2019屆高考數學二輪復習 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學案 理

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1、第1講　直線與圓 高考定位　1.直線方程、圓的方程、兩直線的平行與垂直、直線與圓的位置關系是本講高考的重點；2.考查的主要內容包括求直線(圓)的方程、點到直線的距離、直線與圓的位置關系判斷、簡單的弦長與切線問題，多為選擇題、填空題. 真 題 感 悟 1.(2018·全國Ⅲ卷)直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A.[2，6] B.[4，8] C.[，3] D.[2，3] 解析　由題意知圓心的坐標為(2，0)，半徑r＝，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝2，所以圓上的點到直線的最大距

2、離是d＋r＝3，最小距離是d－r＝.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6. 答案　A 2.(2018·天津卷)在平面直角坐標系中，經過三點(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為________________. 解析　法一　設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圓的方程為x2＋y2－2x＝0. 法二　設O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，所以kOA＝1，kAB＝＝－1，所以kOA·kAB＝－1，所以OA⊥AB.所以OB為所求圓的直徑，所以圓心坐標為(1，0)，半徑為1.

3、故所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0. 答案　x2＋y2－2x＝0 3.(2016·全國Ⅰ卷)設直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________. 解析　圓C的標準方程為x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，點C到直線y＝x＋2a的距離為d＝＝.又|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2.所以圓C的面積為π(a2＋2)＝4π. 答案　4π 4.(2018·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內的點，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D

4、.若·＝0，則點A的橫坐標為________. 解析　因為·＝0，所以AB⊥CD，又點C為AB的中點，所以∠BAD＝45°.設直線l的傾斜角為θ，直線AB的斜率為k，則tan θ＝2，k＝tan＝－3.又B(5，0)，所以直線AB的方程為y＝－3(x－5)，又A為直線l：y＝2x上在第一象限內的點，聯立解得所以點A的橫坐標為3. 答案　3 考 點 整 合 1.兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2k1＝k2，l1⊥l2k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數，則要考慮斜率是否存在. 2.兩個距離公式 (1)兩平行直線l1

5、：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝. (2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝. 3.圓的方程 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心為(a，b)，半徑為r. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心為，半徑為r＝. 4.直線與圓的位置關系的判定 (1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：dr相離. (2)代數法：將圓的方程和直線的方程聯立起來組成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0

6、相離. 熱點一　直線的方程 【例1】 (1)(2018·惠州三模)直線l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，則“m＝－1或m＝－7”是“l(fā)1∥l2”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)過點(1，2)的直線l與兩坐標軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標原點，當△OAB的面積最小時，直線l的方程為(　　) A.2x＋y－4＝0 B.x＋2y－5＝0 C.x＋y－3＝0 D.2x＋3y－8＝0 解析　(1)由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0， 得m＝－1或m＝－7

7、. 但m＝－1時，直線l1與l2重合. 當m＝－7時，l1的方程為2x－2y＝－13， 直線l2：2x－2y＝8，此時l1∥l2. ∴“m＝－7或m＝－1”是“l(fā)1∥l2”的必要不充分條件. (2)設l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，則＋＝1. ∵a>0，b>0，∴＋≥2. 則1≥2， ∴ab≥8(當且僅當＝＝，即a＝2，b＝4時，取“＝”). ∴當a＝2，b＝4時，△OAB的面積最小. 此時l的方程為＋＝1，即2x＋y－4＝0. 答案　(1)B　(2)A 探究提高　1.求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數的值后，要注意代入檢驗，排除

8、兩條直線重合的可能性. 2.求直線方程時應根據條件選擇合適的方程形式利用待定系數法求解，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意. 【訓練1】 (1)(2018·貴陽質檢)已知直線l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，則“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)已知l1，l2是分別經過A(1，1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，則直線l1的方程是________. 解析　(1)“l(fā)1⊥l2”的充要條件是“m(m－3)＋1×2＝0m＝1或

9、m＝2”，因此“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件. (2)當直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2間的距離最大. ∵A(1，1)，B(0，－1)，∴kAB＝＝2. ∴兩平行直線的斜率k＝－. ∴直線l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 答案　(1)A　(2)x＋2y－3＝0 熱點二　圓的方程 【例2】 (1)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得的弦的長為2，則圓C的標準方程為________. (2)(2017·天津卷)設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC

10、＝120°，則圓的方程為________. 解析　(1)設圓心(a>0)，半徑為a. 由勾股定理得()2＋＝a2，解得a＝2. 所以圓心為(2，1)，半徑為2， 所以圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. (2)由題意知該圓的半徑為1，設圓心C(－1，a)(a>0)，則A(0，a). 又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a). 由題意知與的夾角為120°， 得cos 120°＝＝－，解得a＝. 所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－)2＝1. 答案　(1)(x－2)2＋(y－1)2＝4　(2)(x＋1)2＋(y－)2＝1 探究提高　1.直接法求圓的方程，根

