2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何學(xué)案 理

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1、 第七章 立體幾何 第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀(guān)圖 1．簡(jiǎn)單幾何體 (1)多面體的結(jié)構(gòu)特征 名稱(chēng) 棱柱 棱錐 棱臺(tái) 圖形 底面 互相平行且相等 多邊形 互相平行 側(cè)棱 平行且相等 相交于一點(diǎn)，但不一定相等 延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn) 側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形 (2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 名稱(chēng) 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球 圖形 母線(xiàn) 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點(diǎn) 延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn) 軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 側(cè)面展開(kāi)圖 矩形 扇形 扇環(huán)

2、 2．直觀(guān)圖 (1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法． (2)規(guī)則： ①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀(guān)圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． ②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段，直觀(guān)圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度在直觀(guān)圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半． 3．三視圖 (1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀(guān)察幾何體畫(huà)出的輪廓線(xiàn)． 說(shuō)明：正視圖也稱(chēng)主視圖，側(cè)視圖也稱(chēng)左視圖． (2)作、看三視圖的3原則 ①位置原則： ②度量原則：長(zhǎng)對(duì)正、

3、高平齊、寬相等(即正俯同長(zhǎng)、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬)． ③虛實(shí)原則：輪廓線(xiàn)——現(xiàn)則實(shí)、隱則虛． 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(　　) (2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　　) (3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．(　　) (4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱．(　　) (5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．用一個(gè)平行于水平面的平面去截球，得到如

4、圖所示的幾何體，則它的俯視圖是(　　) 解析：選B　俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓，所以?xún)?nèi)圓是虛線(xiàn)，故選B. 3．若一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個(gè)三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)分別為(　　) A．2,2　　　　　　　 　B．2，2 C．4,2 D．2,4 解析：選D　由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2，故底面邊長(zhǎng)為4，故選D. 4．(教材習(xí)題改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD -A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是______． 答案：五棱柱　三棱柱 5．利用斜二測(cè)畫(huà)法得到

5、的 ①三角形的直觀(guān)圖一定是三角形； ②正方形的直觀(guān)圖一定是菱形； ③等腰梯形的直觀(guān)圖可以是平行四邊形； ④菱形的直觀(guān)圖一定是菱形． 以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________． 解析：由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀(guān)圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀(guān)圖也不一定是菱形，④也錯(cuò)誤，故結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為1. 答案：1 　　　　 [考什么·怎么考] 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，很少單獨(dú)考查.多作為載體與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低. 1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)

6、幾何體一定是(　　) A．圓柱　　　　　　　　 　B．圓錐 C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體 解析：選C　截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體． 2．給出下列幾個(gè)命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B?、馘e(cuò)誤，只有這兩點(diǎn)的連線(xiàn)平行于軸時(shí)才是母線(xiàn)；②正確；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相

7、等． 3．給出下列命題： ①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； ②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直； ③在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體． 其中正確命題的序號(hào)是________． 解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；③正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線(xiàn)平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個(gè)面都是直

8、角三角形． 答案：②③④ [怎樣快解·準(zhǔn)解] 空間幾何體概念辨析題的常用方法 定義法 緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線(xiàn)面關(guān)系或增加線(xiàn)、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定． 反例法 通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可. 　　　　 [考什么·怎么考] 單獨(dú)考查空間幾何體的直觀(guān)圖的題目很少，多與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低. 1.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是(　　) 解析：選A　由直觀(guān)圖可知，在直觀(guān)圖中多邊

9、形為正方形，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2.故選A. 2．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，那么△ABC的直觀(guān)圖△A′B′C′的面積為_(kāi)_______． 解析：如圖，圖①、圖②分別表示△ABC的實(shí)際圖形和直觀(guān)圖． 從圖②可知，A′B′＝AB＝2， O′C′＝OC＝，C′D′＝O′C′sin 45°＝×＝. 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝. 答案： 3.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的某平面圖形的直觀(guān)圖如圖，邊AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為_(kāi)_______ cm2. 解析：依

