《2019屆高考數(shù)學二輪復習 第二部分 突破熱點 分層教學 專項二 專題七 1 第1講 坐標系與參數(shù)方程學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019屆高考數(shù)學二輪復習 第二部分 突破熱點 分層教學 專項二 專題七 1 第1講 坐標系與參數(shù)方程學案（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1講 坐標系與參數(shù)方程
年份
卷別
考查內(nèi)容及考題位置
命題分析
2018
卷Ⅰ
極坐標及其應用·T22
1.坐標系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是參數(shù)方程、極坐標方程與曲線的綜合應用．
2．全國課標卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應注意轉化思想的應用.
卷Ⅱ
參數(shù)方程及其應用·T22
卷Ⅲ
參數(shù)方程及其應用·T22
2017
卷Ⅰ
參數(shù)方程與普通方程的互化、點到直線的距離·T22
卷Ⅱ
直角坐標與極坐標的互化、動點軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題·T22
2、
卷Ⅲ
直線的參數(shù)方程與極坐標方程、動點軌跡方程的求法·T22
2016
卷Ⅰ
參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用·T23
卷Ⅱ
極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用、直線與圓的位置關系·T23
卷Ⅲ
參數(shù)方程、極坐標方程及點到直線的距離、三角函數(shù)的最值·T23
極坐標方程及其應用(綜合型)
圓的極坐標方程
若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，則圓的方程為：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
幾個特殊位置的圓的極坐標方程：
(1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r；
(2)當圓心位于M(a，0)，半徑為a：ρ＝
3、2acos θ；
(3)當圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin θ.
直線的極坐標方程
若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸與此直線所成的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
幾個特殊位置的直線的極坐標方程：
(1)直線過極點：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；
(2)直線過點M(a，0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a；
(3)直線過點M且平行于極軸：ρsin θ＝b.
[典型例題]
(2018·南昌模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求C的極坐標方程；
(2)若
4、直線l1，l2的極坐標方程分別為θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，設直線l1，l2與曲線C的交點為O，M，N，求△OMN的面積．
【解】 (1)由參數(shù)方程(θ為參數(shù))，得普通方程為x2＋(y－2)2＝4，所以C的極坐標方程為ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.
(2)不妨設直線l1：θ＝(ρ∈R)與曲線C的交點為O，M，則ρM＝|OM|＝4sin＝2.
又直線l2：θ＝(ρ∈R)與曲線C的交點為O，N，則ρN＝|ON|＝4sin＝2.又∠MON＝，所以S△OMN＝|OM||ON|＝×2×2＝2.
(1)極坐標方程與普通方程互化的技巧
①巧用極坐標
5、方程兩邊同乘以ρ或同時平方技巧，將極坐標方程構造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形成，然后利用公式代入化簡得到普通方程．
②巧借兩角和差公式，轉化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的結構形式，進而利用互化公式得到普通方程．
③將直角坐標方程中的x換成ρcos θ，將y換成ρsin θ，即可得到其極坐標方程．
(2)求解與極坐標有關問題的主要方法
①直接利用極坐標系求解，可與數(shù)形結合思想配合使用．
②轉化為直角坐標系，用直角坐標求解．若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標．
[對點訓練]
1．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C
6、的極坐標方程為ρcos＝1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點．
(1)寫出曲線C的直角坐標方程，并求M，N的極坐極；
(2)設M，N的中點為P，求直線OP的極坐標方程．
解：(1)因為ρcos＝1，
所以ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin＝1.
又所以x＋y＝1，
即曲線C的直角坐標方程為x＋y－2＝0，令y＝0，則x＝2；令x＝0，則y＝.
所以M(2，0)，N.
所以M的極坐標為(2，0)，N的極坐標為.
(2)因為M，N連線的中點P的直角坐標為，所以P的極角為θ＝，
所以直線OP的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)．
2．(2018·高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系x
7、Oy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐標方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓．
由題設知，C1是過點B(0，2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共
8、點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點．
當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0.經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點．
當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝.經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與 C2沒有公共點；當k＝時，l2與C2沒有公共點．綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2.
參數(shù)方程及其應用(綜合型)
直線和圓錐曲線的參數(shù)方程和普通方程
點的
軌跡
普通方程
參數(shù)方程
直線
y－y0＝tan
9、 α(x－x0)
(t為參數(shù))
圓
(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2
(θ為參數(shù))
橢圓
＋＝1(a>b>0)
(φ為參數(shù))
雙
曲
線
－＝1(a>0，b>0)
(φ為參數(shù))
拋
物
線
y2＝2px
(t為參數(shù))
[典型例題]
(2018·武漢調(diào)研)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點．
(1)求|AB|的值；
(2)若F為曲線C的左焦點，求·的值．
【解】 (1)由(θ為參數(shù))，消去參數(shù)θ得＋＝1.
