中考數(shù)學(xué)培優(yōu)復(fù)習(xí) 第15講 三角形全等與相似

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1、中考數(shù)學(xué)培優(yōu)復(fù)習(xí) 第15講 三角形全等與相似三角形中位線概念一、知識系統(tǒng)圖三角形中位線三角形中位線性質(zhì)一般三角形（AAS、SAS、ASA、SSS）三角形全等的概念三角形全等三角形全等的判定三角形直角三角形（HL）全等變換三角形相似的判定方法直角三角形相似的判定方法三角形相似相似三角形的性質(zhì)二、主要內(nèi)容1、三角形中位線2、三角形全等：全等的判定，全等變換3、三角形相似：相似的判定方法，相似三角形的性質(zhì)。三、主要知識點、典型例題及解析及變式練習(xí)：知識點1 三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。（2）要會區(qū)別三角形中

2、線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。例1：如圖，為測量位于一水塘旁的兩點A、B間的距離，在地面上確定點O，分別取OA、OB的中點C、D，量得CD=20m，則A、B之間的距離是 m考點：三角形中位線定理。常作輔助線：各邊中點的連線。分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答即可。變式練習(xí)：如圖，在ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點若DE=3，則BC= 知識點2 三角形全等的判定全等用符號“”表示，讀作“全等于”。如ABCDEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。

3、（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。推論：角角邊定理：兩角和一角的領(lǐng)邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）例2：如圖，在平行四邊形ABCD中，過AC中點0作直線，分別交AD、BC于點E、F求證：AOECOF考點：平行四邊形的性質(zhì)

4、；全等三角形的判定分析：據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：OA=OC，AEO=OFC，EAO=OCF，所以AOECOF變式練習(xí)：如圖，C是AB的中點，AD=BE，CD=CE求證：A=B例3：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分ADC交AB于點E，BF平分ABC，交CD于點F（1）求證：DE=BF；（2）連接EF，寫出圖中所有的全等三角形（不要求證明）考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到DE=BF；（2）連接EF，則圖中所有的全等三角形有：ADECBF，DFEBEF變式練習(xí)：如圖，在菱形ABC

5、D中，BAD=80，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E，連接DF，則CDF等于（）A50B60C70D80知識點3 全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180，這種變換叫做對稱變換。（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。例4：如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，點D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90至CE位置，連接AE（1）求證：ABAE；（2）若BC2=ADAB，求證：四邊形ADCE為正方形考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直

6、角三角形；正方形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DCE=90，CD=CE，利用等角的余角相等得BCD=ACE，然后根據(jù)“SAS”可判斷BCDACE，則B=CAE=45，所以DAE=90，即可得到結(jié)論變式練習(xí)：已知：如圖，ABC中，AB=AC，ADBC垂足為D。將ADC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90后，點A落在BD上點A1處，點C落在DA延長線上點C1處，A1 C1與AB交于點E。求證：A1BEAC1E知識點4 三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形

7、與原三角形相似判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，可簡述為三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。（2）直角三角形相似的判定方法以上各種判定方法均適用定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似垂直法：直角三角形

8、被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。例5：如圖，在ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BGAE，垂足為G，BG=4cm，則EF+CF的長為 cm考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)分析：首先，由于AE平分BAD，那么BAE=DAE，由ADBC，可得內(nèi)錯角DAE=BEA，等量代換后可證得AB=BE，即ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在RtABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長；然后，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)分別得出EF，F(xiàn)C的長，

9、即可得出答案；變式練習(xí)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P則點P的坐標(biāo)為 知識點5 相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方例6：寬與長之比為的矩形叫黃金矩形，黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感，如圖,如果在一個黃金矩形里畫一個正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請證明你的結(jié)論.考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；黃金分割分

10、析：要由黃金分割的定義推廣到黃金矩形變式練習(xí)：將三角形高分為四等分，過每個分點作底邊的平行線，將三角形分四個部分，則四個部分面積之比是（ ）A.1357 B.1234 C.1245 D.1235四、難點突破方法總結(jié)在求解三角形全等與相似試題中，要突出轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過轉(zhuǎn)化尋找量和量之間的關(guān)系，歸納下來，有這樣幾個方面值得考生們注意：1.掌握解題的關(guān)鍵點（1）有兩角，找任意一邊；（2）有兩邊，找夾角；（3）有相似，常需利用相似比求值線段的長度2.重視基本定理與基本圖形相結(jié)合，計算與推理相結(jié)合，靈活運(yùn)用各種方法3.重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用運(yùn)用分析法、演繹法、截補(bǔ)法，結(jié)合方程思想、分類討論思想、數(shù)形

11、結(jié)合思想解有關(guān)圓的應(yīng)用題，探索開放性題和方案設(shè)計五、拓展演練一、選擇題：1尺規(guī)作圖作的平分線方法如下：以為圓心，任意長為半徑畫弧交、于、，再分別以點、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線由作法得的根據(jù)是（ ）ASAS BASA CAAS DSSS2如圖，將RtABC(其中B34，C90）繞A點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到AB1 C1的位置，使得點C、A、B1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角最小等于（） A.56 B.68 C.124 D.1803. 如圖所示，E=F=90, B=C，AE=AF，結(jié)論：EM=FN；CD=DN；FAN=EAM；CANABM.其中正確的有（ ）A. 1個 B. 2個 C.

12、3個 D.4個4.如圖，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AC、BD交于點O，則圖中全等三角形共有（ ）A2對B3對C4對D5對34B1CBAC1 （第5題圖）（第4題圖）（第3題圖）（第2題圖）5.如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2，DE是它的中位線，則下面四個結(jié)論：（1）DE=1，（2）CDECAB，（3）CDE的面積與CAB的面積之比為1：4.其中正確的有 （ ）A0個B1個C2個D3個（第6題圖）（第5題圖） 6.如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AFDE于點O， 則等于（） A B C D7.如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及

13、x，那么x的值 （ ）A只有1個 B可以有2個 C有2個以上但有限 D有無數(shù)個二、填空題：8.如圖，中，點的坐標(biāo)為（0，1），點的坐標(biāo)為（4，3），如果要使與 全等，那么點的坐標(biāo)是 . 9.如圖，已知，要使 ，可補(bǔ)充的條件是 （寫出一個即可）10.如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ以下五個結(jié)論： AD=BE PQAE AP=BQ DE=DP AOB=60恒成立的結(jié)論有_ _（把你認(rèn)為正確的序號都填上）（第12題圖）ABCEDOPQACEBD（第10題圖）（第9題圖）

14、11已知ABC與DEF相似且對應(yīng)中線的比為2:3，則ABC與DEF的周長比為_.12如圖，光源P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，ABCD，AB2m，CD6m，點P到CD的距離是2.7m，則AB與CD間的距離是_.三、解答題：13兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）；圖1圖2（2）證明：14如圖，一個含45的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點作EFAE交DCE的角平分線于F點，試探究線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。15.如圖，在ABC中，已知DEBC，AD=4，DB=8，DE=3，（1）求的值，（2）求BC的長16如圖，在方格紙中（1）請在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，使，并求出點坐標(biāo)；ABC（2）以原點為位似中心，相似比為2，在第一象限內(nèi)將放大，畫出放大后的圖形；（3）計算的面積17.正方形邊長為4，、分別是、上的兩個動點，當(dāng) 點在上運(yùn)動時，保持和垂直，（1）證明：；（2）設(shè)，梯形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)點運(yùn)動到什么位置時，四邊形面積最大，并求出最大面積；（3）當(dāng)點運(yùn)動到什么位置時，求的值