11、據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程. 2.待定系數法求圓的方程：(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值. 溫馨提醒　解答圓的方程問題，應注意數形結合，充分運用圓的幾何性質. 【訓練2】 (1)一個圓經過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________. (2)(2018·日照質檢)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓

12、C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________. 解析　(1)由題意知，橢圓頂點的坐標為(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圓心在x軸的正半軸上知圓過頂點(0，2)，(0，－2)，(4，0). 設圓的標準方程為(x－m)2＋y2＝r2， 則有解得 所以圓的標準方程為＋y2＝. (2)∵圓C的圓心在x軸的正半軸上，設C(a，0)，且a>0. 則圓心C到直線2x－y＝0的距離d＝＝，解得a＝2.∴圓C的半徑r＝|CM|＝＝3，因此圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 答案　(1)＋y2＝　(2)(x－2)2＋y2＝9 熱點三　直線(圓)與圓

13、的位置關系 考法1　圓的切線問題 【例3－1】 (1)過點P(－3，1)，Q(a，0)的光線經x軸反射后與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為______. (2)(2018·湖南六校聯考)已知⊙O：x2＋y2＝1，點A(0，－2)，B(a，2)，從點A觀察點B，要使視線不被⊙O擋住，則實數a的取值范圍是(　　) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.∪ C.∪ D. 解析　(1)點P(－3，1)關于x軸的對稱點為P′(－3，－1)， 所以直線P′Q的方程為x－(a＋3)y－a＝0. 依題意，直線P′Q與圓x2＋y2＝1相切. ∴＝1，解得a＝－. (2)易知點B在直線y＝

14、2上，過點A(0，－2)作圓的切線. 設切線的斜率為k，則切線方程為y＝kx－2， 即kx－y－2＝0. 由d＝＝1，得k＝±. ∴切線方程為y＝±x－2，和直線y＝2的交點坐標分別為，. 故要使視線不被⊙O擋住，則實數a的取值范圍是∪. 答案　(1)－　(2)B 考法2　圓的弦長相關計算 【例3－2】　(2017·全國Ⅲ卷)在直角坐標系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0，1).當m變化時，解答下列問題： (1)能否出現AC⊥BC的情況？說明理由； (2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. (1)解　不能出現AC⊥BC的

15、情況，理由如下： 設A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2滿足方程x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2.又C的坐標為(0，1)， 故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－， 所以不能出現AC⊥BC的情況. (2)證明　BC的中點坐標為，可得BC的中垂線方程為y－＝x2. 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂線方程為x＝－. 聯立 又x＋mx2－2＝0， ③ 由①②③解得x＝－，y＝－. 所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標為，半徑r＝. 故圓在y軸上截得的弦長為2＝3， 即過A，B，C三點

16、的圓在y軸上截得的弦長為定值. 探究提高　1.研究直線與圓的位置關系最常用的解題方法為幾何法，將代數問題幾何化，利用數形結合思想解題. 2.與弦長有關的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長，構成直角三角形的三邊，利用其關系來處理. 【訓練3】 (1)(2018·石家莊調研)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是(　　) A.內切 B.相交 C.外切 D.相離 (2)已知圓C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直線l：y＝a(x－3)被圓C截得的弦長

17、最短時，直線l方程為________________. 解析　(1)圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化為x2＋(y－a)2＝a2，由題意，d＝，所以有a2＝＋2，解得a＝2. 所以圓M：x2＋(y－2)2＝22，圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，所以兩圓相交. (2)圓C的標準方程為(x－4)2＋(y－1)2＝9， ∴圓C的圓心C(4，1)，半徑r＝3. 又直線l：y＝a(x－3)過定點P(3，0)， 則當直線y＝a(x－3)與直線CP垂直時，被圓C截得的弦長最短.因此a·kCP＝a·＝－1，∴a＝－1. 故所求直線l的方程為y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0. 答案　

18、(1)B　(2)x＋y－3＝0 1.解決直線方程問題應注意： (1)要注意幾種直線方程的局限性.點斜式方程不能表示與x軸垂直的直線、截距式方程不能表示過原點和垂直于坐標軸的直線、兩點式方程不能表示與坐標軸垂直的直線. (2)求直線方程要考慮直線斜率是否存在. (3)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性. 2.求圓的方程兩種主要方法： (1)直接法：利用圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，數形結合直接求出圓心坐標、半徑，進而求出圓的方程. (2)待定系數法：先設出圓的方程，再由條件構建系數滿足的

