2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

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1、 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié)坐標(biāo)系 1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換 φ：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)， 稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換． 2．極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系 如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系． (2)極坐標(biāo) ①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ. ②極角：以極軸Ox為始

2、邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ. ③極坐標(biāo)：有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)． 　一般不作特殊說明時，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實數(shù)． 3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為： 4．簡單曲線的極坐標(biāo)方程 曲線 極坐標(biāo)方程 圓心為極點，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ<2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos θ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 過極點，傾斜角為α的直線 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 過

3、點(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos θ＝a 過點，與極軸平行的直線 ρsin θ＝a(0<θ<π) 1．若點P的直角坐標(biāo)為(3，－)，則點P的極坐標(biāo)為______． 解析：因為點P(3，－)在第四象限，與原點的距離為2，且OP與x軸所成的角為－，所以點P的極坐標(biāo)為. 答案： 2．圓ρ＝5cos θ－5sin θ的圓心的極坐標(biāo)為________． 解析：將方程 ρ＝5cos θ－5sin θ兩邊都乘以ρ， 得ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ， 化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－5x＋5y＝0. 圓心坐標(biāo)為，化成極坐標(biāo)為. 答案：(答案不唯一) 3．在極

4、坐標(biāo)系中A，B兩點間的距離為________． 解析：法一：(數(shù)形結(jié)合)在極坐標(biāo)系中，A，B兩點如圖所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6. 法二：∵A，B的直角坐標(biāo)為A(1，－)，B(－2,2)． ∴|AB|＝＝6. 答案：6 4．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(θ∈R)的距離是________． 解析：設(shè)圓心到直線θ＝(θ∈R)的距離為d， 因為圓的半徑為2, d＝2·sin＝1. 答案：1 　　　　 [考什么·怎么考] 1．求橢圓＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程． 解：由得到① 將①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2

5、＝1.因此橢圓＋y2＝1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2＋y2＝1. 2．求雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過φ：變換后所得曲線C′的焦點坐標(biāo)． 解：設(shè)曲線C′上任意一點P′(x′，y′)， 由上述可知，將代入x2－＝1， 得－＝1，化簡得－＝1， 即－＝1為曲線C′的方程， 可見仍是雙曲線，則焦點(－5,0)，(5,0)為所求． 3．將圓x2＋y2＝1變換為橢圓＋＝1的一個伸縮變換公式為φ：求a，b的值． 解：由得代入x2＋y2＝1中得＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2. [怎樣快解·準(zhǔn)解] 伸縮變換公式應(yīng)用時的2個注意點 (1)曲線的伸縮變換是通過曲線

6、上任意一點的坐標(biāo)的伸縮變換實現(xiàn)的，解題時一定要區(qū)分變換前的點P的坐標(biāo)(x，y)與變換后的點P′的坐標(biāo)(x′，y′)，再利用伸縮變換公式建立聯(lián)系． (2)已知變換后的曲線方程f(x，y)＝0，一般都要改寫為方程f(x′，y′)＝0，再利用換元法確定伸縮變換公式． 　　　　 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化是解決極坐標(biāo)問題的基礎(chǔ)，是高考?？純?nèi)容之一，既有單獨考查，也有與參數(shù)方程等內(nèi)容的綜合考查，題型為解答題，難度適中. [典題領(lǐng)悟] 在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l： ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)θ∈(0，

7、π)時，求直線l與圓O的公共點的極坐標(biāo)． [思維路徑] (1)由ρ＝cos θ＋sin θ及公式可將等式兩邊同乘以ρ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，從而可化為直角坐標(biāo)方程．將ρsin＝利用兩角差的正弦公式展開，可得ρsin θ－ρcos θ＝1，從而可化為直角坐標(biāo)方程． (2)可先求出直線l與圓O的公共點，然后將該公共點化為極坐標(biāo)． 解：(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－x－y＝0， 直線l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 則直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0. (2)由(1)

8、知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程， 將兩方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點為(0,1)， 將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為即為所求． [解題師說] 1．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法 (1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡即可． (2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過變形，構(gòu)造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧． 2．極角的確定方法 由tan θ確定角θ時，應(yīng)根據(jù)點P所在象限取最小正角．在這里要注意：當(dāng)x≠0時，