10、題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底的長(zhǎng)分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2. 答案：8 [怎樣快解·準(zhǔn)解] 1．原圖形與直觀(guān)圖中的“三變”與“三不變” (1)“三變” (2)“三不變” 2．原圖形與直觀(guān)圖面積的關(guān)系 按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀(guān)圖與原圖形面積的關(guān)系： (1)S直觀(guān)圖＝S原圖形；(2)S原圖形＝2S直觀(guān)圖． 　　　　 [題點(diǎn)全練] 角度(一)　已知幾何體，識(shí)別三視圖 1.(2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A，E

11、，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選C　如圖所示，過(guò)點(diǎn)A，E，C1的截面為AEC1F，則剩余幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)C中的圖形． [題型技法]　識(shí)別三視圖的步驟 (1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置； (2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖； (3)被遮住的輪廓線(xiàn)應(yīng)為虛線(xiàn)，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線(xiàn)是它們的分界線(xiàn)；對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線(xiàn)位置． 角度(二)　已知三視圖，判斷幾何體 2．(2017·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則

12、該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為(　　) A．3　　　　　　　　　 　B．2 C．2 D．2 解析：選B　在正方體中還原該四棱錐如圖所示， 從圖中易得最長(zhǎng)的棱為 AC1＝＝＝2. [題型技法]　由三視圖確定幾何體的3步驟 熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是三視圖還原幾何體的基礎(chǔ)，在明確三視圖畫(huà)法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決此類(lèi)問(wèn)題： 角度(三)　已知幾何體三視圖中的某兩個(gè)視圖，確定另外一個(gè)視圖 3．如圖，一個(gè)三棱柱的正視圖和側(cè)視圖分別是矩形和正三角形，則這個(gè)三棱柱的俯視圖為(　　) 解析：選D　由正視圖和側(cè)視圖可知，這是一個(gè)水平放置的正三棱柱．故選D. [

13、題型技法]　 由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余視圖的方法 解決此類(lèi)問(wèn)題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀(guān)圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn)． [題“根”探求] 根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，常見(jiàn)的有以下幾類(lèi) 三視圖的形狀 對(duì)應(yīng)的幾何體 三個(gè)三角形 三棱錐 兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形 四棱錐 兩個(gè)三角形，一個(gè)圓 圓錐 一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形 三棱柱 三個(gè)四邊形 四棱柱 兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓 圓柱 [沖關(guān)演練] 1．(2018·惠州調(diào)研)如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個(gè)三棱錐，得

14、到圖②中的幾何體，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 解析：選B　從幾何體的左側(cè)看，對(duì)角線(xiàn)AD1在視線(xiàn)范圍內(nèi)，故畫(huà)為實(shí)線(xiàn)，右側(cè)面的棱C1F不在視線(xiàn)范圍內(nèi)，故畫(huà)為虛線(xiàn)，且上端點(diǎn)位于幾何體上底面邊的中點(diǎn)．故選B 2.(2018·石家莊質(zhì)檢)一個(gè)三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)(左)視圖可能為(　　) 解析：選D　由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D. 3.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干

15、個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10　　　　　　　　　 　B．12 C．14 D．16 解析：選B　由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，這些梯形的面積之和為×2＝12，故選B. (一)普通高中適用作業(yè) A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快 1.如圖，△A′B′O′是利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的△ABO的直觀(guān)圖，已知A′B′∥y′軸，O′B′＝4，且△ABO的面積為16，過(guò)A′作A′C′⊥x′軸，則A′C′的長(zhǎng)為(　　

16、) A．2　　　　　　　　 　B. C．16 D．1 解析：選A　因?yàn)锳′B′∥y′軸，所以△ABO中，AB⊥OB. 又因?yàn)椤鰽BO的面積為16，所以AB·OB＝16. 因?yàn)镺B＝O′B′＝4，所以AB＝8，所以A′B′＝4. 因?yàn)锳′C′⊥O′B′于C′，所以B′C′＝A′C′， 所以A′C′＝4·sin 45°＝2，故選A. 2．一幾何體的直觀(guān)圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是(　　) 解析：選B　由直觀(guān)圖可知，該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)截角三棱柱組成．從上往下看，外層輪廓線(xiàn)是一個(gè)矩形，矩形內(nèi)部是一條水平線(xiàn)段連接兩個(gè)三角形，故選B. 3．若某幾何體的三視

