2019版高考數(shù)學一輪復習 第九章 計數(shù)原理與概率 第59講 幾何概型學案

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1、 第59講　幾何概型 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率． 2．了解幾何概型的意義. 2017·全國卷Ⅰ，2 2017·江蘇卷，7 幾何概型主要考查事件發(fā)生的概率與構成事件區(qū)域的長度、角度、面積、體積有關的實際問題，注重考查數(shù)形結合思想和邏輯思維能力. 分值：5分 1．幾何概型 如果事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的__長度(面積或體積)__成比例，而與A的形狀和位置無關則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個特點 一是__無限性__，即在一次試驗中，基本事件的個數(shù)可以是無限的；二是__

2、等可能性__，即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”，即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的__圖形面積(體積、長度)__”與“試驗的基本事件所占的__總面積(總體積、總長度)__”之比來表示． 3．在幾何概型中，事件A的概率的計算公式 P(A)＝____. 4．幾種常見的幾何概型 (1)與長度有關的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關． (2)與面積有關的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本就構成了平面上的一個區(qū)域

3、，即可借助平面區(qū)域解決問題； (3)與體積有關的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題． 1．思維辨析(在括號內打“√”或“×”)． (1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率．(　√　) (2)相同環(huán)境下兩次隨機模擬得到的概率的估計值是相等的．(　×　) (3)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等．(　√　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　√　) 解析 (1)正確．由隨機模擬方法及幾何概型可知，該說法正確． (2)錯誤．雖然環(huán)境相同，但是因為隨機模擬得到的是某一次的頻率

4、，所以結果不一定相等． (3)正確．由幾何概型的定義知，該說法正確． (4)正確．由幾何概型的定義知，該說法正確． 2．在區(qū)間(15,25]內的所有實數(shù)中隨機抽取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)滿足17＜a＜20的概率是(　C　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 ∵a∈(15,25]，∴P(17＜a＜20)＝＝. 3．有一杯2 L的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從水中取0.1 L水，則小杯水中含有這個細菌的概率為(　C　) A．0.01　　 B．0.02 C．0.05　　 D．0.1 解析 因為取水是隨機的，而細菌在2 L水中的任何位置是等可能的，則小杯水中含有這個細菌的概率

5、為P＝＝0.05. 4．已知x是[－4,4]上的一個隨機數(shù)，則使x滿足x2＋x－2＜0的概率為(　B　) A．　　 B． C．　　 D．0 解析 x2＋x－2＜0?－2＜x＜1，則P＝＝. 5．某路公共汽車每5 min發(fā)車一次，某乘客到乘車點時刻是隨機的，則他候車時間不超過3 min的概率是(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 此題可以看成向區(qū)間[0,5]內均勻投點，求點落入[2,5]內的概率．設A＝{某乘客候車時間不超過3 min}． 則P(A)＝＝. 一　與長度、角度有關的幾何概型 (1)設線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點，點落在

6、線段l的概率為P＝. (2)當涉及射線的轉動，如扇形中有關落點區(qū)域問題時，應以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段． 【例1】 (1)(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)＝的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是　　. (2)(2016·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　B　) A．　　 B．　　　　 C．　　 D． 解析 (1)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，

7、則所求概率為＝. (2)由題意得圖： 由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為. 二　與面積有關的幾何概型 與面積有關的平面圖形的幾何概型，解題的關鍵是對所求的事件A構成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算，基本方法是數(shù)形結合． 【例2】 (1)在區(qū)間[－1,1]內隨機取兩個實數(shù)x，y，則滿足y≥x2－1的概率是(　D　) A．　　 B．　　　　 C．　　 D． (2)(2017·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　B　) A．　　 B

8、． C．　　 D． 解析 (1)如圖滿足y≥x2－1的概率為陰影部分面積與正方形面積的比， ∵ [1－(x2－1)]dx＝ (2－x2)dx＝|＝，,∴P＝＝＝.,(2)不妨設正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形的內切圓的半徑為1，面積為π.由于正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，所以黑色部分的面積為，故此點取自黑色部分的概率為＝，故選B．, 三　與體積有關的幾何概型,, 對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的也可利用其對立事件去求． 【例3】 (1)在棱長為2的正方體AB

9、CD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為__1－__. (2)在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S－APC的體積大于的概率是____. 解析 (1)正方體的體積為2×2×2＝8，以O為球心，1為半徑且在正方體內部的半球的體積為×πr3＝×π×13＝π，則點P到點O的距離大于1的概率為：1－＝1－. (2)由題意知＞，三棱錐S－ABC的高與三棱錐S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為△APC與△ABC的高，所以＝＝>，,又＝，所以＞，故所求

10、的概率為(即為長度之比)． 1．把半徑為2的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內，現(xiàn)在往該圓內任投一點，此點落在星形內的概率為(　A　) A．－1　　 B． C．－　　 D． 解析 這是一道幾何概型概率計算問題．星形弧半徑為2，所以點落在星形內的概率為P＝＝－1，故選A． 2．在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)x，使cos 的值介于0到之間的概率為(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)x，試驗的全部結果構成的區(qū)域長度為2. ∵－1≤x≤1，∴－≤x≤. 由0≤cos x≤，得≤x≤或－≤x≤－， ∴