9、θ角才能由tan θ＝按上述方法確定．當(dāng)x＝0時，tan θ沒有意義，這時可分三種情況處理：當(dāng)x＝0，y＝0時，θ可取任何值；當(dāng)x＝0，y>0時，可取θ＝；當(dāng)x＝0，y<0時，可取θ＝. [沖關(guān)演練] 已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4， 所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. 因為ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)將兩圓的直角

10、坐標(biāo)方程相減， 得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin＝. 　　　　 曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用是每年高考的重點，主要涉及線段長度、平面圖形的面積以及最值等問題，難度適中. [典題領(lǐng)悟] (2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． [思維路徑] (1)

11、可先求點P在極坐標(biāo)系中的軌跡方程，然后再化為直角坐標(biāo)方程．設(shè)P(ρ，θ)，則M點的可設(shè)為(ρ1，θ)，利用|OM|·|OP|＝16及相關(guān)點可求． (2)由于點O和點A都是定點，故△AOB面積的大小取決于B點的位置，可設(shè)B點的極坐標(biāo)為(ρB，α)，然后利用面積公式S＝|OA|·ρB·sin∠AOB求解即可． 解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設(shè)點B的極

12、坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB＞0)， 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ＝2≤2＋. 當(dāng)α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. [解題師說] 1．方法要熟 求簡單曲線的極坐標(biāo)方程的方法 (1)設(shè)點M(ρ，θ)為曲線上任意一點，由已知條件，構(gòu)造出三角形，利用三角函數(shù)及正、余弦定理求解|OM|與θ的關(guān)系． (2)先求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式，把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程． 2．技巧要會 用極坐標(biāo)系解決問題時要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容

13、易通過極坐標(biāo)表示時，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決． [沖關(guān)演練] (2015·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積． 解：(1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos

14、θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1， 所以△C2MN的面積為. 1．在極坐標(biāo)系中，求直線ρcos＝1與圓ρ＝4sin θ的交點的極坐標(biāo)． 解：ρcos＝1化為直角坐標(biāo)方程為x－y＝2， 即y＝x－2. ρ＝4sin θ可化為x2＋y2＝4y， 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y， 得4x2－8x＋12＝0， 即(x－)2＝0， 所以x＝，y＝1. 所以直線與圓的交點坐標(biāo)為(，1)，化為極坐標(biāo)為. 2．在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點P，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點，求圓C

15、的極坐標(biāo)方程． 解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)． 因為圓C經(jīng)過點P， 所以圓C的半徑|PC|＝ ＝1，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 3．設(shè)M，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的動點，求M，N的最小距離． 解：因為M，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的動點，即M，N分別是圓x2＋y2＋2y＝0和直線x＋y－1＝0上的動點，要求M，N兩點間的最小距離，即在直線x＋y－1＝0上找一點到圓x2＋y2＋2y＝0的距離最小，即圓心(0，－1)到直線x＋y－1＝0的距離減去半徑，故最小值為－1＝－

16、1. 4．(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C

17、1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當(dāng)a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上． 所以a＝1. 5．(2018·洛陽模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋(y－2)2＝4.以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin＝5，射 線OM：θ＝與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

18、 解：(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋(y－2)2＝4， 得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ. (2)設(shè)P(ρ1，θ1)，則由 解得ρ1＝2，θ1＝. 設(shè)Q(ρ2，θ2)，則由 解得ρ2＝5，θ2＝. 所以|PQ|＝ρ2－ρ1＝3. 6．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點． (1)求C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1. 從而C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，即x＋y＝2.

19、 當(dāng)θ＝0時，ρ＝2，所以M(2,0)． 當(dāng)θ＝時，ρ＝，所以N. (2)由(1)知M點的直角坐標(biāo)為(2,0)，N點的直角坐標(biāo)為. 所以P點的直角坐標(biāo)為，則P點的極坐標(biāo)為，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 7．(2018·福建質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的普通方程為(x－2)2＋y2＝4，在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，曲線C3：θ＝(ρ>0)，A(2,0)． (1)把C1的普通方程化為極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)C3分別交C1，C2于點P，Q，求△APQ的面積． 解：(1)因為C1的普通方程為(x－2)2＋y2＝4，