17、圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀(guān)圖可以是(　　) 解析：選D　由三視圖知該幾何體的上半部分是一個(gè)三棱柱，下半部分是一個(gè)四棱柱．故選D. 4.在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖為(　　) 解析：選D　由正視圖與俯視圖知，幾何體是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓錐的組合體，故側(cè)視圖為D. 5.如圖，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P -BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為(　　) A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 解析：選A　根據(jù)題意，三棱錐P -BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的

18、底面邊長(zhǎng)、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)、高為正四棱柱的高．故三棱錐P -BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1∶1. 6．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是(　　) A．2 B. C. D．3 解析：選D　根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀(guān)圖如圖所示，則體積V＝××2×x＝3，解得x＝3，故選D. 7．設(shè)有以下四個(gè)命題： ①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體； ②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體； ③直四棱柱是直平行六面體； ④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)． 其中真命題的序號(hào)是________．

19、 解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯(cuò)誤的；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅危拭}③是錯(cuò)誤的；命題④由棱臺(tái)的定義知是正確的． 答案：①④ 8．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線(xiàn)長(zhǎng)為12 cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______cm. 解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C. 在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5 (cm)． ∴AB＝＝13(cm)． 答案：13 9．已知正四棱錐V-ABCD中，底面面積為16，一條側(cè)棱的長(zhǎng)為2，則該棱錐的高為

20、________． 解析：如圖，取正方形ABCD的中心O，連接VO，AO，則VO就是正四棱錐V-ABCD的高． 因?yàn)榈酌婷娣e為16，所以AO＝2. 因?yàn)橐粭l側(cè)棱長(zhǎng)為2. 所以VO＝＝＝6. 所以正四棱錐V-ABCD的高為6. 答案：6 10．已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；②有三個(gè)面為直角三角形，有一個(gè)面為等腰三角形的四面體；③兩個(gè)面都是等腰直角三角形的四面體． 其中正確命題的序號(hào)是________． 解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀(guān)圖

21、為如圖所示的四棱柱ABCD-A1B1C1D1，當(dāng)選擇的4個(gè)點(diǎn)是B1，B，C，C1時(shí)，可知①正確；當(dāng)選擇的4個(gè)點(diǎn)是B，A，B1，C時(shí)，可知②正確；易知③不正確． 答案：①② B級(jí)——中檔題目練通抓牢 1．用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：選C　畫(huà)出直觀(guān)圖可知，共需要6塊． 2.將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選B　如圖所示，由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體是由長(zhǎng)方體

22、ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐B1-A1BC1得到的，故其側(cè)視圖為選項(xiàng)B. 3．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是(　　) A．3 B．2 C．6 D．8 解析：選C　四棱錐如圖所示，取AD的中點(diǎn)N，BC的中點(diǎn)M，連接PM，PN，則PN＝，PM＝3，S△PAD＝×4×＝2， S△PAB＝S△PDC＝×2×3＝3， S△PBC＝×4×3＝6. 所以四個(gè)側(cè)面中面積最大的是6. 4．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個(gè)視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 解析：由

23、題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長(zhǎng)方體中形狀如圖所示(圖中棱錐P-ABC)，利用長(zhǎng)方體模型可知，此三棱錐的四個(gè)面全部是直角三角形． 答案：4 5.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線(xiàn)長(zhǎng)為4 m，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處．若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為4 m，則圓錐底面圓的半徑等于________ m. 解析：把圓錐側(cè)面沿過(guò)點(diǎn)P的母線(xiàn)展開(kāi)成如圖所示的扇形， 由題意OP＝4，PP′＝4， 則cos∠POP′＝＝－，所以∠POP′＝. 設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝×4，所以r＝. 答案： 6．已知正三棱錐V -ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯

24、視圖如圖所示． (1)畫(huà)出該三棱錐的直觀(guān)圖； (2)求出側(cè)視圖的面積． 解：(1)直觀(guān)圖如圖所示． (2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2， ∴側(cè)視圖中VA＝ ＝2， ∴S△VBC＝×2×2＝6. 7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6 cm 的全等的等腰直角三角形． (1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫(huà)出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積； (2)求PA. 解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對(duì)角線(xiàn))邊長(zhǎng)為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2. (2)由側(cè)視圖可求得PD＝＝

