2020版高考數學一輪復習 第5章 數列 第1節(jié) 數列的概念與簡單表示法教學案 理（含解析）新人教A版

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1、第一節(jié)　數列的概念與簡單表示法 [考綱傳真]1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數． 1．數列的有關概念 概念 含義 數列 按照一定順序排列的一列數 數列的項 數列中的每一個數 數列的通項 數列{an}的第n項an 通項公式 數列{an}的第n項an與n之間的關系能用公式an＝f(n)表示，這個公式叫做數列的通項公式 前n項和 數列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數列的前n項和 2.數列的表示方法 列表法 列表格表示n與an的對應關系 圖象法 把點(n，an)畫在平面直角坐標

2、系中 公式法 通項公式 把數列的通項使用公式表示的方法 遞推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數列的方法 3.an與Sn的關系 若數列{an}的前n項和為Sn， 則an＝ 4．數列的分類 分類標準 類型 滿足條件 項數 有窮數列 項數有限 無窮數列 項數無限 項與項間的大小關系 遞增數列 an＋1＞an 其中n∈N* 遞減數列 an＋1＜an 常數列 an＋1＝an [常用結論] 求數列的最大(小)項，一般可以利用數列的單調性，即用(n≥2，n∈N*)或(n≥2，n∈N*)求解，

3、也可以轉化為函數的最值問題或利用數形結合思想求解． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)相同的一組數按不同順序排列時都表示同一個數列．(　　) (2)一個數列中的數是不可以重復的．(　　) (3)所有數列的第n項都能使用公式表達．(　　) (4)根據數列的前幾項歸納出的數列的通項公式可能不止一個．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知數列，，，…，，…，下列各數中是此數列中的項的是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. B　[該數列的通項an＝，結合選項可知B正確．] 3．設數列{

4、an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為(　　) A．15 B．16 C．49 D．64 A　[a8＝S8－S7＝82－72＝15.故選A.] 4．(教材改編)在數列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5等于(　　) A. B. C. D. D　[∵a1＝1，∴a2＝1＋＝1＋1＝2； a3＝1－＝1－＝； a4＝1＋＝1＋2＝3； a5＝1－＝1－＝.] 5．根據下面的圖形及相應的點數，寫出點數構成的數列的一個通項公式an＝________. 5n－4　[{an}是以1為首項，5為公差的等差數列，∴an＝1＋(n－1)×5＝5n－4.]

5、由an與Sn的關系求通項公式 1．已知數列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋3，則數列{an}的通項公式an＝________. 　[當n＝1時，a1＝S1＝＋＋3＝. 又當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝n2＋n＋3－ ＝n＋. ∴an＝] 2．若數列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式an＝________. (－2)n－1　[由Sn＝an＋得 當n≥2時，Sn－1＝an－1＋， ∴an＝Sn－Sn－1＝－ ＝an－an－1. 即an＝－2an－1，(n≥2)． 又a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1. ∴數列{an}是以首項為1，公比為－2的

6、等比數列， ∴an＝(－2)n－1.] 3．已知數列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an. [解]　設a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn， 當n＝1時，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2， 當n≥2時， nan＝Tn－Tn－1 ＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5， 因此an＝， 顯然當n＝1時，不滿足上式． 故數列的通項公式為an＝] [規(guī)律方法]　已知Sn求an的三個步驟 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替換Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n

7、≥2)便可求出當n≥2時an的表達式. (3)看a1是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應寫成分段的形式. 易錯警示：利用an＝Sn－Sn－1求通項時，應注意n≥2這一前提條件，易忽視驗證n＝1致誤. 由遞推關系式求數列的通項公式 【例1】　分別求出滿足下列條件的數列的通項公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)． [解]　(1)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，

8、 ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(n≥2)． 當n＝1時，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝n2＋. (2)當n≥2，n∈N*時， an＝a1×××…× ＝1×××…×××＝n， 當n＝1時，也符合上式， ∴該數列的通項公式為an＝n. (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故數列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1. [規(guī)律方法]　由數列的遞推關系求通項公式的常用方法 (1)已知a1，且

