2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 綜合法與分析法、反證法教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第五節(jié)綜合法與分析法、反證法考綱傳真1.了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法；了解綜合法和分析法的思考過程和特點.2.了解反證法的思考過程和特點1綜合法從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明，這樣的思維方法稱為綜合法2分析法從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等，這樣的思維方法稱為分析法3反證法(1)定義：在證明數(shù)學(xué)命題時，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛

2、盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立這種證明方法叫作反證法(2)反證法的證明步驟是：作出否定結(jié)論的假設(shè)；進行推理，導(dǎo)出矛盾；否定假設(shè)，肯定結(jié)論基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)綜合法的思維過程是由因?qū)Ч?，逐步尋找已知的必要條件()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(3)用反證法證明時，推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾()(4)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()答案(1)(2)(3)(4)2要證a2b21a2b20 ，只要證明()A2ab1a2b20Ba2b21

3、0C1a2b20D(a21)(b21)0Da2b21a2b20(a21)(b21)0.3用反證法證明命題：“已知a，b為實數(shù)，則方程x2axb0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是()A方程x2axb0沒有實根B方程x2axb0至多有一個實根C方程x2axb0至多有兩個實根D方程x2axb0恰好有兩個實根A“方程x2axb0至少有一個實根”的反面是“方程x2axb0沒有實根”，故選A4已知a，b，x均為正數(shù)，且ab，則與的大小關(guān)系是_0，.5(教材改編)在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_三角形等邊由題意2BAC，又

4、ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形綜合法1已知m1，a，b，則以下結(jié)論正確的是()AabBabCabDa，b大小不定Ba，b.而0(m1)，即ab.2已知函數(shù)f(x)(a0，且a1)(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點對稱；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值證明(1)函數(shù)f(x)的定義域為全體實數(shù)，任取一點(x，y)，它關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為(1x，1y)由已知y，則1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點對稱(2)由(1)知1

5、f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.規(guī)律方法綜合法證題的思路分析法1若a，b(1，)，證明.證明要證，只需證()2()2，只需證ab1ab0，即證(a1)(1b)0.因為a1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立2已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定

6、理，得，b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立規(guī)律方法分析法的證題思路(1)分析法的證題思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證(2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證反證法考法1證明否定性命題【例1】設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解(1)設(shè)an的前n項和為Sn.

7、則Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn，兩式相減得(1q)Sna1a1qna1(1qn)，當(dāng)q1時，Sn，當(dāng)q1時，Sna1a1a1na1，所以Sn(2)證明：假設(shè)數(shù)列an1是等比數(shù)列，則(a11)(a31)(a21)2，即a1a3a1a31a2a21，因為an是等比數(shù)列，公比為q，所以a1a3a，a2a1q，a3a1q2，所以a1(1q2)2a1q.即q22q10，(q1)20，q1，這與已知q1矛盾，所以假設(shè)不成立，故數(shù)列an1不是等比數(shù)列考法2證明“至多”“至少”命題【例2】已知a，b，c是互不相等的非零實數(shù)，用反證法證明三個方程ax22bxc0，bx

8、22cxa0，cx22axb0中至少有一個方程有兩個相異實根證明假設(shè)三個方程都沒有兩個相異實根則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，上述三個式子相加得：a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20.所以abc這與a，b，c是互不相等的實數(shù)相矛盾因此假設(shè)不成立，故三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一個方程有兩個相異實根規(guī)律方法用反證法證明數(shù)學(xué)命題需把握的三點(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實矛盾等，但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的 設(shè)a0，b0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時，等號成立，即ab2.(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時成立，則由a2a0，得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時成立- 7 -