25、＝6. 由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD， 所以在Rt△APD中， PA＝＝ ＝6 cm. C級(jí)——重難題目自主選做 1．(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線(xiàn)部分是(　　) A．圓弧 B．拋物線(xiàn)的一部分 C．橢圓的一部分 D．雙曲線(xiàn)的一部分 解析：選D　根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線(xiàn)部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線(xiàn)部分是雙曲線(xiàn)的一部分，故選D. 2.一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線(xiàn)爬行到頂點(diǎn)C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€(xiàn)

26、的正視圖的是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 解析：選D　由點(diǎn)A經(jīng)正方體的表面，按最短路線(xiàn)爬行到達(dá)頂點(diǎn)C1的位置，共有6種路線(xiàn)(對(duì)應(yīng)6種不同的展開(kāi)方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線(xiàn)，且AC1會(huì)經(jīng)過(guò)BB1的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線(xiàn)，且AC1會(huì)經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的正視圖為④.而其他幾種展開(kāi)方式對(duì)應(yīng)的正視圖在題中沒(méi)有出現(xiàn)．故選D. (二)重點(diǎn)高中適用作業(yè) A級(jí)——保分題目巧做快做 1.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)

27、家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀(guān)圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀(guān)性所作的輔助線(xiàn)．當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是(　　) 解析：選B　根據(jù)直觀(guān)圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，俯視圖為B，故選B. 2.已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N，Q，P分別在線(xiàn)段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P為頂點(diǎn)的三棱錐P-MNQ的俯視圖不可能是(　　)

28、 解析：選C　當(dāng)M與F重合，N與G重合，Q與E重合，P與B1重合時(shí)，三棱錐P-MNQ的俯視圖為A；當(dāng)M，N，Q，P是所在線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-MNQ的俯視圖為B；當(dāng)M，N，Q，P位于所在線(xiàn)段的非端點(diǎn)位置時(shí)，存在三棱錐P-MNQ，使其俯視圖為D.故選C. 3.已知一個(gè)三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為(　　) 解析：選C　由已知條件得直觀(guān)圖如圖所示，PC⊥底面ABC，正視圖是直角三角形，中間的線(xiàn)是看不見(jiàn)的線(xiàn)PA形成的投影，應(yīng)為虛線(xiàn)，故選C. 4．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，它的俯視圖

29、的直觀(guān)圖是如圖2所示的矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝6，O1C1＝2，則該幾何體的側(cè)面積為(　　) A．48　　　　　　　　 　B．64 C．96 D．128 解析：選C　由題意可知該幾何體是一個(gè)直四棱柱，∵它的俯視圖的直觀(guān)圖是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C1＝2， ∴它的俯視圖是邊長(zhǎng)為6的菱形，∵棱柱的高為4， 故該幾何體的側(cè)面積為4×6×4＝96. 5．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是(　　) A．3　　　　　　　　　　 　B．2 C．6 D．8 解析：選C　四棱錐如圖所示，取AD的中點(diǎn)

30、N，BC的中點(diǎn)M，連接PM，PN，則PN＝，PM＝3，S△PAD＝×4×＝2， S△PAB＝S△PDC＝×2×3＝3， S△PBC＝×4×3＝6. 所以四個(gè)側(cè)面中面積最大的是6. 6．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線(xiàn)長(zhǎng)為12 cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______cm. 解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C. 在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5 (cm)． ∴AB＝＝13(cm)． 答案：13 7．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個(gè)視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)____

31、___． 解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長(zhǎng)方體中形狀如圖所示(圖中棱錐P-ABC)，利用長(zhǎng)方體模型可知，此三棱錐的四個(gè)面全部是直角三角形． 答案：4 8.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線(xiàn)長(zhǎng)為4 m，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處．若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為4 m，則圓錐底面圓的半徑等于________ m. 解析：把圓錐側(cè)面沿過(guò)點(diǎn)P的母線(xiàn)展開(kāi)成如圖所示的扇形， 由題意OP＝4，PP′＝4， 則cos∠POP′＝＝－，所以∠POP′＝. 設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝×4，所以r＝. 答案： 9.如圖是一個(gè)幾何體的正

