《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版必修2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版必修2(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2章 平面解析幾何初步
直線方程及其應(yīng)用
【例1】 過(guò)點(diǎn)A(-5,-4)作一直線l,使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形的面積為5,求直線l的方程.
[思路探究] 已知直線過(guò)定點(diǎn)A,且與兩坐標(biāo)軸都相交,圍成的直角三角形的面積已知.求直線方程時(shí)可采用待定系數(shù)法,設(shè)出直線方程的點(diǎn)斜式,再由面積為5列方程,求直線的斜率.
[解] 由題意知,直線l的斜率存在.設(shè)直線為y+4=k(x+5),交x軸于點(diǎn),交y軸于點(diǎn)(0,5k-4),
S=××|5k-4|=5,
得25k2-30k+16=0(無(wú)實(shí)根),或25k2-50k+16=0,
解得k=或k=,
所以所求直線l
2、的方程為2x-5y-10=0,或8x-5y+20=0.
(1)求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法,要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉(zhuǎn)化,能根據(jù)條件靈活選用方程,當(dāng)不能確定某種方程條件具備時(shí)要另行討論條件不滿足的情況.
(2)運(yùn)用直線系方程的主要作用在于能使計(jì)算簡(jiǎn)單.
1.過(guò)點(diǎn)P(-1,0),Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線,使它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1,求這兩條直線的方程.
[解] (1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí),兩條直線的方程分別為x=-1,x=0,它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1,滿足題意;
(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,
則兩條直線的方
3、程分別為y=k(x+1),y=kx+2.
令y=0,分別得x=-1,x=-.
由題意得=1,即k=1.
則直線的方程為y=x+1,y=x+2,
即x-y+1=0,x-y+2=0.
綜上可知,所求的直線方程為x=-1,x=0,或x-y+1=0,x-y+2=0.
直線的位置關(guān)系
【例2】 已知直線l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值,使得:
(1)l1⊥l2;(2)l1∥l2.
[思路探究] 已知兩直線的方程中都含有參數(shù),求不同的位置關(guān)系時(shí)參數(shù)的取值,可以利用平行(或垂直)的條件列方程求解.
[解] 法一:當(dāng)m=0或2時(shí),兩直線既不平行,也不
4、垂直;
當(dāng)m≠0且m≠2時(shí),直線l1,l2的斜率分別為:-,.
(1)若l1⊥l2,則-·=-1,解得m=.
(2)若l1∥l2,則由-=,得m=-1或m=3.
又當(dāng)m=3時(shí),l1與l2重合,故m=3舍去.
故l1∥l2時(shí),m=-1.
法二:(1)∵l1⊥l2,∴m-2+3m=0,∴m=.
(2)∵l1∥l2,∴3-m(m-2)=0且2m≠6(m-2),
故m=-1.
利用直線的方程判定兩條直線的平行或垂直關(guān)系是這部分知識(shí)常涉及的題型.求解時(shí),可以利用斜率之間的關(guān)系判定;若方程都是一般式,知道平行或垂直關(guān)系,求參數(shù)的值時(shí)也可用如下方法:
直線l1:A1x+B1y+C1=
5、0,
l2:A2x+B2y+C2=0.
(1)l1∥l2時(shí),可令A(yù)1B2-A2B1=0,解得參數(shù)的值后,再代入方程驗(yàn)證,排除重合的情況;
(2)l1⊥l2時(shí),可利用A1A2+B1B2=0直接求參數(shù)的值.
2.已知點(diǎn)A(2,2)和直線l:3x+4y-20=0.
(1)求過(guò)點(diǎn)A,且和直線l平行的直線方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)A,且和直線l垂直的直線方程.
[解] (1)因?yàn)樗笾本€與l:3x+4y-20=0平行,
所以設(shè)所求直線方程為3x+4y+m=0.
又因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)A(2,2),所以3×2+4×2+m=0,
所以m=-14,所以所求直線方程為3x+4y-14=0.
6、
(2)因?yàn)樗笾本€與直線l:3x+4y-20=0垂直,
所以設(shè)所求直線方程為4x-3y+n=0.
