《2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線教學案 文（含解析）北師大版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第六節(jié)拋物線考綱傳真1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數(shù)形結合思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用1拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不過點F)的距離相等的點的集合叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線2拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點坐標O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點坐標FFFF離心率e1準線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下與
2、拋物線有關的結論(1)拋物線y22px(p0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|x0，也稱為拋物線的焦半徑(2)y2ax(a0)的焦點坐標為，準線方程為x.(3)設AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2.弦長|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)以弦AB為直徑的圓與準線相切通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點
3、在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(4)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切()答案(1)(2)(3)(4)2拋物線yx2的準線方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，準線方程為y1.3(教材改編)若拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A.B.CD0BM到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y，設M(x，y)，則y1，y.4(教材改編)過拋物線y24x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1x26，則|PQ|等于()A9 B8 C7 D6B
4、拋物線y24x的焦點為F(1,0)，準線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.5(教材改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過點P(2，4)，則該拋物線的標準方程為_y28x或x2y設拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0)將P(2，4)代入，分別得方程為y28x或x2y.拋物線的定義與應用【例1】設P是拋物線y24x上的一個動點，若B(3,2)，則|PB|PF|的最小值為_4如圖，過點B作BQ垂直準線于點Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值為4.拓展探究(1)
5、若將本例中的B點坐標改為(3,4)，試求|PB|PF|的最小值(2)若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1d2的最小值解(1)由題意可知點B(3,4)在拋物線的外部|PB|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點間的距離，F(xiàn)(1,0)，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值為2.(2)由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)點P到y(tǒng)軸的距離d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值為點F到直線l的距離，故d2|PF|的最小值為3，所以d1d2的最小值為31.規(guī)律方法與拋物線
6、有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決與過拋物線焦點的弦有關問題的重要途徑 (1)已知P是拋物線y24x上的一個動點，Q是圓(x3)2(y1)21上的一個動點，N(1,0)是一個定點，則|PQ|PN|的最小值為()A3B4C5D1(2)動圓過點(1,0)，且與直線x1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_. (1)A(2)y24x(1)由拋物線方程y24x，可得拋物線的焦點F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合過圓(x3)2(y1)21的圓心M作拋物線準線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.(2)設動
7、圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)【例2】(1)點M(5,3)到拋物線yax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)(2016全國卷)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準線的距離為()A2 B4 C6 D8(3)如圖所示，過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此
8、拋物線的方程為()Ay2xBy29xCy2xDy23x(1)D(2)B(3)D(1)將yax2化為x2y.當a0時，準線y，則36，a.當a0，即m1時，x1,222.從而|AB|x1x2|4.由題設知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直線AB的方程為yx7.考法2與拋物線弦長或中點有關的問題【例4】已知拋物線C：x22py(p0)，過焦點F的直線交C于A，B兩點，D是拋物線的準線l與y軸的交點(1)若ABl，且ABD的面積為1，求拋物線的方程；(2)設M為AB的中點，過M作l的垂線，垂足為N.證明：直線AN與拋物線相切解(1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp2，p
9、1，故拋物線C的方程為x22y.(2)設直線AB的方程為ykx，由得x22kpxp20，x1x22kp，x1x2p2.其中A，B.M，N.kAN.又x22py，y.拋物線x22py在點A處的切線斜率k.直線AN與拋物線相切規(guī)律方法解決直線與拋物線位置關系問題的常用方法(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1|x2|p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體
10、代入”等解法 已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：yx的一個交點的橫坐標為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|PB|，求FAB的面積. 解(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，8)，(8)22p8，2p8，拋物線方程為y28x.(2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或
11、m0(舍)，直線l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.1(2018全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過點(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則()A5B6C7D8D法一：過點(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨設M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以8.故選D法二：過點(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y10，y20，根據(jù)根與系數(shù)的關系，得x1x25，x1x24.易知F(1,0)，所
12、以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故選D2(2016全國卷)設F為拋物線C：y24x的焦點，曲線y(k0)與C交于點P，PFx軸，則k()A. B1 C D2Dy24x，F(xiàn)(1,0)又曲線y(k0)與C交于點P，PFx軸，P(1,2)將點P(1,2)的坐標代入y(k0)得k2.故選D3(2018全國卷)已知點M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點若AMB90，則k_.2法一：由題意知拋物線的焦點為(1,0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1
13、)24x，即k2x2(2k24)xk20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，則y1y2，y1y24.由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，將x1x2，x1x21與y1y2，y1y24代入，得k2.法二：設拋物線的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以yy4(x1x2)，則k.取AB的中點M(x0，y0)，分別過點A，B作準線x1的垂線，垂足分別為A，B，又AMB90，點M在準線x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M為AB的中點，所以MM平行于x軸，且y01，所以y1y22，所以k2.4(2017全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|_.6如圖，不妨設點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|AO|2.點M為FN的中點，PMOF，|MP|FO|1. 又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.- 10 -
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