2018年高考數(shù)學 專題01 函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學案 理

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1、 專題1 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【2018年高考考綱解讀】 (1)函數(shù)的概念和函數(shù)的基本性質(zhì)是B級要求，是重要題型 ； (2)指數(shù)與對數(shù)的運算、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是考查熱點，要求都是B級； (3)冪函數(shù)是A級要求，不是熱點題型 ，但要了解冪函數(shù)的概念以及簡單冪函數(shù)的性質(zhì)。 【重點、難點剖析】 1．函數(shù)及其圖象 (1)定義域、值域和對應關(guān)系是確定函數(shù)的三要素，是一個整體，研究函數(shù)問題時務必須“定義域優(yōu)先”． (2)對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對稱變換． 2．函數(shù)的

2、性質(zhì) (1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結(jié)論．復合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則； (2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，在關(guān)于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，在關(guān)于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性； (3)周期性：周期性也是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其周期T＝ka(k∈Z)的絕對值． 3．求函數(shù)最值(值域)常用的方法 (1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)；

3、 (2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)； (3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)； (4)導數(shù)法：適合于可求導數(shù)的函數(shù)． 4．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) (1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象和性質(zhì)，分01兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)； (2)冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)α>0和α<0兩種情況． 5．函數(shù)圖象的應用 函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，它們的實質(zhì)是相同的，在解題時經(jīng)常要互相轉(zhuǎn)化．在解決函數(shù)問題時，尤其是較為繁瑣的(如分類討論，求參數(shù)的

4、取值范圍等)問題時，要注意充分發(fā)揮圖象的直觀作用. 高考 題型 1、函數(shù)的性質(zhì)及其應用 【例1】 【2017北京，理5】已知函數(shù)，則 （A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 【答案】A 【解析】，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)， 是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)?減函數(shù)=增函數(shù)，可知該函數(shù)是增函數(shù)，故選A. 【舉一反三】【2016年高考四川理數(shù)】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，，則= . 【答案】-2 【舉一

5、反三】(1)(2015·重慶卷)函數(shù)f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是(　　) A．[－3,1] B．(－3,1) C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) (2)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值為(　　) A．－3 B．－1或3 C．1 D．－3或1 (1)答案：D 解析：要使函數(shù)有意義，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函數(shù)的定義域為(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)答案：D 解析：f(1)＝lg 1＝0，所以f(a)＝0.當a>0時，則lg a＝0，a

6、＝1；當a≤0時，則a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1. 【變式探究】 (1)(2014·江西)函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域為(　　) A．(0,1)　　　　　　　 　B．[0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) (2)(2014·浙江)設函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的定義域求法以及不等式的解法．通過定義域的求法考查考生的運算求解能力及轉(zhuǎn)化意識． (2)本題主要考查分段函數(shù)和不等式恒成立問題，可結(jié)合函數(shù)圖象進行分析求解． 【方法技巧】 1．已知

7、函數(shù)解析式，求解函數(shù)定義域的主要依據(jù)有：(1)分式中分母不為零；(2)偶次方根下的被開方數(shù)大于或等于零；(3)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的真數(shù)x＞0；(4)零次冪的底數(shù)不為零；(5)正切函數(shù)y＝tan x中，x≠kπ＋(k∈Z)．如果f(x)是由幾部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的自變量的集合． 根據(jù)函數(shù)求定義域時：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，其復合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域． 2．函數(shù)的值域是由函

8、數(shù)的對應關(guān)系和函數(shù)的定義域所唯一確定的，具有相同對應關(guān)系的函數(shù)如果定義域不同，函數(shù)的值域也可能不相同．函數(shù)的值域是在函數(shù)的定義域上求出的，求解函數(shù)的值域時一定要與函數(shù)的定義域聯(lián)系起來，從函數(shù)的對應關(guān)系和定義域的整體上處理函數(shù)的值域． 題型 2、函數(shù)的圖象及其應用 【例2】【2016高考新課標1卷】函數(shù)在的圖像大致為 （A）（B） （C）（D） 【答案】D 【感悟提升】(1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖象進行全面分析，有時也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進行輔助推斷，這是解決函數(shù)圖象判斷類試題的基本方法．(2)研究函數(shù)時，注

