2020屆高考數(shù)學大二輪復習 層級二 專題一 函數(shù)與導數(shù) 第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程教學案

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1、 第2講　基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程 [考情考向·高考導航] 1．掌握二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象性質． 2．以基本初等函數(shù)為依托，考查函數(shù)與方程的關系、函數(shù)零點存在性定理． 3．能利用函數(shù)解決簡單的實際問題． [真題體驗] 1．(2018·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，則a＝________. 解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)．且f(3)＝1，∴f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，∴a＝－7. 答案：－7 2．(全國Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a

2、＝(　　) A．－　　　　　　　　 B. C. D．1 解析：C　[x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，設g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，當g′(x)＝0時，x＝1，當x＜1時，g′(x)＜0函數(shù)單調遞減，當x＞1時，g′(x)＞0，函數(shù)單調遞增，當x＝1時，函數(shù)取得最小值g(1)＝2，設h(x)＝x2－2x，當x＝1時，函數(shù)取得最小值－1，若－a＞0，函數(shù)h(x)，和ag(x)沒有交點，當－a＜0時，－ag(1)＝h(1)時，此時函數(shù)h(x)和ag(x)有一個交點，即－a×2＝－1?a＝，故選C.] 3．(2019·全國Ⅰ卷)已

3、知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析：B　[∵a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1， 0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴b＞c＞a.選B.] 4．(2018·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：C　[令g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，則f(x)＝－x－a， 要使g(x)存在2個零點，則需y＝f(x)

4、與y＝－x－a有兩個交點，畫出函數(shù)f(x)和y＝－x－a的圖象如圖所示，則需－a≤1，∴a≥－1.] [主干整合] 1．指數(shù)式與對數(shù)式的七個運算公式 (1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝amn； (3)loga(MN)＝logaM＋logaN； (4)loga＝logaM－logaN； (5)logaMn＝nlogaM； (6)alogaN＝N； (7)logaN＝(注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0)． 2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的圖象和性質，分0＜a＜1，a＞

5、1兩種情況，當a＞1時，兩函數(shù)在定義域內都為增函數(shù)，當0＜a＜1時，兩函數(shù)在定義域內都為減函數(shù)． 3．函數(shù)的零點問題 (1)函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點的橫坐標． (2)確定函數(shù)零點的常用方法：①直接解方程法；②利用零點存在性定理；③數(shù)形結合，利用兩個函數(shù)圖象的交點求解． 4．應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序 ???. 熱點一　基本初等函數(shù)的圖象與性質 [例1]　(1)(2019·濟南三模)若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象

6、大致是(　　) [解析]　B　[由于y＝a|x|的值域為{y|y≥1}， ∴a＞1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關于y軸對稱． 因此y＝loga|x|的圖象應大致為選項B.] (2)(2019·鄭州三模)已知a(a＋1)≠0，若函數(shù)f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上為減函數(shù)，且函數(shù)g(x)＝在R上有最大值，則a的取值范圍為(　　) A.　　　　　 B. C. D.∪ [解析]　A　[∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上為減函數(shù)， ∴∴a≤－，∵a(a＋1)≠0， ∴|a|∈∪(1，＋∞)．當x≤

7、時，g(x)＝4x∈(0,2]， 又g(x)＝在R上有最大值，則當x＞時，log|a|x≤2，且|a|∈，∴l(xiāng)og|a|≤2，∴|a|2≤，則|a|≤，又a≤－，∴－≤a≤－.] (3)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b [解析]　A　[利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性時要根據(jù)底數(shù)與1的大小區(qū)別對待． a＝log52＜log5＜， b＝log0.50.2＞log0.50.25＝2， 0．51＜0.50.2＜0.50，故＜c＜1， 所

