2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標表示教學案 文（含解析）北師大版

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1、第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示考綱傳真1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，存在唯一一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成axiyj，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作

2、a(x，y)3平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.4平面向量共線的坐標表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共線x1y2x2y10.1若a與b不共線，且ab0，則0.2已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標為；已知ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3

3、，y3)，則ABC的重心G的坐標為.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底()(2)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12()(3)相等向量的坐標相同()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可以表示成()答案(1)(2)(3)(4)2已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于 ()A5BCD13B因為ab(2，1)(1,3)(3,2)，所以|ab|.3如圖，在ABC中，BE是邊AC的中線，O是邊BE的中點，若a，b，則()AabBabCabDabD()ab，故選D4(教材

4、改編)已知A(2，3)，B(2,1)，C(1,4)，D(7，t)，若與共線，則t_.4(4,4)，(8，t4)，由得4(t4)32，解得t4.5(教材改編)已知ABCD的頂點A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點D的坐標為_(1,5)設(shè)D(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得平面向量基本定理及其應(yīng)用1在下列向量組中，可以把向量a(3,2)表示出來的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)B當e1與e2不共線時，可表示a.當e1(1,2)，e2(5，2)時，(1)(2)52，因

5、此e1與e2不共線，故選B2在ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且APAB，BQBC，若a，b，則()AabBabCabDabA由題意知()ab.故選A3如圖，向量ab等于()A4e12e2B2e14e2Ce13e2D3e1e2C根據(jù)向量的減法和加法的三角形法則知abe13e2，故選C規(guī)律方法平面向量基本定理應(yīng)用的實質(zhì)和一般思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決易錯警示：在基底未給出的情況下，合理地選取

6、基底會給解題帶來方便另外，要熟練運用平面幾何的一些性質(zhì)定理平面向量的坐標運算【例1】(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，則c等于()ABCD(2)已知向量a(2,1)，b(1，2)若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_(3)平面直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C(1，c)，(c0)，且|2，若，則實數(shù)的值為_(1)D(2)3(3)1(1)由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)所以c.(2)由向量a(2,1)，b(1，2)，得manb(2mn，m2n)(9，8)，則解得故mn3.(3)因為|2，所以|21c24，因為c0，所以c.因為，所

7、以(1，)(1,0)(0,1)，所以1，所以1.規(guī)律方法平面向量坐標運算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標(2)解題過程中，常利用“向量相等，則坐標相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進行求解 已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標及向量的坐標解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)

8、設(shè)O為坐標原點3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)平面向量共線的坐標表示【例2】已知a(1,0)，b(2,1)(1)當k為何值時，kab與a2b共線？(2)若2a3b，amb且A，B，C三點共線，求m的值解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab與a2b共線，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：A，B，C三點共線，即2a3b(amb)，解得m.法二：2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m

9、)A，B，C三點共線，.8m3(2m1)0，即2m30，m.規(guī)律方法平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)，如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量 (1)(2019沈陽模擬)已知平面向量a(1，m)，b(3,1)且(2ab)b，則實數(shù)m的值為()A BCD(2)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k

10、2)，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_(1)B(2)k1(1)2ab(1,2m1)，由題意知3(2m1)1，解得m，故選B(2)若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量，不共線因為(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，所以1(k1)2k0，解得k1.1(2015全國卷)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)A法一：設(shè)C(x，y)，則(x，y1)(4，3)，所以從而(4，2)(3,2)(7，4)故選A法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故選A2(2016全國卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.6a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430.m6.3(2018全國卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，則_.由題意得2ab(4,2)，因為c(2ab)，c(1，)，所以42，得.- 8 -