19、方程(組)求得各系數，進而求出圓的方程. 3.直線與圓相關問題的兩個關鍵點 (1)三個定理：切線的性質定理、切線長定理和垂徑定理.(2)兩個公式：點到直線的距離公式d＝，弦長公式|AB|＝2(弦心距d). 一、選擇題 1.(2016·全國Ⅱ卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A.－ B.－ C. D.2 解析　圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0化為標準方程為(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圓心為(1，4).由題意，得d＝＝1，解得a＝－. 答案　A 2.(2018·昆明診斷)已知命題p：“m＝－1”，命

20、題q：“直線x－y＝0與直線x＋m2y＝0互相垂直”，則命題p是命題q的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要 解析　“直線x－y＝0與直線x＋m2y＝0互相垂直”的充要條件是1×1＋(－1)·m2＝0m＝±1. ∴命題p是命題q的充分不必要條件. 答案　A 3.過點(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　) A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0 解析　依題意知，點(3，1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，且為切點.∵

21、圓心(1，0)與切點(3，1)連線的斜率為，所以切線的斜率k＝－2.故過點(3，1)的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0. 答案　B 4.(2018·衡水中學模擬)已知圓C：(x－1)2＋y2＝25，則過點P(2，－1)的圓C的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是(　　) A.10 B.9 C.10 D.9 解析　易知P在圓C內部，最長弦為圓的直徑10， 又最短弦所在直線與最長弦垂直，且|PC|＝， ∴最短弦的長為2＝2＝2， 故所求四邊形的面積S＝×10×2＝10. 答案　C 5.(2018·湖南師大附中聯考)在平面直角坐標系x

22、Oy中，點A(0，3)，直線l：y＝2x－4，設圓C的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，則圓心C的橫坐標的取值范圍為(　　) A. B.[0，1] C. D. 解析　設點M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，∴＝2，化簡得x2＋(y＋1)2＝4.∴點M的軌跡為以(0，－1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D.又∵點M在圓C上，∴圓C與圓D的關系為相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|＝，∴1≤a2＋(2a－3)2≤9，解之得0≤a≤. 答案　A 二、填空題 6.過點(1，1)的直線l與圓(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B兩點，當

23、|AB|＝4時，直線l的方程為________. 解析　易知點(1，1)在圓內，且直線l的斜率k存在，則直線l的方程為y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0. 又|AB|＝4，r＝3， ∴圓心(2，3)到l的距離d＝＝. 因此＝，解得k＝－. ∴直線l的方程為x＋2y－3＝0. 答案　x＋2y－3＝0 7.(2018·濟南調研)已知拋物線y＝ax2(a>0)的準線為l，若l與圓C：(x－3)2＋y2＝1相交所得弦長為，則a＝________. 解析　由y＝ax2，得x2＝，∴準線l的方程為y＝－.又l與圓C：(x－3)2＋y2＝1相交的弦長為，∴＋＝1，則a＝. 答案　

24、 8.某學校有2 500名學生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數分別為a，b，且直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，則圓C的方程為________. 解析　由題意，＝＝，∴a＝40，b＝24， ∴直線ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0， A(1，－1)到直線的距離為＝， ∵直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，∴r＝， ∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝

25、. 答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝ 三、解答題 9.已知點A(3，3)，B(5，2)到直線l的距離相等，且直線l經過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點，求直線l的方程. 解　解方程組得即l1與l2的交點P(1，2). ①若點A，B在直線l的同側，則l∥AB. 而kAB＝＝－， 由點斜式得直線l的方程為y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. ②若點A，B分別在直線l的異側， 則直線l經過線段AB的中點， 由兩點式得直線l的方程為＝， 即x－6y＋11＝0. 綜上所述，直線l的方程為x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0. 10.已知圓C：

26、x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值時點P的坐標. 解　圓C的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝2， ∴圓心C(－1，2)，半徑r＝. 由|PM|＝|PO|，得|PO|2＝|PM|2＝|PC|2－|CM|2， ∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2. 整理，得2x1－4y1＋3＝0， 即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上. 當|PM|取最小值時，|PO|取最小值， 此時直線PO⊥l， ∴直線PO的方程為2x＋y＝0. 解方程組得 故使|PM|取得最小值時，

27、點P的坐標為. 11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2，4). (1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程； (2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且|BC|＝|OA|，求直線l的方程. 解　圓M的標準方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25， 所以圓心M(6，7)，半徑為5， (1)由圓心N在直線x＝6上，可設N(6， y0). 因為圓N與x軸相切，與圓M外切， 所以0