8、以a＜c＜b.故選A.] 基本初等函數(shù)的圖象與性質的應用技巧 (1)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調性都取決于其底數(shù)的取值，當?shù)讛?shù)a的值不確定時，要注意分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論：當a＞1時，兩函數(shù)在定義域內都為增函數(shù)；當0＜a＜1時，兩函數(shù)在定義域內都為減函數(shù)． (2)由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復合而成的函數(shù)，其性質的研究往往通過換元法轉化為兩個基本初等函數(shù)的有關性質，然后根據(jù)復合函數(shù)的性質與相關函數(shù)的性質之間的關系進行判斷． (1) (2020·銀川模擬)若函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是(　　) 解析：B　[∵函數(shù)

9、y＝logax過點(3,1)， ∴1＝loga3，解得a＝3， 由于y＝3－x不可能過點(1,3)，故選項A錯誤； 由于y＝x3過定點(1,1)，故選項B正確； 由于y＝(－x)3＝－x3不可能過點(1,1)，故選項C錯誤；由于y＝log3(－x)不可能過點(－3，－1)，故選項D錯誤．故選B.] (2)(2019·全國Ⅲ卷)設f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調遞減，則(　　) A．f＞f＞f B．f＞f＞f C．f＞f＞f D．f＞f＞f 解析：C　[本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性，考查學生轉化與化歸及分析問題解決問題的能力．∵f(x)是R的偶函數(shù)，∴f

10、＝f(log34)． ∴l(xiāng)og34＞1＝20＞2－＞2－，又f(x)在(0，＋∞)單調遞減，f(log34)＜f＜f， ∴f＞f＞f，故選C.] 熱點二　函數(shù)的零點與方程的根 　　　確定函數(shù)零點的個數(shù)或其存在區(qū)間 [例2－1]　(1)(2019·南昌調研)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 [解析]　B　[(1)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝|log0.5x|與y＝圖象的交點個數(shù)．在同一坐標系中作出函數(shù)y＝|log0.5x|與y＝的圖象，易知有2個交點．] (

11、2)(2020·蘭州模擬)方程ln(x＋1)－＝0(x＞0)的根存在的大致區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4) [解析]　B　[設f(x)＝ln(x＋1)－， 易f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2＜0， 而f(2)＝ln 3－1＞0， 所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(1,2)． 所以B選項正確．] 判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 (1)直接求零點：令f(x)＝0，則方程解的個數(shù)即為零點的個數(shù)． (2)利用零點存在性定理：利用該定理還必須結合函數(shù)的圖象和性質(如單調性)才能確定函數(shù)有多少個零點． (3)數(shù)形結合法：對于給定

12、的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉化為兩個能畫出的函數(shù)圖象交點問題． 根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍 [例2－2]　(1)(2020·四川涼山診斷)已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是(　　) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1)∪(1,2) D．(－∞，1) [解析]　A　[∵函數(shù)f(x)＝(a∈R)在R上有兩個零點，且x＝是函數(shù)f(x)的一個零點， ∴方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一個解， 再根據(jù)當x∈(－∞，0]時，0＜2x≤20＝1，可得0＜a≤1.故選A.] (2)(2019·山東濟南三模)已知偶函數(shù)f(

13、x)滿足f(x－1)＝，且當x∈[－1,0]時，f(x)＝x2，若在區(qū)間[－1,3]內，函數(shù)g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　 ∵偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝， 且當x∈[－1,0]時，f(x)＝x2， ∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)的周期為2，在區(qū)間[－1,3]內函數(shù)g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3個零點等價于函數(shù)f(x)的圖象與y＝loga(x＋2)的圖象在區(qū)間[－1,3]內有3個交點． 當0＜a＜1時，函數(shù)圖象無交點，數(shù)形結合可得a＞1且解得3＜a＜5. [答

14、案]　(3,5) 利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解． (2)分離參數(shù)后轉化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解． (3)轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解． (1)(2019·武昌二模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝2 018x＋log2 018x，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為________． 解析： 在同一直角坐標系中作出函數(shù)y＝2 018x和y＝－log2 018x的圖象如圖所示，可知函數(shù)f(x)＝2 018x＋log2 018x在x∈(0，＋∞)上存在一個

