2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 基本不等式教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 基本不等式教學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 基本不等式教學(xué)案 理（含解析）新人教A版（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)基本不等式考綱傳真1.了解基本不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)2兩個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)(2)ab2(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)3利用基本不等式求最值已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大)常用結(jié)論1.2(a，b

2、同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)2ab2.3.(a0，b0)基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)不等式a2b22ab與成立的條件是相同的()(2)函數(shù)yx的最小值是2.()(3)函數(shù)f(x)sin x，x(0，)的最小值為4.()(4)x0且y0是2的充要條件()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為()A80B77C81D82Cx0，y0，即xy281，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí)，(xy)max81.3若直線1(a0，b0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，則ab的最小值等于()A2 B3 C4 D5C由題意得1.又a0，b0，ab(

3、ab)2224.當(dāng)且僅當(dāng)，即ab2時(shí)等號(hào)成立，故選C.4若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a等于()A1 B1C3 D4C當(dāng)x2時(shí)，x20，f(x)(x2)2224，當(dāng)且僅當(dāng)x2(x2)，即x3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，x3，即a3，選C.5(教材改編)若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是_m2.25設(shè)矩形的一邊為x m，矩形場(chǎng)地的面積為y，則另一邊為(202x)(10x)m，則yx(10x)225，當(dāng)且僅當(dāng)x10x，即x5時(shí)，ymax25.利用基本不等式求最值考法1配湊法求最值【例1】(1)設(shè)0x2，則函數(shù)y的最大值為()A2B.C.D.(2)

4、若x，則f(x)4x2的最大值為_(1)D(2)1(1)0x2，42x0，x(42x)2x(42x)242.當(dāng)且僅當(dāng)2x42x，即x1時(shí)等號(hào)成立即函數(shù)y的最大值為.(2)因?yàn)閤，所以54x0，則f(x)4x2323231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，等號(hào)成立故f(x)4x2的最大值為1.考法2常數(shù)代換法求最值【例2】已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，則12 ，得xy64，當(dāng)且僅當(dāng)x4y，即x16，y4時(shí)等號(hào)成立故xy的最小值為64.(2)法一：(消元法)由2x8yxy0，得x，因?yàn)閤0，y0，所以y2，則xy

5、y(y2)1018，當(dāng)且僅當(dāng)y2，即y6，x12時(shí)等號(hào)成立故xy的最小值為18.法二：(常數(shù)代換法)由2x8yxy0，得1，則xy(xy)10102 18，當(dāng)且僅當(dāng)y6，x12時(shí)等號(hào)成立，故xy的最小值為18.規(guī)律方法(1)利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(2)常數(shù)代換法主要解決形如“已知xyt(t為常數(shù))，求的最值”的問(wèn)題，先將，再用基本不等式求最值.注意：應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”. (1)已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_(2)(2019皖南八校聯(lián)考)函數(shù)yloga(x4)1(a0，a1)的圖象恒過(guò)定

6、點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線1上，且m0，n0，則3mn的最小值為()A13 B16C116 D28(1)6(2)B(1)x0，y0，x3yxy9，9(x3y)xyx3y2，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)，等號(hào)成立，由因?yàn)閤0，y0，計(jì)算得出x3y的最小值為6.(2)函數(shù)yloga(x4)1(a0，a1)的圖象恒過(guò)A(3，1)，由點(diǎn)A在直線1上可得，1，即1，故3mn(3mn)103，因?yàn)閙0，n0，所以22(當(dāng)且僅當(dāng)，即mn時(shí)取等號(hào))，故3mn103103216，故選B.利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題【例3】隨著社會(huì)的發(fā)展，汽車逐步成為人們的代步工具，家庭轎車的持有量逐年上升，交通堵塞現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，據(jù)調(diào)查某段公路在某時(shí)

7、段內(nèi)的車流量y(單位：千輛/時(shí))與汽車的平均速度v(單位：千米/時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系：y(v0)(1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)車流量y最大？最大車流量約為多少？(結(jié)果保留兩位小數(shù))(2)為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解(1)由題知，v0，則y，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v40時(shí)取等號(hào)所以ymax10.23.故當(dāng)v40時(shí)，車流量y最大，最大約為10.23千輛/時(shí)(2)由y10，得1，即90vv28v1 600，整理得v282v1 6000，即(v32)(v50)0，解得32v50.所以為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/時(shí)，汽車的平均速度應(yīng)大于等

8、于32千米/時(shí)且小于等于50千米/時(shí)規(guī)律方法解實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解. 要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是()A80元 B120元 C160元 D240元C設(shè)底面相鄰兩邊的邊長(zhǎng)分別為x m，y m，總造價(jià)為T元，則xy14xy4.T420(2x2y)1108020(xy)802028

9、0204160(當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào))故該容器的最低總造價(jià)是160元基本不等式的綜合應(yīng)用【例4】(1)已知a0，b0，若不等式恒成立，則m的最大值為()A9 B12 C18 D24(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，其前n項(xiàng)和是Sn(nN*)，若a1d1，則的最小值是_(1)B(2)(1)由，得m(a3b)6.又62612(當(dāng)且僅當(dāng)，即a3b時(shí)等號(hào)成立)，m12，m的最大值為12.(2)ana1(n1)dn，Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n4時(shí)取等號(hào)的最小值是. (1)當(dāng)xR時(shí)，32x(k1)3x20恒成立，則k的取值范圍是()A(，1)B(，21)C(1,21) D(21,21)(2)已知函數(shù)f(x)|lg x|，ab0，f(a)f(b)，則的最小值等于_(1)B(2)2(1)由32x(k1)3x20，解得k13x.3x0，3x2(當(dāng)且僅當(dāng)3x，即xlog3時(shí)，等號(hào)成立)，3x的最小值為2.又當(dāng)xR時(shí)，32x(k1)3x20恒成立，當(dāng)xR時(shí)，k1min，即k12，即k21.(2)由f(x)|lg x|，且f(a)f(b)可知|lg a|lg b|，又ab0，lg alg b，即lg ab0，ab1.(ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，的最小值為2.- 7 -