2019高考數學二輪復習 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標系與參數方程學案 理

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1、 第一講　坐標系與參數方程 考點一　極坐標方程及應用 1．直角坐標與極坐標的互化公式 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標系中取相同的長度單位．設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，則 2．幾個特殊位置的圓的極坐標方程 (1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r. (2)當圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acosθ. (3)當圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asinθ. 3．幾個特殊位置的直線的極坐標方程 (1)直線過極點：θ＝θ0和θ＝π＋θ0. (2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a

2、. (3)直線過M且平行于極軸：ρsinθ＝b. [解]　(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)．由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程 ρ＝4cosθ(ρ>0)． 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ＝4cosα· ＝2≤2＋. 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 解決極坐

3、標問題應關注的兩點 (1)用極坐標系解決問題時要注意已知的幾何關系，如果幾何關系不容易通過極坐標表示時，可以先化為直角坐標，將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題來解決． (2)在極坐標與直角坐標互化的過程中，需要注意當條件涉及“角度”和“距離”時，利用極坐標將會給問題的解決帶來很大的便利． [對點訓練] (2018·福建福州四校聯考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)，直線C2的方程為y＝x.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程； (2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求＋. [解]　(1)由曲線C

4、1的參數方程為(α為參數)，得曲線C1的普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1， 則C1的極坐標方程為ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0， 由于直線C2過原點，且傾斜角為，故其極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． (2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，設A，B對應的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7， ∴＋＝＝＝. 考點二　參數方程及應用 1．圓的參數方程 以O′(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數方程是其中α是參數． 2．橢圓的參數方程 橢圓＋＝1(a>b>0)的參數方程是其中φ是參數． 3．直線的參數方程 (1)經過點P0(x0，y0)，傾斜角為

5、α的直線的參數方程是其中t是參數． (2)若A，B為直線l上兩點，其對應的參數分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數為t0，則以下結論在解題中經常用到： ①t0＝； ②|PM|＝|t0|＝； ③|AB|＝|t2－t1|； ④|PA|·|PB|＝|t1·t2|. 角度1：參數方程與普通方程的互化 [解]　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由 解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(3cosθ，sinθ)到l的距離d＝. 當a

6、≥－4時，d的最大值為.由題設得＝，所以a＝8； 當a<－4時，d的最大值為.由題設得＝，所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16.角度2：直線參數方程中參數幾何意義的應用 [解]　(1)曲線C的普通方程為＋＝1. 當cosα≠0時，l的普通方程為y＝tanα·x＋2－tanα， 當cosα＝0時，l的普通方程為x＝1. (2)將l的參數方程代入C的普通方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)， 所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1

7、＋t2＝， 故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2. 解決參數方程問題的3個要點 (1)把參數方程化為普通方程，需要根據其結構特征，選取適當的消參方法． (2)把普通方程化為參數方程的關鍵是選準參數，注意參數的幾何意義及變化范圍． (3)直線參數方程為(α為傾斜角，t為參數)，其中|t|＝|PM|，P(x，y)為動點，M(x0，y0)為定點，在解決與點P有關的弦長和距離的乘積問題時廣泛應用． [對點訓練] 1．[角度1]設直線l的參數方程為(t為參數，α為傾斜角)，圓C的參數方程為(θ為參數)． (1)若直線l經過圓C的圓心，求直線l的斜率；

8、(2)若直線l與圓C交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍． [解]　(1)由已知得直線l經過的定點是P(3,4)，而圓C的圓心是C(1，－1)， 所以，當直線l經過圓C的圓心時，直線l的斜率為k＝. (2)解法一：由圓C的參數方程得圓C的圓心是C(1，－1)，半徑為2. 由直線l的參數方程(t為參數，α為傾斜角)，得直線l的普通方程為y－4＝k(x－3)(斜率存在)， 即kx－y＋4－3k＝0. 當直線l與圓C交于兩個不同的點時，圓心到直線的距離小于圓的半徑， 即<2，解得k>. 即直線l的斜率的取值范圍為. 解法二：將圓C的參數方程化成普通方程為(x－1)2＋(y＋1

9、)2＝4?、?， 將直線l的參數方程代入①式，得 t2＋2(2cosα＋5sinα)t＋25＝0.?、? 當直線l與圓C交于兩個不同的點時，方程②有兩個不相等的實根，即Δ＝4(2cosα＋5sinα)2－100>0， 即20sinαcosα>21cos2α，兩邊同除以20cos2α，得tanα>，即直線l的斜率的取值范圍為. 2．[角度2](2018·鄭州一模)已知直線l：(t為參數)．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程． (2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B

10、，求|MA|·|MB|的值． [解]　(1)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ， ∴曲線C的直線坐標方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1. (2)將直線l：(t為參數)代入曲線C的直角坐標方程中，化簡得t2＋5t＋18＝0，且Δ>0.∴t1t2＝18. ∵點M(5，)在直線l上，根據直線參數方程中參數t的幾何意義，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 考點三　極坐標方程與參數方程的綜合應用 1．對于參數方程或極坐標方程應用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標的普通方程，這樣思路可能更加清晰． 2．對于一些運算比較復雜的問題，用參數方程或極坐標方程計算會比