15、零點，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(x)在x∈(－∞，0)上只有一個零點，又f(0)＝0， ∴函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是3. 答案：3 (2)(2020·張家界模擬)已知函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)－k＝0有唯一一個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________________． 解析：畫出函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，結合圖象可以看出當0≤k＜1或k＞2時符合題設． 答案：[0,1)∪(2，＋∞) 熱點三　函數(shù)的實際應用 數(shù)學 建模 素養(yǎng) 數(shù)學建?！瘮?shù)建模在實際問題中的妙用 解函數(shù)的模型的實際應用題，首先應考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函

16、數(shù)關系式(注意定義域)，并進行相關求解，最后結合實際意義作答． ―→―→―→ [例3]　(1)(2020·涼山診斷)某電腦公司在甲、乙兩地各有一個分公司，甲分公司現(xiàn)有某型號電腦6臺，乙分公司現(xiàn)有同一型號的電腦12臺．現(xiàn)A地某單位向該公司購買該型號的電腦10臺，B地某單位向該公司購買該型號的電腦8臺．已知從甲地運往A、B兩地每臺電腦的運費分別是40元和30元．從乙地運往A、B兩地每臺電腦的運費分別是80元和50元．若總運費不超過1 000元，則調運方案的種數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　C　[(1)設總運費為y元，甲地調運x臺電腦至B地，則剩下(6－x)臺電

17、腦調運至A地；乙地應調運(8－x)臺電腦至B地，調運12－(8－x)＝(x＋4)臺電腦(0≤x≤6，x∈N)至A地．則總運費y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，∴y＝20x＋960(0≤x≤6，x∈N)．若y≤1 000，則20x＋960≤1 000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N.∴0≤x≤2，x∈N.∴x＝0,1,2，即有3種調運方案．] (2)(2020·湖南名校聯(lián)考)某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關系為P＝P0e－kt.如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費的

18、時間為________小時． [解析]　前5小時污染物消除了10%，此時污染物剩下90%，即t＝5時，P＝0.9P0，則(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.當污染物減少19%時，污染物剩下81%，此時P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即需要花費10小時． [答案]　10 解決函數(shù)實際應用題的兩個關鍵點 (1)認真讀題，縝密審題，準確理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學的抽象概括，將實際問題歸納為相應的數(shù)學問題． (2)要合理選取參數(shù)變量，設定變量之后，就要尋找它們之間的內在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關系，建立相應的

19、函數(shù)模型，最終求解數(shù)學模型使實際問題獲解． (2019·北京卷)在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1,2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為(　　) A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10－10.1 解析：A　[考查考生的數(shù)學應用意識、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算． 兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg， 令m2＝－1.45，m1＝－26.7， lg＝(m2－m1)＝(－1.45＋26.7)＝10

20、.1， ＝1010.1，故選A.] 限時40分鐘　滿分80分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2019·云南檢測)設a＝60.7，b＝log70.6，c＝log0.60.7，則a，b，c的大小關系為(　　) A．c＞b＞a　　　　　　　　 B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 解析：D　[因為a＝60.7＞1，b＝log70.6＜0,0＜c＝log0.60.7＜1，所以a＞c＞b.] 2．(北京卷)根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是(　　)

21、(參考數(shù)據(jù)：lg 3≈0.48) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 解析：D　[設＝x＝，兩邊取對數(shù)，lg x＝lg＝lg3361－lg1080＝361×lg 3－80＝93.28，所以x＝1093.28，即最接近1093，故選D.] 3．(2020·安徽皖中名校聯(lián)考)若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間(　　) A．(a，b)和(b，c) B．(－∞，a)和(a，b) C．(b，c)和(c，＋∞) D．(－∞，a)和(c，＋∞) 解析：A　[由題意可得f(a)＞0，f(