9、an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an. (2)已知a1(a1≠0)，且可用“累乘法”求an. (3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數法確定)，可轉化為{an＋k}為等比數列. 易錯警示：本題(1)，(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式. (1)在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則an等于(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n (2)若a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1，則an＝________. (1)A　(2)n·3n－

10、2·3n－1　　[(1)∵an＋1－an＝ln＝ln， ∴a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，…，an－an－1＝ln，n≥2， ∴a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝ln＝ln n， ∴an－a1＝ln n?an＝2＋ln n(n≥2)． 將n＝1代入檢驗有a1＝2＋ln 1＝2與已知符合，故an＝2＋ln n. (2)因為an＋1＝3an＋3n＋1，所以＝＋1， 所以－＝1，又＝， 所以數列是以為首項，1為公差的等差數列． 所以＝＋(n－1)＝n－， 所以an＝n·3n－2·3n－1.] 數列的性質 【例2】　(1)已知數列{an}滿足an＋1＝，若a1＝

11、，則a2 018＝(　　) A．－1　　B.　　C．1　　 D．2 (2)已知數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且數列{bn}是遞增數列，則實數λ的取值范圍是(　　) A．(2，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，3) (3)已知數列{an}滿足an＝(n∈N*)，則數列{an}的最小項是第________項． (1)D　(2)C　(3)5　[(1)由a1＝，an＋1＝， 得a2＝＝2， a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…， 于是可知數列{an}是以3為周期的周期數列，因此a2 018＝a3

12、×672＋2＝a2＝2. (2)由an＋1＝，知＝＋1，即＋1＝2，所以數列是首項為＋1＝2，公比為2的等比數列，所以＋1＝2n，所以bn＋1＝(n－λ)·2n，因為數列{bn}是遞增數列，所以bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)2n－1＝(n＋1－λ)2n－1＞0對一切正整數n恒成立，所以λ＜n＋1，因為n∈N*，所以λ＜2，故選C. (3)因為an＝，所以數列{an}的最小項必為an＜0，即＜0,3n－16＜0，從而n＜.又n∈N*，所以當n＝5時，an的值最?。甝 [規(guī)律方法]　1.解決數列周期性問題的方法 先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求

13、值． 2．判斷數列單調性的二種方法 (1)作差比較法：比較an＋1－an與0的大?。? (2)作商比較法：比較與1的大小，注意an的符號． 3．求數列最大項或最小項的方法 (1)利用不等式組(n≥2)找到數列的最大項； (2)利用不等式組(n≥2)找到數列的最小項． (1)已知an＝，那么數列{an}是(　　) A．遞減數列　　　 B．遞增數列 C．常數列 D．擺動數列 (2)數列{an}的通項公式是an＝(n＋1)·n，則此數列的最大項是第________項． (3)若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實數k的取值范圍是________．

14、 (1)B　(2)9或10　(3)(－3，＋∞)　[(1)an＝1－，將an看作關于n的函數，n∈N*，易知{an}是遞增數列． (2)∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n×， 當n＜9時，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當n＞9時，an＋1－an＜0，即an＋1＜an， ∴該數列中有最大項，且最大項為第9,10項． (3)由an＋1＞an知該數列是一個遞增數列，又∵通項公式an＝n2＋kn＋4， ∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4， 即k＞－1－2n，又n∈N*，∴k＞－3.]

15、1．(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________. －63　[因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.] 2．(2015·全國卷Ⅱ)設Sn是數列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. －　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. ∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項為－1，公差為－1的等差數列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.] 3．(2014·全國卷Ⅱ)數列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________. 　[∵an＋1＝， a8＝2，∴a7＝，a6＝－1，a5＝2， ∴{an}是周期為3的數列， ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2. 而a2＝，∴a1＝.] - 8 -