9、意結(jié)合圖象，在解方程和不等式等問題時，借助圖象能起到十分快捷的作用． 【舉一反三】(1)(2015·四川卷)函數(shù)y＝的圖象大致是(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，則n的取值范圍是(　　) A.{3,4} B．{2,3,4} C．{3,4,5} D．{2,3} (1)答案：C 解析：由已知3x－1≠0?x≠0，排除A； 又∵x<0時，3x－1<0，x3<0，∴y＝>0，故排除B； 又y′＝，當3－xln 3<0時，x>>0，y′<0，所以D不符合．故選C. (

10、2)答案：B 解析：＝表示(x1，f(x1))與原點連線的斜率； ＝＝…＝表示(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))與原點連線的斜率相等，而(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))在曲線圖象上，故只需考慮經(jīng)過原點的直線與曲線的交點個數(shù)有幾種情況． 如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得，有2,3,4三種情況，故選B. 【變式探究】 (1)若函數(shù)f(x)＝(k－1)·ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則g(x)＝loga(x－k)的圖象是(　　) (2)(2014·山東)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x

11、)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C．(1,2) D．(2，＋∞) 【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的概念以及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象． (2)本題主要考查方程的根與函數(shù)的零點，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及運算求解能力． 【方法技巧】 1．關(guān)于判斷函數(shù)圖象的解題思路 (1)確定定義域； (2)與解析式結(jié)合研究單調(diào)性、奇偶性； (3)觀察特殊值． 2．關(guān)于函數(shù)圖象應用的解題思路主要有以下兩點 (1)方程f(x)＝g(x)解的個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)交點

12、的個數(shù)； (2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集為函數(shù)y＝f(x)位于y＝g(x)圖象上方(下方)的那部分點的橫坐標的取值范圍． 題型 3、函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 例3、【2017山東，理10】已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】當時， ， 單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且 ，此時有且僅有一個交點；當時， ，在 上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需 選B. 【變式探究】【2017天津，理6】已知奇函數(shù)在R上

13、是增函數(shù)，.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為 （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】因為是奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，所以在時，， 從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)， ， ，又，則，所以即， ， 所以，故選C． 【舉一反三】【2016年高考北京理數(shù)】設函數(shù). ①若，則的最大值為______________； ②若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是________. 【答案】，. 【感悟提升】(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點考查圖象、性質(zhì)及其應用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法及其運算能力．(2)比較數(shù)式大小問題，往往利用函

14、數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性． 【舉一反三】(2015·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________. 答案：1 解析：∵ f(x)為偶函數(shù)，∴ f(－x)－f(x)＝0恒成立， ∴ －xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立， ∴ xln a＝0恒成立，∴ ln a＝0，即a＝1. 【變式探究】(1)(2014·湖南)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3　　　　B．－1 C．1　　　　D．3 (2)(2014·湖北)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇

15、函數(shù)，當x≥0時， f (x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的解析式、奇偶性和求函數(shù)的值，意在考查考生的轉(zhuǎn)化思想和方程思想．求解此題的關(guān)鍵是用“－x”代替“x”，得出f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1. (2)本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)、分段函數(shù)以及函數(shù)的最值與恒成立問題，意在考查考生應用數(shù)形結(jié)合思想，綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力． 【答案】(1)C　(2)B 【解析】(1)用“－x”代替“x”，得 f(－x)－g(－x)＝(－

16、x)3＋(－x)2＋1，化簡得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故選C. (2)當x≥0時， f(x)＝又f(x)為奇函數(shù)，可得f(x)的圖象如圖所示， 由圖象可得，當x≤2a2時，f(x)max＝a2，當x>2a2時，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又?x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1?a∈，故選B. 【方法技巧】 函數(shù)性質(zhì)的綜合應用主要是指利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)來相互轉(zhuǎn)化解決相對綜合的問題．主要的解析：奇偶性主要轉(zhuǎn)化方向是f(－x)與f(x)的關(guān)系，圖象對稱問題；單調(diào)性主要轉(zhuǎn)化方向是最值、方程與不等式的解；周期性主要轉(zhuǎn)化方向是利用f(x)＝f(x＋a)把區(qū)間外的函數(shù)轉(zhuǎn)化到區(qū)間內(nèi)，并結(jié)合單調(diào)性、奇偶性解決相關(guān)問題． 10