由消去參數(shù)t得y＝2x－4.
將y＝2
10、x－4代入x2＋4y2＝16中，得17x2－64x＋176＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝，所以|AB|的值為.
(2)由(1)得，F(xiàn)(－2，0)，則
·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(x1＋2)(x2＋2)＋(2x1－4)(2x2－4)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋12＋4[x1x2－2(x1＋x2)＋12]
＝5x1x2－6(x1＋x2)＋60
＝5×－6×＋60
＝44，
所以·的值為44.
(1)有關參數(shù)方程問題的2個關鍵點
①參數(shù)方程化為普通方程的關鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點進行轉化．
11、
②利用參數(shù)方程解決問題，關鍵是選準參數(shù)，理解參數(shù)的幾何意義．
(2)利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題
經(jīng)過點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若A，B為直線l上兩點，其對應的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為t0，則以下結論在解題中經(jīng)常用到：
①t0＝.
②|PM|＝|t0|＝.
③|AB|＝|t2－t1|.
④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
[對點訓練]
1．(2018·高考全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．
(1)求C和l的直角坐標方程
12、；
(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1，2)，求l的斜率．
解：(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1.
當cos α≠0時，l的直角坐標方程為y＝tan α·x＋2－tan α，
當cos α＝0時，l的直角坐標方程為x＝1.
(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0. ①
因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，
于是直線l的斜率k＝tan α＝－2.
2．已
13、知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))．
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；
(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．
解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.
(2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝.
當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為.當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為.
極坐標方程與參
14、數(shù)方程的綜合問題(綜合型)
[典型例題]
(2018·鄭州第二次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為ρcos＝a，且l過點A，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．
(1)求曲線C1上的點到直線l的距離的最大值；
(2)過點B(－1，1)且與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M，N兩點，求|BM|·|BN|的值．
【解】 (1)由直線l過點A可得cos＝a，故a＝，則易得直線l的直角坐標方程為x＋y－2＝0.
根據(jù)點到直線的距離公式可得曲線C1上的點到直線l的距離d＝＝，其中sin φ＝，cos φ＝
15、，
所以dmax＝＝.
即曲線C1上的點到直線l的距離的最大值為.
(2)由(1)知直線l的傾斜角為，
則直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．
易知曲線C1的普通方程為＋＝1.
把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程可得t2＋7t－5＝0，設M，N兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，所以t1t2＝－，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知|BM|·|BN|＝|t1t2|＝.
解決極坐標方程與參數(shù)方程綜合問題的方法
(1)對于參數(shù)方程或極坐標方程應用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標的普通方程，這樣思路可能更加清晰．
(2)對于一些運算比較復雜的問題，用參數(shù)方程計算會比較簡捷．
(
16、3)利用極坐標方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件．
[對點訓練]
(2018·貴陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C：(α為參數(shù))，在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcos＝－1.
(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
(2)過點M(－1，0)且與直線l平行的直線l1交曲線C于A，B兩點，求點M到A，B兩點的距離之和．
解：(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1，
由ρcos＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直線l的直角坐標方程為x－y＋2＝0.
(2)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，將其代入
17、＋y2＝1中，化簡得：2t2－t－2＝0，
設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，
則t1＋t2＝，t1t2＝－1，
所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝＝.
1．(2018·益陽、湘潭調(diào)研)在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos＝.直線l與曲線C交于A，B兩點．
(1)求直線l的直角坐標方程；
(2)設點P(1，0)，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)由ρcos＝得ρcos θcos －ρsin θsin ＝，
又ρcos θ＝x，ρsin
18、 θ＝y(tǒng)，
所以直線l的直角坐標方程為x－y－1＝0.
(2)由(α為參數(shù))得曲線C的普通方程為x2＋4y2＝4，
因為P(1，0)在直線l上，故可設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，
將其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0，
所以t1·t2＝－，
故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝.
2．(2018·合肥第一次質(zhì)量檢測)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(θ為參數(shù))，在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ－2cos θ＝0.
(1)求曲線C2的直角坐標方程；
(2)若曲線C1上有一動點M，曲線C2上有一動點N，求|MN|的最
19、小值．
解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0.
因為ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，所以x2＋y2－2x＝0，
即曲線C2的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)由(1)可知，圓C2的圓心為C2(1，0)，半徑為1.
設曲線C1的動點M(3cos θ，2sin θ)，
由動點N在圓C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.
因為|MC2|＝＝，
所以當cos θ＝時，|MC2|min＝，
所以|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.