20、 即x2＋y2－4x＝0， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ. (2)依題意，設(shè)點P，Q的極坐標(biāo)分別為，. 將θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2， 將θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1. 依題意，點A(2,0)到曲線θ＝(ρ>0)的距離 d＝|OA|sin ＝1， 所以S△APQ＝|PQ|·d＝×(2－1)×1＝－. 8．(2018·貴州適應(yīng)性考試)在以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sin θ. (1)求

21、曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)過原點且傾斜角為α的射線l與曲線C1，C2分別相交于A，B兩點(A，B異于原點)，求|OA|·|OB|的取值范圍． 解：(1)由曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sin θ， 兩邊同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsin θ， 故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＝y(tǒng). (2)射線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α，＜α≤， 把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C1的極坐標(biāo)方程得|OA|＝ρ＝4cos α， 把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C2的極坐標(biāo)方程得|OB|＝ρ＝， ∴|OA|·|OB|＝4cos α·＝4tan α. ∵＜α≤， ∴|OA|·|OB|的取值范圍

22、是. 第二節(jié)參數(shù)方程 1．參數(shù)方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程． 2．直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)過點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)圓心在點M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))． (4)雙

23、曲線－＝1(a>0，b>0)的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． 1．在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，則其普通方程為____________． 解析：依題意，消去參數(shù)可得x－2＝y(tǒng)－1，即x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 2．橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，過左焦點F1的直線l與C相交于A，B兩點，則|AB|min＝________. 解析：由(φ為參數(shù))得，＋＝1， 當(dāng)AB⊥x軸時，|AB|有最小值． 所以|AB|min＝2×＝. 答案： 3．曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線C的普通方程為____________． 解析：由(θ為參

24、數(shù))消去參數(shù)θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)． 答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1) 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的方程為x2＋＝1，設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，則線段AB的長為________________________________________________________________________． 解析：將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1， 得2＋＝1， 即7t2＋16t＝0， 解得t1＝0，t2＝－， 所以|AB|＝|t1－t2|＝. 答案： 　　　　 [考什么·怎么考] 參數(shù)方程

25、與普通方程的互化是每年高考的熱點內(nèi)容，常與極坐標(biāo)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合考查，屬于基礎(chǔ)題． 1．將下列參數(shù)方程化為普通方程． (1)(t為參數(shù))； (2)(θ為參數(shù))． 解：(1)∵2＋2＝1， ∴x2＋y2＝1. ∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1. 又x＝，∴x≠0. 當(dāng)t≥1時，0

26、 ∴所求的普通方程為2x＋y－4＝0(2≤x≤3)． 2.如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程． 解：圓的半徑為， 記圓心為C，連接CP， 則∠PCx＝2θ， 故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ， yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ為參數(shù))． 所以圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 3．求直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點個數(shù)． 解：將消去參數(shù)t得直線x＋y－1＝0； 將消去參數(shù)α，得圓x2＋y2＝9. 又圓心(0,0)到直線x＋y－1＝0的距離d＝＜3. 因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個交點． [怎樣快解·準(zhǔn)解] 將

27、參數(shù)方程化為普通方程的方法 將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎ā⒓訙p消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參．如sin2θ＋cos2θ＝1等． [注意]　將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解，如第1題． 　　　　 參數(shù)方程的應(yīng)用是每年高考的熱點，主要涉及直線與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程以及直線與圓、圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，難度適中，屬于中檔題. [典題領(lǐng)悟] (2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))

28、． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標(biāo)； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 解：(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當(dāng)a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0， 由解得或 從而C與l的交點坐標(biāo)為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0， 故C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為 d＝. 當(dāng)a≥－4時，d的最大值為 . 由題設(shè)得＝，解得a＝8； 當(dāng)a＜－4時，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，解得a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. [解題師說] 1．方法要熟 (1)解決直線與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時，一

29、般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系來解決問題． (2)對于形如(t為參數(shù))的參數(shù)方程，當(dāng)a2＋b2≠1時，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題． (3)直線參數(shù)方程的應(yīng)用：直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程主要用來解決過定點的直線與圓錐曲線相交時的弦長或距離問題．它可以避免求交點時解方程組的繁瑣運算，但應(yīng)用直線的參數(shù)方程時，需先判斷是否是標(biāo)準(zhǔn)形式再考慮參數(shù)的幾何意義． (4)圓、圓錐曲線的參數(shù)方程突出了其工具性作用，應(yīng)用時，把圓、圓錐曲線上的點的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)知識解決問題． 2．結(jié)論要記 根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意