22、b)＜0，f(c)＞0，則由零點存在性定理可知，選A.] 4．(2019·鐵人中學期中)函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當－1≤x≤1時，f(x)＝|x|.若y＝f(x)的圖象與g(x)＝logax(a＞0且a≠1)的圖象有且僅有四個交點，則a的取值集合為(　　) A．{4,5} B．{4,6} C．{5} D．{6} 解析：C　[函數(shù)f(x＋2)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，畫出函數(shù)f(x)的圖象(圖略)，數(shù)形結合可知，當g(x)的圖象過點(5,1)時，f(x)的圖象與g(x)＝logax的圖象僅有四個交點，則g(5)＝loga5＝1，得a＝5.故選C

23、.] 5．(2020·廣西三校)函數(shù)f(x)＝x2lg的圖象(　　) A．關于x軸對稱 B．關于原點對稱 C．關于直線y＝x對稱 D．關于y軸對稱 解析：B　[因為f(x)＝x2lg，所以其定義域為(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f(－x)＝x2lg＝－x2lg＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于原點對稱．] 6．某商店已按每件80元的成本購進某商品1 000件，根據(jù)市場預測，銷售價為每件100元時可全部售完，定價每次提高1元時銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，銷售價應定為每件(　　) A．100元 B．110元 C．150元 D．190元 解析：D　

24、[設售價提高x元，利潤為y元，則依題意得y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000＝－5(x－90)2＋60 500.故當x＝90時，ymax＝60 500，此時售價為每件190元．] 7．(2020·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x－2[x]＋3，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[設g(x)＝ln x，h(x)＝2[x]－3，當0＜x＜1時，h(x)＝－3，作出圖象， 兩個函數(shù)圖象有一個交點，即f(x)有一個零點； 當2

25、≤x＜3時，h(x)＝1，ln 2≤g(x)＜ln 3. 此時兩函數(shù)圖象有一個交點，即f(x)有一個零點， 當x≥3以后，兩函數(shù)圖象無交點， 綜上，共有兩個零點．] 8．(2020·貴陽模擬)某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地產值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金y(單位：萬元)隨年產值x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不低于7萬元，同時獎金不超過年產值的15%.若采用函數(shù)f(x)＝作為獎勵函數(shù)模型，則最小的正整數(shù)a的值為(　　) A．310 B．315 C．320 D．325 解析：B　[對于函數(shù)模型f(x)＝＝15－，a為正整數(shù)，函

26、數(shù)在[50,500]上單調遞增，f(x)min＝f(50)≥7，得a≤344，要使f(x)≤0.15x對x∈[50,500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x對x∈[50,500]恒成立，所以a≥315.綜上，最小的正整數(shù)a的值為315.] 9．(山東卷)已知當x∈[0,1]時，函數(shù)y＝(mx－1)2 的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞) C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞) 解析：B　[當0＜m≤1時，≥1，y＝(mx－1)2單調遞減，且y＝(mx－1)2∈[(m

27、－1)2,1]，y＝＋m單調遞增，且y＝＋m∈[m,1＋m]，此時有且僅有一個交點；當m＞1時，0＜＜1，y＝(mx－1)2在上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，需(m－1)2≥1＋m?m≥3，選B.] 10．(2020·長春模擬)已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－1,1) B．[0,2] C．[－2,2) D．[－1,2) 解析：D　[∵f(x)＝ ∴g(x)＝f(x)－2x＝ 而方程－x＋2＝0的解為2，方程x2＋3x＋2＝0的解為－1，－2；若函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個不同的零點，則解得－1≤