32、視圖和俯視圖． (1)試判斷該幾何體是什么幾何體； (2)畫(huà)出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積； (3)求出該幾何體的體積． 解：(1)由題意可知該幾何體為正六棱錐． (2)其側(cè)視圖如圖所示，其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長(zhǎng)是俯視圖中的正六邊形對(duì)邊的距離，即BC＝a，AD的長(zhǎng)是正六棱錐的高，即AD＝a， ∴該平面圖形的面積 S＝·a·a＝a2. (3)V＝×6×a2×a＝a3. 10．已知正三棱錐V -ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示． (1)畫(huà)出該三棱錐的直觀(guān)圖； (2)求出側(cè)視圖的面積． 解：(1)直觀(guān)圖如圖所示． (2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝

33、2， ∴側(cè)視圖中VA＝ ＝2， ∴S△VBC＝×2×2＝6. B級(jí)——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做 1．(2018·邵陽(yáng)模擬)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的六條棱中，長(zhǎng)度最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)是(　　) A．2　　　　　　　　　 　B．2 C．2 D．4 解析：選C　由三視圖可知該四面體的直觀(guān)圖如圖所示． 其中AC＝2，PA＝2，△ABC中，邊AC上的高為2，所以BC＝＝2，AB＝＝4，而PB＝＝＝2，PC＝＝2，因此在四面體的六條棱中，長(zhǎng)度最長(zhǎng)的是BC，其長(zhǎng)為2，選C. 2．(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線(xiàn)部分是(　　) A．圓弧

34、 B．拋物線(xiàn)的一部分 C．橢圓的一部分 D．雙曲線(xiàn)的一部分 解析：選D　根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線(xiàn)部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線(xiàn)部分是雙曲線(xiàn)的一部分，故選D. 3.一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線(xiàn)爬行到頂點(diǎn)C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€(xiàn)的正視圖的是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 解析：選D　由點(diǎn)A經(jīng)正方體的表面，按最短路線(xiàn)爬行到達(dá)頂點(diǎn)C1的位置，共有6種路線(xiàn)(對(duì)應(yīng)6種不同的展開(kāi)方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個(gè)平

35、面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線(xiàn)，且AC1會(huì)經(jīng)過(guò)BB1的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線(xiàn)，且AC1會(huì)經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的正視圖為④.而其他幾種展開(kāi)方式對(duì)應(yīng)的正視圖在題中沒(méi)有出現(xiàn)．故選D. 4．某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個(gè)三角形均為直角三角形，則xy的最大值為_(kāi)_______． 解析：由三視圖知三棱錐如圖所示， 底面ABC是直角三角形，AB⊥BC， PA⊥平面ABC，BC＝2， PA2＋y2＝102，(2)2＋PA2＝x2， 因此xy＝x ＝x≤＝64，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝128－x2，即x＝

36、8時(shí)取等號(hào)，因此xy的最大值是64. 答案：64 5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6 cm 的全等的等腰直角三角形． (1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫(huà)出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積； (2)求PA. 解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對(duì)角線(xiàn))邊長(zhǎng)為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2. (2)由側(cè)視圖可求得PD＝＝＝6. 由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD， 所以在Rt△APD中， PA＝＝ ＝6 cm. 6．四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面

37、分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H. (1)求四面體ABCD的體積； (2)證明：四邊形EFGH是矩形． 解：(1)由題意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∵BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC， ∴四面體ABCD的體積V＝××2×2×1＝. (2)證明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，又平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH， ∴FG∥EH. 同理，EF∥AD，HG∥AD， ∴EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形． ∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC， ∴EF⊥FG，∴四邊

38、形EFGH是矩形． 第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積 1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面展開(kāi)圖 側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l 2．空間幾何體的表面積與體積公式 名稱(chēng) 幾何體　　 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)

39、在括號(hào)中打“√”或“×”) (1)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(　　) (2)錐體的體積等于底面面積與高之積．(　　) (3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差．(　　) (4)球的體積之比等于半徑之比的平方．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．一個(gè)球的表面積是16π，那么這個(gè)球的體積為(　　) A.π　　　　　　　　 　B.π C．16π D．24π 解析：選B　設(shè)球的半徑為R，則由4πR2＝16π，解得R＝2，所以這個(gè)球的體積為πR3＝π. 3．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該

40、幾何體的表面積為(　　) A．20π B．24π C．28π D．32π 解析：選C　由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長(zhǎng)為c，圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 4．(教材習(xí)題改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______． 解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為2，高為的三角形，正視圖的長(zhǎng)為三棱柱的高，故h＝3，所以該幾何體的體積V＝S·h＝×3＝3. 答案：3

