2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 3.1 3.1.1 空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算 3.1.2 共面向量定理學(xué)案 蘇教版選修2-1

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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 3.1 3.1.1 空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算 3.1.2 共面向量定理學(xué)案 蘇教版選修2-1_第1頁(yè)
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1、3.1.1空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算3.1.2共面向量定理學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別,掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其性質(zhì),理解共線(xiàn)向量定理(重點(diǎn))2.了解向量共面的含義,理解共面向量定理.3.能運(yùn)用共面向量定理證明有關(guān)線(xiàn)面平行和點(diǎn)共面的簡(jiǎn)單問(wèn)題自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知教材整理1空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算閱讀教材P81的部分,完成下列問(wèn)題1空間向量在空間,把既有大小又有方向的量叫做空間向量2空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算定義(或法則)加法設(shè)a和b是空間兩個(gè)向量,過(guò)一點(diǎn)O作a和b的相等向量和,根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則平行四邊形OACB的對(duì)角線(xiàn)OC對(duì)應(yīng)的向量就是a與b的和,記作a

2、b減法與平面向量類(lèi)似,a與b的差定義為a(b),記作ab,其中b是b的相反向量空間向量的數(shù)乘空間向量a與一個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是一個(gè)向量,記作a,滿(mǎn)足:大?。簗a|a|.方向:當(dāng)0時(shí),a與a方向相同;當(dāng)0時(shí),a與a方向相反;當(dāng)0時(shí),a01判斷(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)同平面向量一樣,任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小()(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算中,只決定向量的大小,不決定向量的方向()(3)將空間的所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一個(gè)點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓()(4)若|a|b|,則ab或ab.()(5)已知四邊形ABCD,O是空間任意一點(diǎn),且,則四邊形ABCD是平行四邊形()答案(1)(2)(3)

3、(4)(5)2如圖311,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,下列各式運(yùn)算結(jié)果為的是_(填序號(hào))圖311;.解析;.答案教材整理2共線(xiàn)向量閱讀教材P82例1上面的部分,完成下列問(wèn)題1共線(xiàn)向量如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合,那么這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量向量a與b平行,記作ab,規(guī)定零向量與任意向量共線(xiàn)2共線(xiàn)向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(a0),b與a共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù),使ba.教材整理3共面向量閱讀教材P84的部分,完成下列問(wèn)題1共面向量能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量2共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線(xiàn),那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在有序?qū)?/p>

4、數(shù)組(x,y),使得pxayb.有下列命題:平行于同一直線(xiàn)的向量是共線(xiàn)向量;平行于同一平面的向量是共面向量;平行向量一定是共面向量;共面向量一定是平行向量其中正確的命題有_解析“共面向量一定是平行向量”不正確,即共面向量不一定共線(xiàn)均正確答案合 作 探 究攻 重 難空間向量及有關(guān)概念下列四個(gè)命題:所有的單位向量都相等;方向相反的兩個(gè)向量是相反向量;若a,b滿(mǎn)足|a|b|,且a,b同向,則ab;零向量沒(méi)有方向其中不正確的命題的序號(hào)為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392156】精彩點(diǎn)撥根據(jù)空間向量的概念進(jìn)行逐一判斷,得出結(jié)論自主解答對(duì)于:?jiǎn)挝幌蛄渴侵搁L(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,而其方向不一定相同,它不符合相等

5、向量的定義,故錯(cuò);對(duì)于:長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量,故錯(cuò);對(duì)于:向量是不能比較大小的,故不正確;對(duì)于:零向量有方向,只是沒(méi)有確定的方向,故錯(cuò)答案名師指津1因?yàn)榭臻g任何兩個(gè)向量都可以平移到同一平面上,故空間的兩個(gè)向量間的關(guān)系都可以轉(zhuǎn)化為平面向量來(lái)解決2對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查,可以從概念的特征入手,也可以通過(guò)舉出反例而排除或否定相關(guān)命題再練一題1下列命題中正確的個(gè)數(shù)是_如果a,b是兩個(gè)單位向量,則|a|b|;兩個(gè)空間向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)也相同;同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量;空間任意兩個(gè)非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)解析正確,不正確答案3空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算化簡(jiǎn):()(

6、)精彩點(diǎn)撥根據(jù)算式中的字母規(guī)律,可轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算,也可轉(zhuǎn)化為減法運(yùn)算自主解答法一:將減法轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行化簡(jiǎn),()()0.法二:利用,化簡(jiǎn)()()()()0.法三:,()()()()0.名師指津1計(jì)算兩個(gè)空間向量的和或差時(shí),與平面向量完全相同運(yùn)算中掌握好三角形法則和平行四邊形法則是關(guān)鍵2計(jì)算三個(gè)或多個(gè)空間向量的和或差時(shí),要注意以下幾點(diǎn):(1)三角形法則和平行四邊形法則;(2)正確使用運(yùn)算律;(3)有限個(gè)向量順次首尾相連,則從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量,即表示這有限個(gè)向量的和向量再練一題2如圖312所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,若a,b,c,則_(用向量a,b

7、,c表示). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392157】圖312解析法一:abcbbabc.法二:acb.答案abc共線(xiàn)向量定理及其應(yīng)用如圖313,已知M,N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,且G為AM上一點(diǎn),且GMGA13.求證:B,G,N三點(diǎn)共線(xiàn)圖313精彩點(diǎn)撥要證明B,G,N三點(diǎn)共線(xiàn),可證明,即證明存在實(shí)數(shù),使.自主解答設(shè)a,b,c,則a(abc)abc,()abc.,即B,G,N三點(diǎn)共線(xiàn)名師指津判定或證明三點(diǎn)(如P,A,B)是否共線(xiàn):(1)考察是否存在實(shí)數(shù),使;(2)考察對(duì)空間任意一點(diǎn)O,是否有t;(3)考察對(duì)空間任意一點(diǎn)O,是否有xy (xy1).再練一題3在例3中,若把條件“GMG

