2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.4 全稱量詞與存在量詞 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞 1.4.3 含有一個量詞的命題的否定學(xué)案 新人教A版選修1-1

《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.4 全稱量詞與存在量詞 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞 1.4.3 含有一個量詞的命題的否定學(xué)案 新人教A版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.4 全稱量詞與存在量詞 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞 1.4.3 含有一個量詞的命題的否定學(xué)案 新人教A版選修1-1（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.4　全稱量詞與存在量詞 1.4.1　全稱量詞 1.4.2　存在量詞 1.4.3　含有一個量詞的命題的否定 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義以及全稱命題和特稱命題的意義.2.掌握全稱命題與特稱命題真假性的判定．(重點，難點)3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定．(重點，易混點) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．全稱量詞與全稱命題 (1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示． (2)含有全稱量詞的命題叫做全稱命題，通常將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M

2、表示，那么全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)． 2．存在量詞與特稱命題 (1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示． (2)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題，特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符號簡記為“?x0∈M，p(x0)”． 思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有實數(shù)解”是特稱命題還是全稱命題？請改寫成相應(yīng)命題的形式． (2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對任意實數(shù)x恒成立”是特稱命題還是全稱命題？請改寫成相應(yīng)命題的形式． [提示]　(1)是特

3、稱命題，可改寫為“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0” (2)是全稱命題，可改寫成：“?x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”． 3．含有一個量詞的命題的否定 一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論： 全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定p：?x0∈M，p(x0)； 特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定p：?x∈M，p(x)． 全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)命題“對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”是全稱命題． (　　) (2)命題“有些菱形是正方形”是全稱命題． (　　) (3)

4、命題：?x∈R，x2－3x＋3>0的否定是?x?R，x2－3x＋3≤0. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．命題p：“存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數(shù)根”，則“p”形式的命題是(　　) A．存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無實根 B．不存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無實根 C．對任意的實數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無實根 D．至多有一個實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實根 [答案]　C 3．下列四個命題中的真命題為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：97792031】 A．?x0∈Z,1<4x0<3 B．?x0∈Z,5x0＋1＝0 C．?x∈R，

5、x2－1＝0 D．?x∈R，x2＋x＋2>0 D　[當(dāng)x∈R時，x2＋x＋2＝＋>0，故選D.] [合 作 探 究·攻 重 難] 全稱命題和特稱命題的概念及真假判斷 　指出下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷它們的真假． (1)?x∈N,2x＋1是奇數(shù)； (2)存在一個x0∈R，使＝0； (3)能被5整除的整數(shù)末位數(shù)是0； (4)有一個角α，使sin α>1 [解]　(1)是全稱命題，因為?x∈N,2x＋1都是奇數(shù)，所以該命題是真命題． (2)是特稱命題．因為不存在x0∈R，使＝0成立，所以該命題是假命題． (3)是全稱命題．因為25能被5整除，但末位數(shù)不是0，因

6、此該命題是假命題． (4)是特稱命題，因為?α∈R，sin α∈[－1,1]，所以該命題是假命題． [規(guī)律方法]　1.判斷命題是全稱命題還是特稱命題的方法 (1)分析命題中是否含有量詞； (2)分析量詞是全稱量詞還是存在量詞； (3)若命題中不含量詞，要根據(jù)命題的意義去判斷． 2．全稱命題與特稱命題真假的判斷方法 (1)要判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)都成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱命題就是假命題． (2)要判定特稱命題“?x0∈M，p(x0)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0

7、，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個特稱命題就是假命題． [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是(　　) A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角 B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0 C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù) D．存在一個負(fù)數(shù)x，使>2 B　[A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱命題；B中x＝0時，x2＝0，所以B既是特稱命題又是真命題；C中因為＋(－)＝0，所以C是假命題；D中對于任一個負(fù)數(shù)x，都有<0，所以D是假命題．] (2)下列命題中，真命題是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：97792032】 A．?x∈，sin

8、x＋cos x≥2 B．?x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．?x∈R，x2＋x＝－1 D．?x∈，tan x>sin x B　[(1)對于選項A， sin x＋cos x＝sin≤，∴此命題不成立； 對于選項B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，當(dāng)x>3時，(x－1)2－2>0，∴此命題成立； 對于選項C，x2＋x＋1＝＋>0，∴x2＋x＝－1對任意實數(shù)x都不成立，∴此命題不成立； 對于選項D，當(dāng)x∈時，tan x<0，sin x>0，命題顯然不成立．故選B.] 含有一個量詞的命題的否定 　(1)命題“?x∈R，x2≠x”的否定是(　　) A．?x?R，x2≠x

9、 B．?x∈R，x2＝x C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x (2)寫出下列命題的否定，并判斷其真假： ①p：?x∈R，x2－x＋≥0； ②p：所有的正方形都是菱形； ③p：至少有一個實數(shù)x0，使x＋1＝0. [思路探究]　先判定命題是全稱命題還是特稱命題，再針對不同的形式加以否定． (1)[解析]　原命題的否定為?x∈R，x2＝x，故選D. [答案] D (2)[解]?、俳恜：?x0∈R，x－x0＋<0，假命題． 因為?x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立． ②p：至少存在一個正方形不是菱形，假命題． ③p：?x∈R，x3＋1≠0，假命題． 因為x＝－1時，

10、x3＋1＝0. [規(guī)律方法]　對全稱命題和特稱命題進(jìn)行 否定的步驟與方法 (1)確定類型：是特稱命題還是全稱命題． (2)改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~；把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞． (3)否定結(jié)論：原命題中“是”“有”“存在”“成立”等改為“不是”“沒有”“不存在”“不成立”等． 提醒：無量詞的全稱命題要先補回量詞再否定． [跟蹤訓(xùn)練] 2．(1)命題“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是(　　) A．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1 C．?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D．?x0?(