41、5．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為_(kāi)_______． 解析：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， ∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1. ∴VA-B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1. 答案：1 　　　　 空間幾何體的表面積在高考中的考查多以三視圖的形式給出，考查的載體多為柱體、錐體、球和簡(jiǎn)單組合體.題型為選擇題或填空題，難度中等. 求表面積問(wèn)題的思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何問(wèn)題的主要出發(fā)點(diǎn). [典題領(lǐng)悟] 1

42、．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．18＋36　　　　　　　 　B．54＋18 C．90 D．81 解析：選B　由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18. 2.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選B　

43、如圖，該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2. 又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π， ∴r2＝4，r＝2，故選B. [解題師說(shuō)] 1．三類(lèi)幾何體表面積的求法 求多面體的表面積 只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積 求旋轉(zhuǎn)體的表面積 可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線(xiàn)長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系 求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí) 通常將所給幾何體分割成基本的

44、柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積 2．避免兩類(lèi)失誤 (1)因?qū)缀误w的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)，混淆幾何體側(cè)面的邊長(zhǎng)與三視圖中有關(guān)數(shù)據(jù)的關(guān)系而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．一定要熟記三視圖中的數(shù)據(jù)反應(yīng)的是空間幾何體的長(zhǎng)、寬、高，而不一定是空間幾何體的棱長(zhǎng)．(如典題領(lǐng)悟第1題，易誤認(rèn)為側(cè)棱長(zhǎng)為6而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤) (2)在審視組合體的圖形時(shí)，圖形結(jié)構(gòu)特征審視不準(zhǔn)致誤．(如典題領(lǐng)悟第2題中的幾何體是一個(gè)半球和一個(gè)半圓柱的組合體，求表面積時(shí)，應(yīng)去掉兩幾何體的接觸面) [沖關(guān)演練] 1．(2018·沈陽(yáng)質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)

45、線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積是(　　) A．36＋6 B．36＋3 C．54 D．27 解析：選A　由三視圖知該幾何體的表面積為S＝2××(2＋4)×3＋2×3＋4×3＋2×3×＝36＋6. 2．(2018·湖南五市十校聯(lián)考)如圖，小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．4π＋96 B．(2＋6)π＋96 C．(4＋4)π＋64 D．(4＋4)π＋96 解析：選D　由三視圖知，該幾何體為一個(gè)圓錐和一個(gè)正方體的組合體，正方體的棱長(zhǎng)為4，圓錐的高為4，底面半徑為2，所以該幾何體的表面積S＝6×4

46、2＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96. 3．(2018·安徽江南十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖的下半部分曲線(xiàn)為半圓弧，則該幾何體的表面積為(　　) A．4π＋16＋4 B．5π＋16＋4 C．4π＋16＋2 D．5π＋16＋2 解析：選D　由三視圖可知該幾何體是一個(gè)正三棱柱和一個(gè)半圓柱的組合體，三棱柱的兩個(gè)側(cè)面面積之和為2×4×2＝16，兩個(gè)底面面積之和為2××2×＝2；半圓柱的側(cè)面積為π×4＝4π，兩個(gè)底面面積之和為2××π×12＝π，所以幾何體的表面積為5π＋16＋2，故選D. 　　　　 高考中空間幾何體體積的考查是幾何體相關(guān)問(wèn)題中出現(xiàn)頻率較高

47、的，主要考查由三視圖求相關(guān)幾何體的體積.高考中主要以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度中等. [典題領(lǐng)悟] 1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π　　　　　　　　 　B．63π C．42π D．36π 解析：選B　法一：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V＝π×32×10－×π×32×6＝63π. 法二：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一

48、半所得，其體積等價(jià)于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以它的體積V＝π×32×7＝63π. 2．(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3 解析：選A　由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個(gè)底面為直角邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，故該幾何體的體積V＝××π×12×3＋××××3＝＋1. 3．(2017·山東高考)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_(kāi)_______． 解析：該幾何

49、體由一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1的長(zhǎng)方體和兩個(gè)底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成， 故該幾何體的體積V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. 答案：2＋ [解題師說(shuō)] 1．處理體積問(wèn)題的思路 2．求體積的常用方法 直接法 對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算． 割補(bǔ)法 首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算． 等體積法 選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換. [沖關(guān)演練] 1．(2017