28、a＜2，實數(shù)a的取值范圍是[－1,2)．故選D.] 11．(2019·長春質量監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)＝與g(x)＝1－sin πx，則函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－2,6]上的所有零點的和為(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 解析：D　[令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)f(x)＝1＋與g(x)＝1－sin πx的圖象，如圖所示．f(x)，g(x)的圖象都關于點(2,1)對稱，結合圖象可知f(x)與g(x)的圖象在[－2,6]上共有8個交點，交點的橫坐標即F(x)＝f(x)－g(x)的零點，且這些交點關

29、于直線x＝2成對出現(xiàn)，由對稱性可得所有零點之和為4×2×2＝16，故選D.] 12．(2020·煙臺模擬)已知函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關于點(1,0)對稱，且當x∈(－∞，0)時，f(x)＋xf′(x)＜0成立(其中f′(x)是f(x)的導函數(shù))，若a＝30.3·f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝·f，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 解析：B　[因為當x∈(－∞，0)時不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，即[xf(x)]′＜0， 所以g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)．

30、又因為函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關于點(1,0)對稱， 所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(0,0)對稱， 所以函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 所以g(x)＝xf(x)是定義在R上的偶函數(shù)， 所以g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 又因為30.3＞1＞logπ3＞0＞log3＝－2， 2＝－log3＞30.3＞1＞logπ3＞0， 所以f＞30.3·f(30.3)＞(logπ3)·f(logπ3)，即f＞30.3·f(30.3)＞(logπ3)·f(logπ3)，即c＞a＞b，故選B.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．(2020·

31、福建三明模擬)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設物體的初始溫度是T0，經過一定時間t(單位：分)后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta稱為環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡，放在24 ℃的房間中，如果咖啡降到40 ℃需要20分鐘，那么此杯咖啡從40 ℃降溫到32 ℃時，還需要________分鐘． 解析：由已知可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，則40－24＝(88－24)×，解得h＝10.當咖啡從40 ℃降溫到32 ℃時，可得32－24＝(40－24)×，解得t＝10.故還需要10分鐘． 答案：10 14．(2020·湖南省四校聯(lián)

32、考)已知函數(shù)f(x)＝lg x＋x－9在區(qū)間(n，n＋1)(n∈Z)上存在零點，則n＝________. 解析：易知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)在其定義域內單調遞增，由零點存在性定理知，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(n，n＋1)(n∈Z)上存在零點，則有又f(4)＝lg 4＋6－9＝lg 4－3＜0，f(5)＝lg 5＋－9＝lg 5－＜0，f(6)＝lg 6＋9－9＝lg 6＞0，所以函數(shù)f(x)在(5,6)上存在零點，所以n＝5. 答案：5 15．(2018·浙江卷)已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝當λ＝2時，不等式f(x)<0的解集是________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點

33、，則λ的取值范圍是________． 解析：∵λ＝2， ∴f(x)＝ 當x≥2時，x－4＜0得2≤x＜4. 當x＜2時，x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜2. 綜上不等式的解集為1＜x＜4. 當y＝x2－4x＋3有2個零點時，λ＞4. 當y＝x2－4x＋3有1個零點時，y＝x－4有1個零點，1＜λ≤3. ∴1＜λ≤3或λ＞4. 答案：(1,4)；(1,3]∪(4，＋∞) 16．(2019·合肥調研)已知f(x)＝(其中a＜0，e為自然對數(shù)的底數(shù))，若g(x)＝f[f(x)]在R上有三個不同的零點，則a的取值范圍是____________． 解析： 令t＝f(x)，所以g(x)＝f(t)，g(x)＝f[f(x)]在R上要有三個不同的零點，則f(t)＝0必有兩解，所以－2≤a＜0，所以f(x)的大致圖象如圖所示，又f(x)的零點為x1＝0，x2＝－2，所以y＝f(t)必有兩個零點，t1＝－2和t2＝0，而x≤a時，f(x)min＝a2－4，所以要使y＝f(t)的兩個零點都存在，則a2－4≤－2，否則t1＝－2這個零點就不存在，故a2≤2，所以－≤a＜0. 答案：[－，0) - 14 -