2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 疑難規(guī)律方法：第二章 解三角形學(xué)案 北師大版必修5

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1、第二章 解三角形1正弦定理的幾種證明方法正弦定理是解決斜三角形問題及其應(yīng)用問題(測量)的重要定理，而證明它們的方法很多，展開的思維空間很大，研究它們的證明，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，思維的深度、廣度和靈活度正弦定理的內(nèi)容：在ABC中，三邊和三角分別是a，b，c和A，B，C，則.一、向量法證明在ABC中作單位向量i，則：ii()，|i|sin A|i|sin C，同理可證：，由此證得正弦定理：.二、高線法證明在ABC中作高線CD，則在RtADC和RtBDC中，CDbsin A，CDasin B，即bsin Aasin B，同理可證：，即正弦定理可證得三、外接圓法證明作ABC的外接圓O，過點C連接

2、圓心與圓交于點D，連接AD，設(shè)圓的半徑為R，CAD為Rt，且b2Rsin D，且DB，b2Rsin B，即2R，同理：2R，2R，.四、面積法證明SABCbcsin Aabsin Cacsin B，.2正弦定理的一個推論及應(yīng)用在初學(xué)正弦定理時，若問同學(xué)們這樣一個問題：在ABC中，若sin Asin B，則A與B的大小關(guān)系怎樣？那么幾乎所有的同學(xué)都會認為A與B的大小關(guān)系不確定若再問：在ABC中，若AB，則sin A與sin B的大小關(guān)系怎樣？仍然會有很多同學(xué)回答大小關(guān)系不確定鑒于此，下面我們講講這個問題一、結(jié)論例1在ABC中，sin Asin BAB.分析題中條件簡單，不易入手因為是在三角形中，

3、所以可以聯(lián)系邊角關(guān)系的正弦定理證明因為sin Asin B2Rsin A2Rsin B(其中R為ABC外接圓的半徑)，根據(jù)正弦定理變式a2Rsin A，b2Rsin B(其中a，b分別為A，B的對邊)，可得sin Asin Bab，再由平面幾何定理“大角對大邊，小角對小邊”，可得abAB.所以sin Asin BAB.二、結(jié)論的應(yīng)用例2在ABC中，A45，a4，b2，求B.分析在遇到這樣的問題時，有的同學(xué)會直接由正弦定理得B30或B150.其實這是錯誤的！只需由上述結(jié)論即可發(fā)現(xiàn)解由正弦定理得，sin B，又sin Bsin A，所以Bsin B，所以CB，所以C有兩解(1)當(dāng)C60時，有A90

4、；(2)當(dāng)C120時，有A30.點評除此之外，本題也可以利用余弦定理來求解.3三角形定“形”記根據(jù)邊角關(guān)系判斷三角形的形狀是一類熱點問題解答此類問題，一般需先運用正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化已知的邊角關(guān)系，再進一步判斷三角形的形狀，這種轉(zhuǎn)化一般有兩種方法，即化角為邊或化邊為角下面例析這兩種方法的應(yīng)用一、通過角之間的關(guān)系定“形”例1在ABC中，已知2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形分析通過三角形恒等變換和正弦、余弦定理，把條件式轉(zhuǎn)化，直至能確定兩角(邊)的關(guān)系為止，即可判斷三角形的形狀解析方法一利用正弦定理和余弦定理2sin Aco

5、s Bsin C可化為2ac，即a2c2b2c2，即a2b20，即a2b2，故ab.所以ABC是等腰三角形故選B.方法二因為在ABC中，ABC，即C(AB)，所以sin Csin(AB)由2sin Acos Bsin C，得2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，即sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0.又因為AB，所以AB0，即AB.所以ABC是等腰三角形，故選B.答案B點評根據(jù)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系判斷三角形的形狀，一般需通過三角恒等變換，求出角(邊)之間的關(guān)系二、通過邊之間的關(guān)系定“形”例2在ABC中，若，則ABC是()A銳角三角形B直角三

6、角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形分析先運用正弦定理化角為邊，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可判斷三角形的形狀解析在ABC中，由正弦定理，可得，整理得a(ac)b(bc)，即a2b2acbc0，(ab)(abc)0.因為abc0，所以ab0，即ab，所以ABC是等腰三角形故選C.答案C點評本題也可化邊為角，但書寫復(fù)雜，式子之間的關(guān)系也不易發(fā)現(xiàn).4細說三角形中解的個數(shù)解三角形時，處理“已知兩邊及其一邊的對角，求第三邊和其他兩角”問題需判斷解的個數(shù)，這是一個比較棘手的問題下面對這一問題進行深入探討一、出現(xiàn)問題的根源我們作圖來直觀地觀察一下不妨設(shè)已知ABC的兩邊a，b和角A，作圖步驟如下：先做出已知角A，

7、把未知邊c畫為水平的，角A的另一條邊為已知邊b；以b邊的不是A點的另外一個端點為圓心，邊a為半徑作圓C；觀察圓C與邊c交點的個數(shù)，便可得此三角形解的個數(shù)顯然，當(dāng)A為銳角時，有如圖所示的四種情況：當(dāng)A為鈍角或直角時，有如圖所示的兩種情況：根據(jù)上面的分析可知，由于a，b長度關(guān)系的不同，導(dǎo)致了問題有不同個數(shù)的解若A為銳角，只有當(dāng)a不小于bsin A時才有解，隨著a的增大得到的解的個數(shù)也是不相同的當(dāng)A為鈍角時，只有當(dāng)a大于b時才有解二、解決問題的策略1正弦定理法已知ABC的兩邊a，b和角A，求B.根據(jù)正弦定理，可得sin B.若sin B1，三角形無解；若sin B1，三角形有且只有一解；若0sin