50、·北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(　　) A．60 B．30 C．20 D．10 解析：選D　如圖，把三棱錐A-BCD放到長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5,3,4，△BCD為直角三角形，直角邊分別為5和3，三棱錐A-BCD的高為4，故該三棱錐的體積V＝××5×3×4＝10. 2．一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.＋π　　　　　　 　B.＋π C.＋π D．1＋π 解析：選C　由三視圖知，四棱錐是底面邊長(zhǎng)為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為×12×1＋×

51、×3＝＋π. 3．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D．3 解析：選A　根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示．則該幾何體的體積是V幾何體＝V三棱柱＋V三棱錐＝×2×1×1＋××2×1×1＝. 　　　 [題點(diǎn)全練] 角度(一)　球與柱體的切、接問(wèn)題 1．已知直三棱柱ABC-A1 B1 C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1 =12，則球O的半徑為( ) A.　　　　　　　 　B．2 C. D．3 解析：選C　如圖，由球心作平面ABC的

52、垂線(xiàn)，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝BC＝＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝. 2.(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線(xiàn)均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 解析：設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉與圓柱O1O2的上、下底面及母線(xiàn)均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以＝＝. 答案： 角度(二)　球與錐體的切、接問(wèn)題 3．已知正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為(　　) A. B.－1 C. D.－1 解析：選D　

53、如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接PE， ∵△ABC是正三角形， ∴AE是BC邊上的高和中線(xiàn)，D為△ABC的中心． ∵AB＝2， ∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝. ∴S表＝3××2×＋3＝3＋3. ∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝×3×1＝. 設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，三棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐， 則r＝＝－1. 4．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐S -ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S -ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_____

54、__． 解析：如圖，連接AO，OB， ∵SC為球O的直徑， ∴點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)， ∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC， ∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴AO⊥平面SCB， 設(shè)球O的半徑為R， 則OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VS -ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO ＝××AO， 即9＝××R，解得 R＝3， ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π. 答案：36π [題“根”探求] 1．解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題的思維流程是： 2．有

55、關(guān)幾何體外接球、內(nèi)切球計(jì)算問(wèn)題的常用結(jié)論 (1)球(半徑為R)與正方體(設(shè)棱長(zhǎng)為a)有以下三種特殊情形： ①球內(nèi)切于正方體，此時(shí)2R＝a； ②球與正方體的棱相切，此時(shí)2R＝a； ③球外接于正方體，此時(shí)2R＝a. (2)長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于其外接球的直徑，即＝2R. (3)棱長(zhǎng)為a的正四面體，斜高為a，高為a，其外接球的半徑為a，內(nèi)切球的半徑為a. (4)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球： ①如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，那么可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心； ②如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，那么可

56、以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心． (5)求一個(gè)棱錐內(nèi)切球的半徑，可以根據(jù)球心到各個(gè)面的距離相等以及棱錐的體積列式得出．也可以先找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決，作截面時(shí)主要抓住棱錐過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作． (6)求一個(gè)幾何體的外接球的半徑，可以結(jié)合球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等列式得出． (7)球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作軸截面解題，球與多面體的組合通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”)作截面解題．此類(lèi)問(wèn)題在計(jì)算時(shí)，經(jīng)常用到截面圓．如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任一點(diǎn)，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝O

57、O′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2. [沖關(guān)演練] 1．(2017·天津高考)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_(kāi)_______． 解析：由正方體的表面積為18，得正方體的棱長(zhǎng)為. 設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R＝3，R＝， 所以這個(gè)球的體積為πR3＝×＝. 答案： 2．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于________． 解析：該幾何體為直三棱柱，底面是邊長(zhǎng)分別為6,8,10的直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為12，故能得到的最大球的半徑等于底面直角三角形內(nèi)切圓的半徑，