11、較簡捷． [解]　(1)由消去參數t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2， 所以圓C的普通方程為(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由ρcos＝－，得ρcosθ－ρsinθ＝－2. 可得直線l的直角坐標方程為x－y＋2＝0. (2)直線l與x軸，y軸的交點分別為A(－2,0)，B(0,2)，化為極坐標為A(2，π)，B， 設點P的坐標為(－5＋cost,3＋sint)，則點P到直線l的距離為d＝ ＝， 所以dmin＝＝2，又|AB|＝2， 所以△PAB面積的最小值＝×2×2＝4. 解決極坐標與參數方程問題的關鍵 (1)會轉化：把直線與圓的參數方程轉化為普通方程

12、時，要關注參數的取值范圍的限定，還需掌握極坐標與直角坐標的互化公式． (2)懂技巧：合理選擇直角坐標形式運算、極坐標形式運算、參數坐標形式運算，利用參數及其幾何意義，結合關系式尋找關于參數的方程或函數． [對點訓練] 在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：(θ為參數，0

13、． [解]　(1)將曲線C1的參數方程化為普通方程為x2＋y2＝r2. 所以曲線C1的極坐標方程為ρ＝r. 將曲線C2的參數方程化為普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8，即x2＋y2－4x－4y＝0. 所以曲線C2的極坐標方程為ρ－4cosθ－4sinθ＝0，即ρ＝4sin. 因為|PN|max＝|ρP－ρN|max＝max＝2， 所以r＝2，所以C1：ρ＝2. (2)S四邊形MPNQ＝S△OPM－S△ONQ＝OP·OMsin－ON·OQ·sin＝×4sin×4sin×－×2×2×＝4sin＋4－2. 所以當α＝時，四邊形MPNQ面積的最大值為4＋2. 1．(2018

14、·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． [解]　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標方程為 (x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線． 記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2

15、只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0，經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝時，l2與C2沒有公共點． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 2．(2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數方程為(θ為參數)，過點(0，－)且傾斜角

16、為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數方程． [解]　(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數方程為 (t為參數，<α<)． 設A，B，P對應的參數分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsinα＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數方程是 (

17、α為參數，<α<)． 1.坐標系與參數方程是高考的選考內容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是參數方程、極坐標方程與曲線的綜合應用． 2．全國課標卷對此部分內容的考查以解答題形式出現，難度中等，備考此部分內容時應注意轉化思想的應用． 專題跟蹤訓練(三十二) 1．(2018·湖南長沙聯考)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程． (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C2與C3的交點分別為M，N，求△C2MN的

18、面積． [解]　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， ∴C1：x＝－2的極坐標方程為ρcosθ＝－2， C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1的極坐標方程為(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－2)2＝1，化簡，得ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0. (2)把直線C3的極坐標方程θ＝(ρ∈R)代入 圓C2：ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. ∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝. ∵圓C2的半徑為1，∴|C2M|2＋|C2N|2＝|MN|2， ∴C2M⊥C2N. ∴△C2MN的面積為·|C2M|·|C2N|＝×1×

19、1＝. 2．(2018·洛陽聯考)在極坐標系中，曲線C的方程為ρ2＝，已知點R. (1)以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸，建立平面直角坐標系，把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，R點的極坐標化為直角坐標． (2)設P為曲線C上一動點，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值，及此時P點的直角坐標． [解]　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2. ∴曲線C的直角坐標方程為＋y2＝1. 點R的直角坐標為(2,2)． (2)設點P(cosθ，sinθ)，根據題意得Q(2，sinθ)，即可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－si

20、nθ， ∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)． ∴當θ＝30°時，|PQ|＋|QR|取最小值2， ∴矩形PQRS周長的最小值為4. 此時點P的直角坐標為. 3．(2018·安徽皖南八校聯考)在平面直角坐標系xOy中，C1的參數方程為(t為參數)，在以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，C2的極坐標方程為ρ2－2ρcosθ－3＝0. (1)說明C2是哪種曲線，并將C2的方程化為直角坐標方程． (2)C1與C2有兩個公共點A，B，定點P的極坐標，求線段AB的長及定點P到A，B兩點的距離之積． [解]　(1)將代入C2的極坐標方程中得C2的直角坐標方程為

21、(x－1)2＋y2＝4，所以C2是圓． (2)將C1的參數方程(t為參數)，代入(x－1)2＋y2＝4中得2＋2＝4，化簡，得t2＋t－3＝0. 設兩根分別為t1，t2， 由根與系數的關系得 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝， 定點P到A，B兩點的距離之積|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3. 4．(2018·河北衡水中學模擬)在極坐標系中，曲線C1的極坐標方程是ρ＝，在以極點為原點O，極軸為x軸正半軸(兩坐標系取相同的單位長度)的直角坐標系xOy中，曲線C2的參數方程為(θ為參數)． (1)求曲線C1的直角坐標方程與曲線C2的普通方程； (2)將曲線C2經過伸縮變換后得到曲線C3，若M、N分別是曲線C1和曲線C3上的動點，求|MN|的最小值． [解]　(1)∵C1的極坐標方程是ρ＝， ∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24， ∴4x＋3y－24＝0， 故C1的直角坐標方程為4x＋3y－24＝0. ∵曲線C2的參數方程為∴x2＋y2＝1， 故C2的普通方程為x2＋y2＝1. (2)將曲線C2經過伸縮變換后得到曲線C3，則曲線C3的參數方程為(α為參數)．設N(2cosα，2sinα)，則點N到曲線C1的距離 d＝ ＝ ＝(其中φ滿足tanφ＝)． 當sin(α＋φ)＝1時，d有最小值， 所以|MN|的最小值為. 12