8、B1，B有兩解，再根據(jù)a，b的大小關(guān)系確定A，B的大小關(guān)系(利用大邊對大角)，從而確定B的兩個解的取舍2余弦定理法已知ABC的兩邊a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，整理得c22bccos Aa2b20.適合上述一元二次方程的解c便為此三角形的解3公式法當(dāng)已知ABC的兩邊a，b和角A時，通過前面的分析可總結(jié)三角形解的個數(shù)的判斷公式如下表：A90A90ababababsin Aabsin Aabsin A一解二解一解無解一解無解三、實例分析例在ABC中，已知A45，a2，b(其中角A，B，C的對邊分別為a，b，c)，試判斷符合上述條件的ABC有多少個？分析此題為“已

9、知兩邊和其中一邊的對角”解三角形的問題，可以利用上述方法來判斷ABC解的情況解方法一由正弦定理，可得sin Bsin 45b，所以AB，故B30，符合條件的ABC只有一個方法二由余弦定理得22c2()22ccos 45，即c22c20，解得c1.而1b，故符合條件的ABC只有一個5挖掘三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個熱點由于我們對解三角形公式比較熟悉，做題時比較容易入手但是公式較多且性質(zhì)靈活，解題時稍有不慎，常會出現(xiàn)增解、錯解現(xiàn)像，其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠下面結(jié)合例子談?wù)劷馊切螘r，題目中隱含條件的挖掘1兩邊之和大于第三邊例1已知鈍角三角形的三邊ak

10、，bk2，ck4，求k的取值范圍錯解cba且ABC為鈍角三角形，C為鈍角由余弦定理得cos C0.k24k120，解得2k0.綜上所述，0kk4.即k2而不是k0.正解cba，且ABC為鈍角三角形，C為鈍角由余弦定理得cos C0.k24k120，解得2kk4，k2，綜上所述，k的取值范圍為2k0，03.點撥忽略了三角形內(nèi)角和為180，及角A、B的取值范圍，從而導(dǎo)致的取值范圍求錯正解由正弦定理得cos 2A2cos2A4cos2A1.ABC180，B3A.AB4A180，0A45.cos A1，14cos2 A13，13.溫馨點評解三角形問題，角的取值范圍至關(guān)重要一些問題，角的取值范圍隱含在題

11、目的條件中，若不仔細審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗.6正弦、余弦定理的應(yīng)用有些題目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解決，但若能構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切危湍芾脙啥ɡ?，題目顯得非常容易，本文剖析幾例一、平面幾何中的長度問題例1如圖，在梯形ABCD中，CD2，AC，BAD60，求梯形的高分析如圖，過點D作DEAB于點E，則DE為所求的高由BAD60，知ADC120，又邊CD與AC的長已知，故ACD為已知兩邊和其中一邊的對角，可解三角形解RtADE，需先求AD的長，這只需在ACD中應(yīng)用余弦定理解由BAD60，得ADC120，在ACD中，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC，即19A

12、D242AD2，解得AD3或AD5(舍去)在ADE中，DEADsin 60.點評依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個妙用，也是函數(shù)與方程思想在解三角形中的體現(xiàn)二、求范圍例2如圖，等腰ABC中，底邊BC1，ABC的平分線BD交AC于點D，求BD的取值范圍(注：0x1時，f(x)x為增函數(shù))分析把BD的長表示為ABC的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域解設(shè)ABC.因為ABCC，所以A1802，BDCAABD1802180，因為BC1，在BCD中，由正弦定理得BD，因為045，所以cos 1，而當(dāng)cos 增大時，BD減小，且當(dāng)cos 時，BD；當(dāng)cos 1時，BD，故BD的取值范圍是.點評本題考查：(1)三角

13、知識、正弦定理以及利用函數(shù)的單調(diào)性求值域的方法；(2)數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想三、判斷三角形的形狀例3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若k，(kR)(1)判斷ABC的形狀；(2)若c，求k的值解(1)cbcos A，cacos B，又，bccos Aaccos B，bcos Aacos B.方法一sin Bcos Asin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0，AB，AB.ABC為等腰三角形方法二利用余弦定理將角化為邊bcos Aacos B，ba，b2c2a2a2c2b2，a2b2，ab.ABC為等腰三角形(2)由(1)知，ab.bcc

14、os Abck，c，k1.7管窺高考高考解答題一般先運用三角恒等變形，將表達式轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)的形式求解，對于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過正弦、余弦定理以及面積公式實現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小例1在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的長；(2)求sin 2C的值分析本題主要考查余弦定理、正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系與二倍角關(guān)系，考查運算求解能力解(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.因為ABBC，所以C為銳角，則cos C.因此sin 2C2sin Ccos C2

15、.例2設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，abtan A，且B為鈍角(1)證明：BA；(2)求sin Asin C的取值范圍分析(1)利用正弦定理，將條件中的式子等價變形為sin Bsin(A)，再結(jié)合條件從而得證；(2)利用(1)中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將sin Asin C轉(zhuǎn)化為只與A有關(guān)的表達式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解(1)證明由abtan A及正弦定理，得，所以sin Bcos A，即sin Bsin.又B為鈍角，因此A，故BA，即BA.(2)解由(1)知，C(AB)2A0，所以A.于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin

16、A122.因為0A，所以0sin A，因此22.由此可知sin Asin C的取值范圍是.考點定位1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數(shù)的性質(zhì)例3在ABC中，A，AB6，AC3，點D在BC邊上，ADBD，求AD的長分析根據(jù)題意，設(shè)出ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.由余弦定理求出a的長度，再由正弦定理求出角B的大小，在ABD中，利用正弦定理即可求出AD的長度解設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理，得sin B，由題設(shè)知0B，所以cos B.在ABD中，由正弦定理，得AD.14