58、其半徑為r＝＝＝2. 答案：2 3．已知一個(gè)四面體的一條邊長(zhǎng)為，其余邊長(zhǎng)均為2，則此四面體的外接球的半徑為_(kāi)_______． 解析：由題意畫(huà)出幾何體的圖形如圖所示，取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，DO，則AO⊥BC，DO⊥BC. ∵AO∩DO＝O， ∴BC⊥平面AOD. 又∵OA＝OD＝，AD＝， ∴OA2＋OD2＝AD2，∴AO⊥DO， ∴該四面體的外接球的球心在A(yíng)D的中點(diǎn)E與點(diǎn)O的連線(xiàn)上，設(shè)球心為G，球的半徑為R， 即GA＝GB＝GC＝GD， 又G在線(xiàn)段OE上， ∴AG2－AE2＝EG2，BG2－BO2＝GO2，EO＝EG＋GO， ∴＝＋，解得R＝， 故此四面體的外接

59、球的半徑為. 答案： (一)普通高中適用作業(yè) A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快 1．(2018·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(　　) A．48＋π　　　　　　　 　B．48－π C．48＋2π D．48－2π 解析：選A　該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A. 2．如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π

60、 B．18π C．20π D．28π 解析：選A　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π. 3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A．14斛 B．22

61、斛 C．36斛 D．66斛 解析：選B　設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝，所以米堆的體積為V＝×π×r2×5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米約有÷1.62≈22(斛)． 4．一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　由三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐的體積為V1＝××1×1×1＝，剩余部分的體積V2＝13－＝.所以＝＝. 5．一個(gè)多面體的直觀(guān)圖和三視圖如圖所示，點(diǎn)M是

62、AB上的動(dòng)點(diǎn)，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF-BCE的體積為V2，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由三視圖可知多面體ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長(zhǎng)為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長(zhǎng)均為a. ∵M(jìn)是AB上的動(dòng)點(diǎn)，且易知AB∥平面DFEC，∴點(diǎn)M到平面DFEC的距離等于點(diǎn)B到平面DFEC的距離，距離為a，∴V1＝VE-FMC＝VM-EFC＝·a·a·a＝，又V2＝a·a·a＝，故＝＝. 6．(2018·廣東五校協(xié)作體第一次診斷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A

63、.＋1 B. C.＋1 D.＋1 解析：選C　由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐的組合體，故其表面積為π＋1＋2π×2＋π＝＋1，故選C. 7．某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_(kāi)_______． 解析：由題意知該四棱柱為直四棱柱，其高為1，底面為上底長(zhǎng)為1，下底長(zhǎng)為2，高為1的等腰梯形，所以該四棱柱的體積為V＝×1＝. 答案： 8．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線(xiàn)長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為_(kāi)______． 解析：設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r， 則另一底面半徑為3r. 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.

64、 答案：7 9．一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_______． 解析：由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′. 由題意，得×6××22×h＝2， ∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝＝2， ∴S側(cè)＝6××2×2＝12. 答案：12 10.已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________． 解析：由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，設(shè)O為BD的中點(diǎn)，連接OA，OC，則OA⊥BD，OC⊥BD，結(jié)合正視圖可知AO⊥平面B

65、CD. 又OC＝＝1， ∴V三棱錐A-BCD＝××1＝. 答案： B級(jí)——中檔題目練通抓牢 1．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1 cm，粗線(xiàn)為某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A．2 cm3 B．4 cm3 C．6 cm3 D．8 cm3 解析：選B　由三視圖知幾何體是一個(gè)以俯視圖中的直角梯形為底面，高h(yuǎn)＝2 cm的四棱錐．由三視圖中的數(shù)據(jù)得四棱錐的底面面積S＝×(2＋4)×2＝6(cm2)，所以其體積V＝Sh＝×6×2＝4(cm3)． 2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為(　　) A．64－ B．64－ C．6

66、4－16π D．64－ 解析：選A　由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正方體中間挖去兩個(gè)頂點(diǎn)相接的圓錐，其中，兩個(gè)圓錐的體積和是V錐＝Sh＝×π×22×4＝π，∴V＝V正方體－V錐＝43－π＝64－π. 3．(2018·江西七校聯(lián)考)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是(　　) A．6π B．12π C．18π D．9π 解析：選C　因?yàn)椤螦PE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體(PA，PE，PF是從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱)，則四面體和補(bǔ)全的長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R＝＝3，故該球的表面積S＝4πR2＝4π2＝18π. 4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______． 解析：該幾何體可視為正方體截去兩個(gè)三棱錐所得，如圖所示，所以其體積為23－××2×2×2－××1×1×1＝. 答案： 5．已知四棱錐P-ABCD的