2017-2018版高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù) 習題課 復數(shù)學案 新人教B版選修2-2

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1、 習題課 復 數(shù) 明目標、知重點 1.鞏固復數(shù)的概念和幾何意義.2.理解并能進行復數(shù)的四則運算并認識復數(shù)加減法的幾何意義. 1.復數(shù)的四則運算,若兩個復數(shù)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R) (1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i; (2)減法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i; (3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i; (4)除法:=+i(z2≠0); (5)實數(shù)四則運算的交換律、結(jié)合律、分配律都適合于復數(shù)的情況; (6)特殊復數(shù)的運算:in(n為正整數(shù))的周期性運算; (

2、1±i)2=±2i;若ω=-±i,則ω3=1,1+ω+ω2=0. 2.共軛復數(shù)與復數(shù)的模 (1)若z=a+bi,則=a-bi,z+為實數(shù),z-為純虛數(shù)(b≠0). (2)復數(shù)z=a+bi的模,|z|=, 且z·=|z|2=a2+b2. 3.復數(shù)加、減法的幾何意義 (1)復數(shù)加法的幾何意義 若復數(shù)z1、z2對應的向量、不共線,則復數(shù)z1+z2是以、為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應的復數(shù). (2)復數(shù)減法的幾何意義 復數(shù)z1-z2是連接向量、的終點,并指向Z1的向量所對應的復數(shù). 題型一 復數(shù)的四則運算 例1 (1)計算:+2 012+ ; (2)已知z=1+i,求

3、的模. 解 (1)原式=+1 006+ =i+(-i)1 006+0=-1+i. (2)===1-i, ∴的模為. 反思與感悟 復數(shù)的除法運算是復數(shù)運算中的難點,如果遇到(a+bi)÷(c+di)的形式,首先應該寫成分式的形式,然后再分母實數(shù)化. 跟蹤訓練1 (1)已知=2+i,則復數(shù)z等于(  ) A.-1+3i B.1-3i C.3+i D.3-i 答案 B 解析 方法一 ∵=2+i,∴=(1+i)(2+i)=2+3i-1=1+3i,∴z=1-3i. 方法二 設z=a+bi(a,b∈R),∴=a-bi, ∴=2+i,∴,z=1-3i. (2)i為虛數(shù)單

4、位,則2 011等于(  ) A.-i B.-1 C.i D.1 答案 A 解析 因為==i,所以2 011=i2 011=i4×502+3=i3=-i,故選A. 題型二 復數(shù)的幾何意義 例2 已知點集D={z||z+1+i|=1,z∈C},試求|z|的最小值和最大值. 解 點集D的圖象為以點C(-1, -)為圓心,1為半徑的圓,圓上任一點P對應的復數(shù)為z,則||=|z|. 由圖知,當OP過圓心C(-1,-)時,與圓交于點A、B,則|z|的最小值是|OA|=|OC|-1=-1=2-1=1,即|z|min=1; |z|的最大值是|OB|=|OC|+1=2+1=3,

5、即|z|max=3. 反思與感悟 復數(shù)和復平面內(nèi)的點,以原點為起點的向量一一對應;復數(shù)加減法符合向量運算的平行四邊形法則和三角形法則:|z1-z2|表示復數(shù)z1,z2對應的兩點Z1,Z2之間的距離. 跟蹤訓練2 已知復數(shù)z1,z2滿足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=,求|z1+z2|的值. 解 如圖所示,設z1,z2對應點分別為A,B,以,為鄰邊作?OACB,則對應的復數(shù)為z1+z2.這里||=3,||=5,||=. ∴cos ∠AOB= ==. ∴cos ∠OBC=-.又||=||=3, ∴|z1+z2|=|| ==. 題型三 兩個復數(shù)相等 例3 設復數(shù)z

6、和它的共軛復數(shù)滿足4z+2=3+i,求復數(shù)z. 解 設z=a+bi(a,b∈R). 因為4z+2=3+i, 所以2z+(2z+2)=3+i. 2z+2=2(a+bi)+2(a-bi)=4a,整體代入上式, 得2z+4a=3+i.所以z=+. 根據(jù)復數(shù)相等的充要條件,得 解得所以z=+. 反思與感悟 兩個復數(shù)相等是解決復數(shù)問題的重要工具.“復數(shù)相等”可以得到兩個實數(shù)等式,為應用方程思想提供了條件,常用于確定系數(shù),解復數(shù)方程等問題. 跟蹤訓練3 是z的共軛復數(shù),若z+=2,(z-)i=2(i為虛數(shù)單位),則z等于(  ) A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1

7、-i 答案 D 解析 方法一 設z=a+bi,a,b為實數(shù),則=a-bi. ∵z+=2a=2,∴a=1. 又(z-)i=2bi2=-2b=2,∴b=-1.故z=1-i. 方法二 ∵(z-)i=2,∴z-==-2i. 又z+=2,∴(z-)+(z+)=-2i+2, ∴2z=-2i+2,∴z=1-i. 1.以1+2i的虛部為實部,以3i-2的實部為虛部的新復數(shù)是(  ) A.2-2i B.2+i C.3+i D.2+3i 答案 A 2.若x-2+yi和3x-i互為共軛復數(shù),則實數(shù)x與y的值是(  ) A.x=3,y=3 B.x=5,y=1 C.x=-1,y=

8、-1 D.x=-1,y=1 答案 D 解析 x-2=3x,y=-(-1), 即x=-1,y=1. 3.設復數(shù)z滿足(1+i)z=2,其中i為虛數(shù)單位,則z等于(  ) A.1+i B.1-i C.2+2i D.2-2i 答案 B 解析 z===1-i,故選B. 4.已知=b+i(a,b∈R),其中i為虛數(shù)單位,則a+b等于(  ) A.-1 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 ∵=b+i,∴a+2i=bi-1. ∴a=-1,b=2,∴a+b=1. [呈重點、現(xiàn)規(guī)律] 1.復數(shù)的四則運算按照運算法則和運算律進行運算,其中除法運算的關(guān)鍵是將分母實數(shù)化; 2.復數(shù)的幾何意義是數(shù)形結(jié)合思想在復數(shù)中的一大體現(xiàn); 3.利用兩個復數(shù)相等可以解決求參數(shù)值(或范圍)和復數(shù)方程等問題. 5

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