成立假設(shè)nk(k1,kN)時(shí),等式成立,即有,則當(dāng)nk1時(shí),.所以n
4、k1時(shí),等式也成立由可知,對一切nN等式都成立2已知數(shù)列an滿足a11,an3n1an1(n2,nN)(1)求a2,a3;(2)求證:an.解:(1)由a11,得a2314,a332413.(2)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n1時(shí),a11,所以等式成立假設(shè)nk(kN,k1)時(shí)等式成立,即ak,那么當(dāng)nk1時(shí),ak1ak3k3k.即nk1時(shí),等式也成立由知等式對nN都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題學(xué)生用書P55用數(shù)學(xué)歸納法證明(x1)n1(x2)2n1(nN)能被x23x3整除【證明】當(dāng)n1時(shí),(x1)11(x2)211x23x3能被x23x3整除,命題成立假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時(shí),(x1)k1(
5、x2)2k1能被x23x3整除,那么(x1)(k1)1(x2)2(k1)1(x1)(x1)k1(x2)2(x2)2k1(x1)(x1)k1(x1)(x2)2k1(x1)(x2)2k1(x2)2(x2)2k1(x1)(x1)k1(x2)2k1(x23x3)(x2)2k1.因?yàn)?x1)k1(x2)2k1和x23x3都能被x23x3整除,所以上面的式子也能被x23x3整除這就是說,當(dāng)nk1時(shí),(x1)(k1)1(x2)2(k1)1也能被x23x3整除根據(jù)可知,命題對任何nN都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是利用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)、并項(xiàng)、因式分解等恒等變形的方法
6、去湊假設(shè)、湊結(jié)論,從而利用歸納假設(shè)使問題獲證(2)與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明,其中關(guān)鍵問題是從nk1時(shí)的表達(dá)式中分解出nk時(shí)的表達(dá)式與一個(gè)含除式的因式或幾個(gè)含除式的因式 用數(shù)學(xué)歸納法證明對于整數(shù)n0,An11n2122n1能被133整除證明:(1)當(dāng)n0時(shí),A011212133能被133整除當(dāng)n1時(shí),A111312313323,能被133整除(2)假設(shè)nk(k1,kN)時(shí),Ak11k2122k1能被133整除當(dāng)nk1時(shí),Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1.所以nk1時(shí),命
7、題也成立根據(jù)(1)(2),對于任意整數(shù)n0,命題都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題學(xué)生用書P55平面上有n個(gè)圓,其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn),并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn),求證:這n個(gè)圓把平面分成了f(n)n2n2部分【證明】當(dāng)n1時(shí),一個(gè)圓把平面分成兩部分,且f(1)1122,因此,n1時(shí)命題成立假設(shè)nk(k1,kN)時(shí),命題成立,即k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2部分如果增加一個(gè)滿足條件的任一個(gè)圓,則這個(gè)圓必與前k個(gè)圓交于2k個(gè)點(diǎn)這2k個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓分成2k段弧,每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分因此,這時(shí)平面被分割的總數(shù)在原來的基礎(chǔ)上又增加了2k部分,即有f(k1)f(k)2kk2k22k(k1
8、)2(k1)2,即當(dāng)nk1時(shí),f(n)n2n2也成立根據(jù)可知n個(gè)圓把平面分成了f(n)n2n2部分利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的技巧(1)幾何問題常常是先探索出滿足條件的公式,然后加以證明,探索的方法是由特殊n1,2,3,猜出一般結(jié)論(2)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵在于分析清楚nk與nk1時(shí)二者的差異,這時(shí)常常借助于圖形的直觀性,然后用數(shù)學(xué)式子予以描述,建立起f(k)與f(k1)之間的遞推關(guān)系,實(shí)在分析不出的情況下,將nk1和nk分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說明即可(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式,還要注意結(jié)論要有必要的文字說明平面上有n
9、(n2,且nN)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條不過同一點(diǎn)求證:這n條直線共有f(n)個(gè)交點(diǎn)證明:當(dāng)n2時(shí),兩直線只有1個(gè)交點(diǎn),又f(2)2(21)1.所以當(dāng)n2時(shí),命題成立假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN)時(shí)命題成立,就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)k(k1),則當(dāng)nk1時(shí),任取其中一條直線記為l,由歸納假設(shè)知,剩下的k條直線l1,l2,lk的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn),所以直線l與l1,l2,l3,lk的交點(diǎn)共有k個(gè)所以f(k1)f(k)kk.所以當(dāng)nk1時(shí),命題成立由可知,命題對一切nN且n2均成立1數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍數(shù)學(xué)歸納法
10、可以證明與正整數(shù)有關(guān)的命題,但是,并不能簡單地說所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明2數(shù)學(xué)歸納法中兩步的作用在數(shù)學(xué)歸納法中第一步“驗(yàn)證nn0時(shí)命題成立”是奠基,是推理證明的基礎(chǔ),第二步是假設(shè)與遞推,保證了推理的延續(xù)性3運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵運(yùn)用歸納假設(shè)是關(guān)鍵,在使用歸納假設(shè)時(shí),應(yīng)分析p(k)與p(k1)的差異與聯(lián)系,利用拆、添、并、放、縮等手段,或從歸納假設(shè)出發(fā),從p(k1)中分離出p(k)再進(jìn)行局部調(diào)整1求證:1(nN)證明:(1)當(dāng)n1時(shí),左邊1,右邊1,所以左邊右邊,等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時(shí)等式成立,即1.當(dāng)nk1時(shí),1.這就是說,當(dāng)nk1時(shí),等式也成立由(1)(2)可知,對任何nN,等式都成立2求證:Snn3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除證明:(1)當(dāng)n1時(shí),S1182749,能被9整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,nN)時(shí),Sn能被9整除,即Skk3(k1)3(k2)3能被9整除當(dāng)nk1時(shí),Sk1(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)39k227k27Sk9(k23k3)因?yàn)镾k能被9整除,9(k23k3)能被9整除,所以Sk1能被9整除即當(dāng)nk1時(shí),Sn能被9整除由(1)(2)知,對nN,Sn能被9整除 故由(1)和(2)得,對n2,nN,等式恒成立8