11、≤x≤1或－1≤x≤－. 設事件A為“cos x的值介于0到之間”，則事件A發(fā)生對應的區(qū)域長度為. ∴P(A)＝＝. 3．在區(qū)間[－2,2]上隨機取一個數(shù)x，使－≤1成立的概率為____. 解析 在區(qū)間[－2,2]上隨機取一個數(shù)x，則－2≤x≤2，而不等式|x＋1|－|x－1|≤1的解集為x≤.又因為－2≤x≤2， 故－2≤x≤，所以使不等式成立的概率為P＝＝. 4．如圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點，則該點落在陰影部分的概率為____. 解析 根據(jù)題意，可以求得陰影部分的面積為 S＝(－x2)dx＝|＝，,故該點落在陰影部分的概率為P＝＝. 易錯點　幾何概型

12、概念不清, 錯因分析：對事件中的幾何元素認識不清晰，導致解題錯誤． 【例1】 (1)在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上任取一點M，則AM＜AC的概率為________． (2)在等腰Rt△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部作一條射線CM，與線段AB交于點M，則AM＜AC的概率為________． 解析 (1)這是一個與長度有關的幾何概型問題，在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM＜AC)＝P(AM＜AC′)＝＝＝. (2)這是一個與角度有關的幾何概型問題，在AB上截取AC′＝AC，則∠ACC′＝＝67.5°，而∠ACB＝90°，于是P(AM＜AC)＝P(AM＜AC′)＝＝.

13、 答案 (1)　(2) 【跟蹤訓練1】 (2016·山東卷)在[－1,1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為____.　 解析 直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交的充要條件為＜3，解之得－＜k＜，,故所求概率為P＝＝. 課時達標　第59講 [解密考綱]幾何概型在高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)． 一、選擇題 1．在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1的概率為(　B　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 區(qū)間[－2,3]的長度為3－(－2)＝5，[－2,1]的長度為1－(－2)＝3，故滿足條件的概率P＝.

14、 2．設p在[0,5]上隨機地取值，則關于x的方程x2＋px＋1＝0有實數(shù)根的概率為(　C　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 方程有實根，則Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率為＝. 3．在區(qū)間[0,2π]上任取一個數(shù)x，則使得2sin x>1的概率為(　C　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 ∵2sin x>1，x∈[0,2π]，∴x∈， ∴p＝＝，故選C． 4．如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內的概率是，則陰影部分的面積是(　D　) A．　　 B．π　　 C．2π　　

15、 D．3π 解析 設陰影部分的面積為S1，圓的面積S＝π×32＝9π，由幾何概型的概率計算公式得＝，得S1＝3π. 5．(2018·北京昌平模擬)設不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到直線y＋2＝0的距離大于2的概率是(　D　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 作出平面區(qū)域可知平面區(qū)域D是以A(4, 3)，B(4，－2)，C(－6，－2)為頂點的三角形區(qū)域，當點在△AED區(qū)域內時，點到直線y＋2＝0的距離大于2.P＝＝＝，故選D． 6．(2016·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…yn，構成n個數(shù)對(x1

16、，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　C　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 如圖，數(shù)對(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內，則由幾何概型的概率公式可得＝?π＝.故選C． 二、填空題 7．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內隨機取點M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率為____. 解析 當VM－ABCD＝時，即×1×1×h＝，解得h＝

17、，即點M到底面ABCD的距離小于，所以所求概率P＝＝. 8．記集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2，若在區(qū)域Ω1內任取一點M(x，y)，則點M落在區(qū)域Ω2的概率為____. 解析 作圓O：x2＋y2＝4，區(qū)域Ω1就是圓O內部(含邊界)，其面積為4π，區(qū)域Ω2就是圖中△AOB內部(含邊界)，其面積為2，因此所求概率為＝. 9．在區(qū)間(0,1)內隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是____. 解析 設隨機取出的兩個數(shù)分別為x，y，則0

18、為P＝＝. 三、解答題 10．甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內任何時刻到達是等可能的． (1)如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率； (2)如果甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率． 解析 (1)設甲、乙兩船到達時間分別為x，y， 則0≤x<24,0≤y<24， 且y－x>4或y－x<－4. 作出區(qū)域 設“兩船無需等待碼頭空出”為事件A， 則P(A)＝＝. (2)當甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，兩船不需等待碼頭空出，則滿

19、足x－y>2或y－x>4.設在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域 則P(B)＝＝＝. 11．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是. (1)求n的值； (2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b. ①記“2≤a＋b≤3”為事件A，求事件A的概率； ②在區(qū)間[0,2]內任取2個實數(shù)x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率． 解析 (1)由題意共有小球n＋2個，標號為2的小球n個

20、．從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是＝，解得n＝2. (2)①從袋子中不放回地隨機抽取2個球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b，則取出2個小球的可能情況共有12種結果，令滿足“2≤a＋b≤3”為事件A，則事件A共有8種結果，故P(A)＝＝； ②由①可知(a－b)2≤4，故x2＋y2>4，(x，y)可以看成平面中點的坐標，則全部結果構成的區(qū)域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，由幾何概型可得概率為 P＝＝1－. 12．甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下： 甲商場：顧客轉動如圖所示圓盤

21、，當指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為15°，邊界忽略不計)即為中獎． 乙商場：從裝有3個白球3個紅球的盒子中一次性摸出2個球(球除顏色外不加區(qū)分)，如果摸到的是2個紅球，即為中獎． 問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？ 解析 如果顧客去甲商場，試驗的全部結果構成的區(qū)域為圓盤，面積為πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為＝.所以，在甲商場中獎的概率為P1＝＝. 如果顧客去乙商場，記盒子中3個白球為a1，a2，a3,3個紅球為b1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結果，則一切可能的結果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3 )，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3 )，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15種． 摸到的2個球都是紅球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3個，所以在乙商場中獎的概率為P2＝＝，又P1