30、義，有如下常用結(jié)論： 過定點M0的直線與圓錐曲線相交，交點為M1，M2，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. (1)弦長l＝|t1－t2|； (2)弦M1M2的中點?t1＋t2＝0； (3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|. [沖關(guān)演練] 1．(2018·湖南五市十校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C： (θ為參數(shù))相交于不同的兩點A，B. (1)若α＝，求線段AB的中點的直角坐標(biāo)； (2)若直線l的斜率為2，且過已知點P(3,0)，求|PA|·|PB|的值． 解：(1)由曲線C： (θ為參數(shù))，可得曲線C的普通方

31、程是x2－y2＝1. 當(dāng)α＝時，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入曲線C的普通方程，得t2－6t－16＝0， 得t1＋t2＝6，所以線段AB的中點對應(yīng)的t＝＝3， 故線段AB的中點的直角坐標(biāo)為. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化簡得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0， 則|PA|·|PB|＝|t1t2|＝＝， 由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝. 2．(2018·石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝－.

32、(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P是圓C上任意一點，求A，B兩點的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值． 解：(1)由消去參數(shù)t， 得(x＋5)2＋(y－3)2＝2， 所以圓C的普通方程為(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由ρcos＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0. (2)直線l與x軸，y軸的交點分別為A(－2,0)，B(0,2)， 化為極坐標(biāo)為A(2，π)，B， 設(shè)點P的坐標(biāo)為(－5＋cos t,3＋sin t)， 則點P到直線l的距離為 d＝＝. 所以dmin

33、＝＝2，又|AB|＝2. 所以△PAB面積的最小值是S＝×2×2＝4. 　　　　 極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用是每年的必考內(nèi)容，主要涉及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用，難度適中. [典題領(lǐng)悟] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點P的極坐標(biāo)為，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)寫出點P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若Q為曲線C上的動點，求PQ中點M到直線l：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距離的最小值． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 可得點P的直角坐標(biāo)為

34、(3，)， 由得x2＋(y＋)2＝4， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y＋)2＝4. (2)直線l的普通方程為x＋2y＋1＝0， 曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 設(shè)Q(2cos α，－＋2sin α)， 則M， 故點M到直線l的距離 d＝＝≥＝－1， ∴點M到直線l的距離的最小值為－1. [解題師說] 處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的方法 (1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程． (2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接

35、求解，能達(dá)到化繁為簡的解題目的． [沖關(guān)演練] 1．(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． 解：(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)， 消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)． 所以C的普通方程為

36、x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)． 聯(lián)立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為. 2．(2018·武昌調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝－2. (1)設(shè)P是曲線C上的一個動點，當(dāng)a＝2時，求點P到直線l的距離的最小值； (2)若曲線C上的所有點

37、均在直線l的右下方，求a的取值范圍． 解：(1)由ρcos＝－2， 得(ρcos θ－ρsin θ)＝－2， 化成直角坐標(biāo)方程，得(x－y)＝－2， 即直線l的方程為x－y＋4＝0. 依題意，設(shè)P(2cos t,2sin t)， 則點P到直線l的距離 d＝＝ ＝2＋2cos. 當(dāng)cos＝－1時，dmin＝2－2. 故點P到直線l的距離的最小值為2－2. (2)∵曲線C上的所有點均在直線l的右下方， ∴對?t∈R，有acos t－2sin t＋4>0恒成立， 即cos(t＋φ)>－4恒成立， ∴<4， 又a>0，∴0

38、 1．已知P為半圓C：(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的點，點A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧AP的長度均為. (1)以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，求點M的極坐標(biāo)； (2)求直線AM的參數(shù)方程． 解：(1)由已知，點M的極角為， 且點M的極徑等于， 故點M的極坐標(biāo)為. (2)由(1)知點M的直角坐標(biāo)為，A(1,0)． 故直線AM的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過點P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)．以O(shè)為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4c

39、os θ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，且|PA|＝2|PB|，求實數(shù)a的值． 解：(1)∵曲線C1的參數(shù)方程為 ∴其普通方程為x－y－a＋1＝0. ∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x2＋4x－x2－y2＝0， 即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. (2)設(shè)A，B兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 將曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2的直角坐標(biāo)方程，化簡得2t2－2t＋1－4a＝0. ∴Δ＝(－2)2－4×2(1－4a)