又因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)A(2,2),所以4×2-3×2+n=0,
所以n=-2,所以所求直線方程為4x-3y-2=0.
距離問(wèn)題
【例3】 已知兩條直線l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分別滿足下列條件的a、b的值.
(1)直線l1過(guò)點(diǎn)(-3,-1),并且直線l1與直線l2垂直;
(2)直線l1與直線l2平行,并且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1、l2的距離相等.
[解] (1)∵l1⊥l2,
∴a(a-1)+(-b)·1=0.
即a2-a-b=0.①
又點(diǎn)(-3
7、,-1)在l1上,
∴-3a+b+4=0.②
由①②解得a=2,b=2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率為1-a,
∴l(xiāng)1的斜率也存在,=1-a,
即b=.
故l1和l2的方程可分別表示為
l1:(a-1)x+y+=0,
l2:(a-1)x+y+=0.
∵原點(diǎn)到l1與l2的距離相等,
∴4=,解得a=2或a=.
因此或
距離公式的運(yùn)用
1.距離問(wèn)題包含兩點(diǎn)間的距離,點(diǎn)到直線的距離,兩平行直線間的距離.
2.牢記各類距離的公式并能直接應(yīng)用,解決距離問(wèn)題時(shí),往往將代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形的直觀分析相結(jié)合.
3.已知正方形中心為點(diǎn)M(-1,0),一條邊所在直線
8、的方程是x+3y-5=0,求其他三邊所在直線的方程.
[解] 正方形中心到直線x+3y-5=0的距離d==.
設(shè)與直線x+3y-5=0平行的直線方程為x+3y+C1=0.由正方形的性質(zhì),得=,
解得C1=-5(舍去)或C1=7.
所以與直線x+3y-5=0相對(duì)的邊所在的直線方程為x+3y+7=0.
設(shè)與直線x+3y-5=0垂直的邊所在的直線方程為
3x-y+C2=0.由題意,得=,
解得C2=9或C2=-3.
所以另兩邊所在直線的方程為3x-y+9=0和3x-y-3=0.
求圓的方程
【例4】 求圓心在直線3x+4y-1=0上,且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2-x+y-2=0與x2
9、+y2=5的交點(diǎn)的圓的方程.
[思路探究] 解答本題可利用過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程求解,也可求出兩交點(diǎn)坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求解.
[解] 法一:設(shè)所求圓為x2+y2-x+y-2+λ(x2+y2-5)=0,
化為一般式,得x2+y2-x+y-=0.
故圓心坐標(biāo)為,
代入直線3x+4y-1=0,得λ=-.
再把λ代入所設(shè)方程,得x2+y2+2x-2y-11=0,
故所求圓的方程為x2+y2+2x-2y-11=0.
法二:解方程組
得兩圓的交點(diǎn)為A(1,-2)和B(2,-1).
設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵A,B在圓上,且圓心在直線3x+4y-1=0上,
10、
∴
解得
∴所求圓的方程是x2+y2+2x-2y-11=0.
求圓的方程主要是聯(lián)系圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程,利用待定系數(shù)法解題.一般地,當(dāng)已知圓的圓心或半徑的幾何特征時(shí),設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求解;當(dāng)已知圓上三個(gè)點(diǎn)時(shí),設(shè)圓的一般方程;當(dāng)所求圓經(jīng)過(guò)直線與圓、圓與圓的交點(diǎn)時(shí),常利用圓系方程來(lái)解答.
過(guò)兩個(gè)已知圓x2+y2+D1x+E1y+F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
4.圓心在直線5x-3y=8上,且圓與兩坐標(biāo)軸均相切,求此圓
11、的標(biāo)準(zhǔn)方程.
[解] 設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0).因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸均相切,故圓心坐標(biāo)滿足x0-y0=0或x0+y0=0.
又圓心在直線5x-3y=8上,所以5x0-3y0=8.
由得
由得
所以圓心坐標(biāo)為(4,4)或(1,-1),相應(yīng)的半徑為r=4或r=1,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1.
直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
【例5】 已知圓M:(x-1)2+(y-1)2=4,直線l過(guò)點(diǎn)P(2,3)且與圓M交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,求直線l的方程.