11、0，＋∞)，ln x0＝x0－1 A　[特稱命題的否定是全稱命題，故原命題的否定是?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.] (2)寫出下列命題的否定，并判斷其真假． ①p：不論m取何實數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實數(shù)根； ②q: 存在一個實數(shù)x0，使得x＋x0＋1≤0； ③r：等圓的面積相等，周長相等； ④s：對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. [解]?、龠@一命題可以表述為p：“對所有的實數(shù)m，方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根”，其否定形式是p：“存在實數(shù)m，使得x2＋x－m＝0沒有實數(shù)根”． 注意到當(dāng)Δ＝1＋4m＜0時，即m＜－時，一元二次方程沒有實數(shù)根，所以p是真命題

12、． ②這一命題的否定形式是q：“對所有的實數(shù)x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以證得q是真命題． ③這一命題的否定形式是r：“存在一對等圓，其面積不相等或周長不相等”，由平面幾何知識知r是假命題． ④這一命題的否定形式是s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命題s是真命題，所以是假命題. 由全稱(特稱)命題的真假確定參數(shù)的范圍 [探究問題] 1．若含參數(shù)的命題p是假命題，如何求參數(shù)的取值范圍？ 提示：先求p，再求參數(shù)的取值范圍． 2．全稱命題和特稱命題與恒成立問題和存在性問題有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？ 提示：全稱命題與恒成立問題對應(yīng)，特稱命題與存在性問題對應(yīng)．

13、 　(1)若命題p“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． (2)已知命題p：?x∈R,9x－3x－a＝0，若命題p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：97792033】 [思路探究]　(1)先求p，再求參數(shù)的取值范圍． (2)令3x＝t，看作一元二次方程有解問題． [解析]　(1) p：?x∈R,2x2－3ax＋9≥0為真命題． 則Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2 [答案]　[－2，2] (2)設(shè)3x＝t，由于x∈R，則t∈(0，＋∞)， 則9x－3x－a＝0?a＝(3x)2－3x?a＝t2－t，t∈(0，＋∞)，

14、 設(shè)f(t)＝t2－t，t∈(0，＋∞)， 則f(t)＝－， 當(dāng)t＝時，f(t)min＝－， 則函數(shù)f(t)的值域是， 所以實數(shù)a的取值范圍是. 母題探究：1.(變條件)若將本例題(2)條件“?x∈R”，改為“?x∈[0,1]”，其他不變，試求實數(shù)a的取值范圍． [解]　設(shè)3x＝t，x∈[0,1]，∴t∈[1,3]． a＝t2－t， ∵t2－t＝2－，∴a＝t2－t在t∈[1,3]上單調(diào)遞增． ∴t2－t∈. 即a的取值范圍是. 2．(變條件)將本例題(2)換為“?x∈，tan x≤m是真命題”，試求m的最小值． [解]　由已知可得m≥tan x恒成立．設(shè)f(x)＝t

15、an x，顯然該函數(shù)為增函數(shù)，故f(x)的最大值為f＝tan ＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即實數(shù)m的最小值為1. [規(guī)律方法]　應(yīng)用全稱命題與特稱命題求參數(shù)范圍的兩類題型 (1)全稱命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱命題為真時，意味著命題對應(yīng)的集合中的每一個元素都具有某種性質(zhì)，所以可以利用代入體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì)中求解；也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識來解決. (2)特稱命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述.解答這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；

16、若導(dǎo)致矛盾，則否定了假設(shè). [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．下列命題中是全稱命題，且為假命題的是(　　) A．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 B．偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱 C．?m∈R，x2＋mx＋1＝0無解 D．?x∈N，x3＞x2 D　[A，C中命題是特稱命題，故排除．B為省略量詞的全稱命題，且為真命題．D為全稱命題．當(dāng)x＝0或1時，x3＝x2，故D中命題是假命題．] 2．命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù) B．所有能被2整除的數(shù)都不是偶數(shù) C．存在一個不能被2整除的數(shù)是偶數(shù) D．存在一個能被2整除的

17、數(shù)不是偶數(shù) D　[全稱命題的否定為相應(yīng)的特稱命題，即將“所有”變?yōu)椤按嬖凇?，并且將結(jié)論進(jìn)行否定．] 3．命題p：?x0∈R，x＋2x0＋5＜0是________(填“全稱命題”或“特稱命題”)，它是________命題(填“真”或“假”)，它的否定為綈p：________. 【導(dǎo)學(xué)號：97792034】 特稱命題　假　?x∈R，x2＋2x＋5≥0　[命題p：?x0∈R，x＋2x0＋5＜0是特稱命題．因為x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命題p為假命題． 命題p的否定為：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.] 4．命題“?x∈R，>0”的否定是________． ?x0∈

18、R，≤0　[“?x∈R，>0”的否定是“?x0∈R，<0或＝0”即?x0∈R，≤0] 5．判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假； (1)對某些實數(shù)x，有2x＋1>0； (2)?x∈{3,5,7},3x＋1是偶函數(shù)； (3)?x0∈Q，x＝3 [解]　(1)命題中含有存在量詞“某些”，因此是特稱命題，真命題． (2)命題中含有全稱量詞的符號“?”，因此是全稱命題． 把3,5,7分別代入3x＋1，得10,16,22，都是偶數(shù)，因此，該命題是真命題． (3)命題中含有存在量詞的符號“?”，因此是特稱命題． 由于使x2＝3成立的實數(shù)只有±，且它們都不是有理數(shù)，因此，沒有一個有理數(shù)的平方等于3，所以該命題是假命題． 7