40、>0，即a>0， t1＋t2＝，t1·t2＝. 根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|， 又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|， 即t1＝2t2或t1＝－2t2. ∴當(dāng)t1＝2t2時，有 解得a＝，符合題意． 當(dāng)t1＝－2t2時，有 解得a＝，符合題意． 綜上，實數(shù)a＝或a＝. 3．(2018·貴陽模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若A，B分別為

41、曲線C1，C2上的動點，求當(dāng)AB取最小值時△AOB的面積． 解：(1)由(t為參數(shù))得C1的普通方程為 (x－4)2＋(y－5)2＝9， 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 將x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入上式， 得C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1. (2)如圖，當(dāng)A，B，C1，C2四點共線，且A，B在線段C1C2上時，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)， 則kC1C2＝＝1， ∴直線C1C2的方程為x－y＋1＝0， ∴點O到直線C1C2的距離d＝＝， 又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4 ＝4－4， ∴S△A

42、OB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－. 4．(2018·廣州綜合測試)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝2cos. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)求曲線C上的點到直線l的距離的最大值． 解：(1)由(t為參數(shù))消去t得x＋y－4＝0， 所以直線l的普通方程為x＋y－4＝0. 由ρ＝2cos＝2＝2cos θ＋2sin θ， 得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ. 將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)代入上式， 得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1

43、)2＋(y－1)2＝2. 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)法一：設(shè)曲線C上的點P(1＋cos α，1＋sin α)， 則點P到直線l的距離d＝＝＝. 當(dāng)sin＝－1時，dmax＝2. 所以曲線C上的點到直線l的距離的最大值為2. 法二：設(shè)與直線l平行的直線l′：x＋y＋b＝0， 當(dāng)直線l′與圓C相切時，＝， 解得b＝0或b＝－4(舍去)， 所以直線l′的方程為x＋y＝0. 因為直線l與直線l′的距離d＝＝2. 所以曲線C上的點到直線l的距離的最大值為2. 5．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O(shè)為

44、極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo)； (2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0， 曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立 解得或 所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α，α)，B的極坐標(biāo)為(2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當(dāng)α＝時，|A

45、B|取得最大值，最大值為4. 6．已知直線L的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (1)求直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)過曲線C上任意一點P作與直線L夾角為的直線l，設(shè)直線l與直線L的交點為A，求|PA|的最大值． 解：(1)由(t為參數(shù))，得L的普通方程為2x＋y－6＝0， 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得直線L的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0， 由曲線C的極坐標(biāo)方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1. (2)由(1)，知直線

46、L的普通方程為2x＋y－6＝0， 設(shè)曲線C上任意一點P(cos α，2sin α)， 則點P到直線L的距離d＝. 由題意得|PA|＝＝， 所以當(dāng)sin＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 7．(2018·石家莊一模)在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C1上的每一個點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線C2.以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2. (1)求曲線C2的參數(shù)方程； (2)過坐標(biāo)原點O且關(guān)于y軸對稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A，C和B，D，且點A在第一象限，當(dāng)四邊形ABCD的周長最大時，求直線l1的普通方程

47、． 解：(1)由ρ＝2，得ρ2＝4， 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. 故由題意可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1. 所以曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)設(shè)四邊形ABCD的周長為l，點A(2cos θ，sin θ)， 則l＝8cos θ＋4sin θ＝4sin(θ＋φ)， 所以當(dāng)θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)時，l取得最大值，最大值為4，此時θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)， 所以2cos θ＝2sin φ＝，sin θ＝cos φ＝， 此時A. 所以直線l1的普通方程為x－4y＝0. 8．(2018·成都診斷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α

48、為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標(biāo)為(2，θ)，其中θ∈. (1)求θ的值； (2)若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值． 解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的極坐標(biāo)方程為(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4， 即ρ＝4sin θ. 由ρ＝2，得sin θ＝， ∵θ∈，∴θ＝. (2)易知直線l的普通方程為x＋y－4＝0， ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ－4＝0. 又射線OA的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)， 聯(lián)立解得ρ＝4. ∴點B的極坐標(biāo)為， ∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2. 23