[思路探究] 分斜率存在與不存在兩
12、種情況:
(1)????
(2)?
[解] (1)當(dāng)直線l存在斜率時(shí),設(shè)直線l的方程為y-3=k(x-2),
即kx-y+3-2k=0.
示意圖如圖,作MC⊥AB于C.
在Rt△MBC中,|BC|=|AB|=,|MB|=2,
故|MC|==1,
由點(diǎn)到直線的距離公式得=1,
解得k=.
故直線l的方程為3x-4y+6=0.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),其方程為x=2,
且|AB|=2,所以符合題意.
綜上所述,直線l的方程為3x-4y+6=0或x=2.
1.直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn),切線問(wèn)題更是重中之重,判斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主,解題時(shí)
13、應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.
2.解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征,利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對(duì)值的大小來(lái)確定兩圓的位置關(guān)系,以及充分利用它的幾何圖形的形象直觀性來(lái)分析問(wèn)題.
5.求圓O:x2+y2=36與圓M:x2+y2-10y+16=0的公切線的方程.
[解] 如圖,易知兩圓相交,公切線有兩條.
由圓M的方程易得M(0,5),r=3.
設(shè)兩圓的公切線與圓O相切于點(diǎn)B(x0,y0),
則公切線方程為x0x+y0y=36.
∵點(diǎn)M到公切線的距離等于3,
∴=3.
∵x+y=36,點(diǎn)M在公切線的下方,
∴-(5y0-36)=18
14、,即y0=.從而x0=±=±.
故公切線方程為x+y-36=0或-x+y-36=0,
即4x+3y-30=0或4x-3y+30=0.
軌跡問(wèn)題
【例6】 如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1,|O1O2|=4,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM,PN,(M,N分別為切點(diǎn)),使得|PM|=|PN|,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
[思路探究] 由△PMO1與△PNO2均為直角三角形表示出切線長(zhǎng)|PM|與|PN|,建立坐標(biāo)系后,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)即可由等式|PM|=|PN|求出P點(diǎn)的軌跡方程.
[解] 如圖,以O(shè)1,O2所在直線為x軸,線段|O1O2|的垂直平分線為y
15、軸,建立直角坐標(biāo)系,則O1(-2,0),O2(2,0),設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).
在Rt△PMO1中,|PM|2=|PO1|2-1,
在Rt△PNO2中,|PN|2=|PO2|2-1.
又因?yàn)閨PM|=|PN|,所以|PM|2=2|PN|2,即
|PO1|2-1=2(|PO2|2-1),即|PO1|2+1=2|PO2|2,
所以(x+2)2+y2+1=2[(x-2)2+y2],
整理得x2+y2-12x+3=0,
即為所求點(diǎn)P的軌跡方程.
1.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何中的重要題型,解答這類問(wèn)題常用的方法有:直接法、定義法、消元法、代數(shù)法等.
2.求軌跡方程的步驟
16、:(1)建系設(shè)點(diǎn);(2)列出動(dòng)點(diǎn)滿足的軌跡條件;(3)把軌跡條件坐標(biāo)化;(4)化簡(jiǎn)整理;(5)檢驗(yàn).在檢驗(yàn)中要排除不符合要求的點(diǎn),或者補(bǔ)充上漏掉的部分.
6.等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2),底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5),求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程,并說(shuō)明它的軌跡是什么.
[解] 設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y) .
依題意,得|AC|=|AB|.
由兩點(diǎn)間距離公式,
得=,
整理得(x-4)2+(y-2)2=10.
這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心,以為半徑的圓,如圖所示,又因?yàn)锳、B、C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn),所以A、B、C三點(diǎn)不共線.即點(diǎn)B、C不能重合且B、C不能為圓A的一直徑的兩個(gè)端點(diǎn).
因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能重合,所以點(diǎn)C不能為(3,5).
又因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能為一直徑的兩個(gè)端點(diǎn),所以≠4.且≠2,即點(diǎn)C不能為(5,-1).
故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去點(diǎn)(3,5)和(5,-1)).
綜上,它的軌跡是以點(diǎn)A(4,2)為圓心,為半徑的圓,但除去(3,5)和(5,-1)兩點(diǎn).
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