3．(2018·高考全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－
20、)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點．
(1)求α的取值范圍；
(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．
解：(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1.
當α＝時，l與⊙O交于兩點．
當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當＜1，
解得k＜－1或k＞1，
即α∈或α∈.
綜上，α的取值范圍是.
(2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，＜α＜)．
設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又點P的坐標(x，y)滿足
所以點P的軌跡
21、的參數(shù)方程是
(α為參數(shù)，＜α＜)．
4．(2018·昆明調(diào)研)在直角坐標系xOy中，已知傾斜角為α的直線l過點A(2，1)．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點．
(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；
(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直線l的斜率k.
解：(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．
曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y.
(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0，
由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos2
22、α>，
由根與系數(shù)的關系，
得t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3，
由參數(shù)的幾何意義知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，
由題意知，(t1－t2)2＝t1·t2，
則(t1＋t2)2＝5t1·t2，
得(－4cos α)2＝5×3，
解得cos2α＝，滿足cos2α>，
所以sin2α＝，tan2α＝，
所以直線l的斜率k＝tan α＝±.
5．(一題多解)(2018·鄭州第一次質(zhì)量預測)在平面直角坐標系xOy中，直線l過點(1，0)，傾斜角為α，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ＝.
(1)
23、寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；
(2)若α＝，設直線l與曲線C交于A，B兩點，求△AOB的面積．
解：(1)由題知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．
因為ρ＝，
所以ρsin2θ＝8cos θ，
所以ρ2sin2θ＝8ρcos θ，即y2＝8x.
(2)法一：當α＝時，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，
代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0，
設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝8，
t1·t2＝－16，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝8.
又點O到直線AB的距離d＝1×sin ＝，
所以S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝2.
法二：當
24、α＝時，直線l的方程為y＝x－1，
設M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0，
由根與系數(shù)的關系得
S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2.
6．(2018·陜西教學質(zhì)量檢測(一))在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(t>0，α為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin＝3.
(1)當t＝1時，求曲線C上的點到直線l的距離的最大值；
(2)若曲線C上的所有點都在直線l的下方，求實數(shù)t的取值范圍．
解：(1)由ρsin＝3得ρsin θ＋ρco
25、s θ＝3，
把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得直線l的直角坐標方程為x＋y－3＝0，
當t＝1時，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，
消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2＋y2＝1，
所以曲線C為圓，且圓心為O，則點O到直線l的距離d＝＝，
所以曲線C上的點到直線l的距離的最大值為1＋.
(2)因為曲線C上的所有點均在直線l的下方，
所以對任意的α∈R，tcos α＋sin α－3<0恒成立，
即cos(α－φ)<3恒成立，
所以<3，
又t>0，所以0
26、，t>0)．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l：ρcos＝.
(1)若l與曲線C沒有公共點，求t的取值范圍；
(2)若曲線C上存在點到l的距離的最大值為＋，求t的值．
解：(1)因為直線l的極坐標方程為ρcos＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，
所以直線l的直角坐標方程為x＋y＝2.
因為曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，t>0)，
所以曲線C的普通方程為＋y2＝1(t>0)，
由消去x得，(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，
所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0，
又t>0，所以0
27、直角坐標方程為x＋y－2＝0，
故曲線C上的點(tcos α，sin α)到l的距離d＝，
故d的最大值為，
由題設得＝＋.
解得t＝±.
又t>0，所以t＝.
8．(2018·濰坊模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＝sin θ(ρ≥0，0≤θ<π)．
(1)寫出曲線C1的極坐標方程，并求C1與C2交點的極坐標；
(2)射線θ＝β與曲線C1，C2分別交于點A，B(A，B異于原點)，求的取值范圍．
解：(1)由題意可得曲線C1的普通方程為x2＋(y－2)2＝4，
28、把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ，
聯(lián)立
得4sin θcos2θ＝sin θ，此時0≤θ<π，
①當sin θ＝0時，θ＝0，ρ＝0，得交點的極坐標為(0，0)；
②當sin θ≠0時，cos2θ＝，當cos θ＝時，θ＝，ρ＝2，得交點的極坐標為，
當cos θ＝－時，θ＝，ρ＝2，得交點的極坐標為，
所以C1與C2交點的極坐標為(0，0)，，.
(2)將θ＝β代入C1的極坐標方程中，得ρ1＝4sin β，
代入C2的極坐標方程中，得ρ2＝，
所以＝＝4cos2β，因為≤β≤，
所以1≤4cos2β≤3，所以的取值范圍為[1，3]．
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2019屆高考數(shù)學二輪復習 第二部分 突破熱點 分層教學 專項二 專題七 1 第1講 坐標系與參數(shù)方程學案
