2019年高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學案 文 北師大版

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1、 第六節(jié)　拋物線 [考綱傳真]　1.了解拋物線的實際背影，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、準線方程).3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.4.了解拋物線的簡單應用． (對應學生用書第123頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．拋物線的概念 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的集合叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線． 2．拋物線的標準方程與幾何性質(zhì) 標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (

2、p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 圖形 頂點 O(0,0) 對稱軸 y＝0 x＝0 焦點 F F F F 離心率 e＝1 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半徑|PF| x0＋ －x0＋ y0＋ －y0＋ [知識拓展] 1．拋物線y2＝2px(p＞0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑． 2．y2＝ax的焦點坐標為，準線方程為x＝－. 3．設AB是

3、過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)． (3)以弦AB為直徑的圓與準線相切． (4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的集合一定是拋物線．(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x＝－.(

4、　　) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．0 B　[M到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y＝－，設M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.] 3．拋物線y＝x2的準線方程是(　　) A．y＝－

5、1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴準線方程為y＝－1.] 4．(2018·大同模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線經(jīng)過點(－1，1)，則該拋物線焦點坐標為(　　) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) B　[拋物線y2＝2px(p>0)的準線為x＝－且過點(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2，所以拋物線的焦點坐標為(1,0)．] 5．(2016·浙江高考)若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________． 9　[設點M的橫坐標為x0，則點M到準線x＝－

6、1的距離為x0＋1，由拋物線的定義知x0＋1＝10，∴x0＝9， ∴點M到y(tǒng)軸的距離為9.] (對應學生用書第124頁) 拋物線的定義及應用 　(1)(2014·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，點A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．1 B．2　　　　　 C．4　　　　　 D．8 (2)已知拋物線y2＝4x，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|＋|BD|的最小值為__________． 【導學號：00090304】 (1)A　(2)2　[(1)由y2＝x，知2p＝

7、1，即p＝， 因此焦點F，準線l的方程為x＝－. 設點A(x0，y0)到準線l的距離為d，則由拋物線的定義可知d＝|AF|. 從而x0＋＝x0，解得x0＝1. (2)由y2＝4x，知p＝2，焦點F(1,0)，準線x＝－1. 根據(jù)拋物線的定義，|AF|＝|AC|＋1，|BF|＝|BD|＋1. 因此|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|－2＝|AB|－2. 所以|AC|＋|BD|取到最小值，當且僅當|AB|取得最小值， 又|AB|＝2p＝4為最小值． 故|AC|＋|BD|的最小值為4－2＝2.] [規(guī)律方法]　1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離，一般運用定義

8、轉(zhuǎn)化為到準線的距離處理．如本例充分運用拋物線定義實施轉(zhuǎn)化，使解答簡捷、明快． 2．若P(x0，y0)為拋物線y2＝2px(p>0)上一點，由定義易得|PF|＝x0＋；若過焦點的弦AB的端點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出． [變式訓練1]　(1)設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，則點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值為__________． (2)若拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，則|PA|＋|PF|取最小值時點P的坐標為_______

9、_． (1)　(2)(2,2)[(1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x＝－1，由拋物線的定義知：點P到直線x＝－1的距離等于點P到F的距離．于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P，使點P到點A(－1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最?。? 連接AF交拋物線于點P，此時最小值為 |AF|＝＝. (2)將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝±. ∵＞2，∴A在拋物線內(nèi)部，如圖． 設拋物線上點P到準線l：x＝－的距離為d，由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，當PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為，此時P點縱坐標為2，代入y2＝2x，得x＝2

10、，∴點P的坐標為(2,2)．] 拋物線的標準方程與幾何性質(zhì) 　(1)點M(5,3)到拋物線y＝ax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng)或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y (2)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝(k>0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A． B．1 C． D．2 (1)D　(2)D　[(1)將y＝ax2化為x2＝y(tǒng). 當a>0時，準線y＝－，則3＋＝6，∴a＝. 當a<0時，準線y＝－，則＝6，∴a＝－. ∴拋物線方程為x2＝12y或x2＝－36y

11、. (2)由拋物線C：y2＝4x知p＝2. ∴焦點F(1,0)． 又曲線y＝(k>0)與曲線C交于點P，且PF⊥x軸． ∴P(1,2)， 將點P(1,2)代入y＝，得k＝2] [規(guī)律方法]　1.求拋物線的標準方程的方法： (1)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可． (2)拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量． 2．由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離，從而進一步確定拋物線的焦點坐標及準線方程． [變式訓練2]　(1)(2018·鄭州模擬)拋物線y2＝2px

12、(p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為 (　　) 【導學號：00090305】 A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ (2018·西安模擬)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為________． (1)B　(2)　[(1)設M(x，y)，因為|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p， 由拋物線定義知x＋＝2p，所以x＝p， 所以y＝±p. 又△MFO的面積為4， 所以××p＝4，解得p

13、＝4(p＝－4舍去)． 所以拋物線的方程為y2＝8x. (2)如圖，由題意知，拋物線的焦點F的坐標為(1,0)，又|AF|＝3，由拋物線定義知，點A到準線x＝－1的距離為3，所以點A的橫坐標為2，將x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由圖知點A的縱坐標為y＝2，所以A(2,2)，所以直線AF的方程為y＝2(x－1)， 聯(lián)立直線與拋物線的方程 解得或由圖知B， 所以S△AOB＝×1×|yA－yB|＝.] 直線與拋物線的位置關(guān)系 角度1　直線與拋物線的交點問題 　(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p

14、>0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由． [解]　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P. 又N為M關(guān)于點P的對稱點，故N， 2分 故直線ON的方程為y＝x， 將其代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0, 解得x1＝0，x2＝.因此H. 所以N為OH的中點，即＝2. 5分 (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點．理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t). 8分 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2

15、t， 即直線MH與C只有一個公共點， 所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點. 12分 [規(guī)律方法]　1.(1)本題求解的關(guān)鍵是求出點N，H的坐標．(2)第(2)問將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個數(shù)進行判斷． 2．(1)判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時，可直接求解相應方程組得到交點坐標，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0.(2)解題時注意應用根與系數(shù)的關(guān)系及設而不求、整體代換的技巧． 角度2　與拋物線弦長或中點有關(guān)的問題 　(2017·泰安模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線

16、C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的直線l2與l1的垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積． [解]　(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)， 2分 ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. 5分 (2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M. 6分 由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1

17、x2＝＝m2. 8分 由題意可知OA⊥OB， 即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0). 10分 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2| ＝3＝24. 12分 [規(guī)律方法]　1.拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式． 2．涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設而不求”“整體代入”等方法． 3．涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解． 8