8、A13”換為“GMGA11”把“N是面ACD的重心”換為“”,增加條件“B,G,N三點(diǎn)共線(xiàn)”,其余不變,試求的值解設(shè)a,b,c,()()(abc)a(abc)abc.()abc.B,G,N三點(diǎn)共線(xiàn),故存在實(shí)數(shù)k,使k,即abck,故解得k,.共面向量定理及其應(yīng)用如圖314所示,已知E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)圖314(1)用向量法證明E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面;(2)用向量法證明BD平面EFGH. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392158】精彩點(diǎn)撥(1)要證E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面,根據(jù)共面向量定理的推論,只要能找到實(shí)數(shù)x,y,使xy即可(2)要證BD平面EFGH,只需證

9、向量與向量,共面即可自主解答(1)如圖所示,連接BG,EG,則().由共面向量定理知E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面(2)設(shè)a,b,c,則ca.(cb)abc,c(ab)abc.假設(shè)存在x,y,使xy.即caxyabc.a,b,c不共線(xiàn)解得.,是共面向量,BD不在平面EFGH內(nèi)BD平面EFGH.名師指津1空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使xy.滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi);反之,平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式,這個(gè)充要條件常用來(lái)證明四點(diǎn)共面在許多情況下,可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得對(duì)于空間任意一點(diǎn)O,有xyz,且xyz1成立,則P,A,B,C四點(diǎn)共面

10、”作為判定空間中四個(gè)點(diǎn)共面的依據(jù)2用共面向量定理證明線(xiàn)面平行的關(guān)鍵(1)在直線(xiàn)上取一向量;(2)在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線(xiàn)的向量,并用這兩個(gè)不共線(xiàn)的向量表示直線(xiàn)上的向量;(3)說(shuō)明直線(xiàn)不在面內(nèi),三個(gè)條件缺一不可再練一題4已知兩個(gè)非零向量e1,e1不共線(xiàn),如果e1e2,2e18e2,3e13e2,求證:A,B,C,D四點(diǎn)共面證明(3e13e2)(2e18e2)5(e1e2)5,又與不共線(xiàn),共面,又它們有一個(gè)公共起點(diǎn)A,A,B,C,D四點(diǎn)共面. 共線(xiàn)、共面向量的特征探究問(wèn)題1如何理解共線(xiàn)向量及共線(xiàn)向量定理?提示(1)用共線(xiàn)向量定理證明兩直線(xiàn)平行是常用方法,但是要注意,向量平行與直線(xiàn)平行是有區(qū)別的,直線(xiàn)

11、平行不包括共線(xiàn)的情形,如果應(yīng)用共線(xiàn)向量定理判斷a,b所在的直線(xiàn)平行,還需說(shuō)明a(或b)上有一點(diǎn)不在b(或a)上(2)用共線(xiàn)向量定理證明三點(diǎn)共線(xiàn)也是常用方法,在利用該定理證明(或判斷)三點(diǎn)A,B,C共線(xiàn)時(shí),只需證明存在實(shí)數(shù),使或即可(3)對(duì)于空間任意一點(diǎn)O,若有(1)成立,則A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)2如何理解共面向量定理?提示(1)共面向量定理給出了平面向量的表示式,說(shuō)明兩個(gè)不共線(xiàn)的向量能確定一個(gè)平面,它是判定三個(gè)向量是否共面的依據(jù)(2)共面向量定理的推論是判定空間四點(diǎn)共面的依據(jù)3若兩向量共線(xiàn)或共面,則這兩向量所在的直線(xiàn)有何位置關(guān)系?提示兩向量共線(xiàn),這兩向量所在的直線(xiàn)重合或平行,兩向量共面,這兩向量所

12、在的直線(xiàn)共面或異面如圖315所示,平行六面體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別在B1B和D1D上,且BEBB1,DFDD1.證明:與,共面. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392159】圖315精彩點(diǎn)撥由共面向量定理,只要用,線(xiàn)性表示出即可自主解答,與,共面再練一題5如圖316,正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn)證明:向量,是共面向量圖316證明法一:().由向量共面的充要條件知,是共面向量法二:連接A1D,BD,取A1D中點(diǎn)G,連接FG,BG,則有FGDD1,BEDD1,F(xiàn)GBE,四邊形BEFG為平行四邊形,EFBG.BG平面A1BD,EF平面A1BD,EF共面A1BD

13、.同理,B1CA1D,B1C平面A1BD,都與平面A1BD平行,是共面向量當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,則_.解析0.答案02已知正方體ABCDABCD中,設(shè)a,b,c,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn),且AFEF,則_(用a,b,c表示)解析由條件AFEF知,EF2AF,所以abc.答案abc3ab(是實(shí)數(shù))是a與b共線(xiàn)的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)解析abab,但當(dāng)b0,a0時(shí),則ab,ab.答案充分不必要4設(shè)e1,e2是空間中兩個(gè)不共線(xiàn)的向量,已知2e1ke2,e13e2,2e1e2,且A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),則k的值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392160】解析e13e2,2e1e2,(2e1e2)(e13e2)e14e2.A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),2e1ke2(e14e2)e14e2.e1,e2是空間兩個(gè)不共線(xiàn)的向量,k8.答案85已知ABCD,從平面AC外一點(diǎn)O,引向量k,k,k,k.圖317求證:(1)E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面;(2)平面AC平面EG.證明(1)四邊形ABCD是平行四邊形,.kkk()kk()k(),E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面(2)k()k,又k,EFAB,EGAC,所以平面AC平面EG.12

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