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1、第2講空間中的平行與垂直專題五立體幾何與空間向量熱點(diǎn)分類突破真題押題精練熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來解決問題.(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進(jìn)行判斷.例例1(1)(2017四川省眉山中學(xué)月考)已知m，n為空間中兩條不同的直線， ，為空間中兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是A.若n，n，m，則mB.若m，則mC.若m，n在內(nèi)的射影互相平行，則mnD.若ml，l，則m解析解析由題意知，n，n，則，又m，則m，A正確；若m，可能會(huì)現(xiàn)m，
2、B錯(cuò)誤；若m，n在內(nèi)的射影互相平行，兩直線異面也可以，C錯(cuò)誤；若ml，l，可能會(huì)出現(xiàn)m，D錯(cuò)誤.故選A.答案解析答案解析(2)(2017屆泉州模擬)設(shè)四棱錐PABCD的底面不是平行四邊形， 用平面去截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面A.有無數(shù)多個(gè) B.恰有4個(gè)C.只有1個(gè) D.不存在思維升華解析解析如圖，由題知面PAD與面PBC相交，面PAB與面PCD相交，可設(shè)兩組相交平面的交線分別為m，n，由m，n決定的平面為，作與平行且與四條側(cè)棱相交，交點(diǎn)分別為A1，B1，C1，D1，則由面面平行的性質(zhì)定理得A1B1nC1D1，A1D1mB1C1，從而得截面必為平行四邊形.由于平面可以上
3、下平移，可知滿足條件的平面有無數(shù)多個(gè).故選A.思維升華思維升華解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.答案解析跟蹤演練跟蹤演練1(1)，是三個(gè)平面，m, n是兩條直線，則下列命題正確的是A.若m, n，mn，則B.若，m, n，則mnC.若m不垂直平面，則m不可能垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線D.若m，n，mn，則解析解析逐一分析所給的命題：A項(xiàng)，若m, n，mn，并非一條直線垂直于平面內(nèi)的
4、兩條相交直線，不一定有，該說法錯(cuò)誤；B項(xiàng)，若，m, n，無法確定m，n的關(guān)系，該說法錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若m不垂直平面，則m可能垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，該說法錯(cuò)誤；D項(xiàng)，若m，n，mn，則，該說法正確.故選D.答案解析(2)(2017屆株洲一模)如圖，平面平面， 直線l, A，C是內(nèi)不同的兩點(diǎn)， B，D是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且A，B，C，D 直線l, M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn).下列判斷正確的是A.當(dāng)CD2AB時(shí)，M，N兩點(diǎn)不可能重合B.M，N兩點(diǎn)可能重合，但此時(shí)直線AC與l不可能相交C.當(dāng)AB與CD相交，直線AC平行于l時(shí)，直線BD可以與l相交D.當(dāng)AB，CD是異面直線時(shí)，直線MN可能與l平行解析
5、解析由于直線CD的兩個(gè)端點(diǎn)都可以動(dòng)，所以M，N兩點(diǎn)可能重合，此時(shí)兩條直線AB，CD共面，由于兩條線段互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形，因此ACBD，則BD，所以由線面平行的判定定理可得AC，又因?yàn)锳C，l，所以由線面平行的性質(zhì)定理可得ACl，故應(yīng)排除答案A，C，D，故選B.熱點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的證明空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定定理、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.例例2(1)(2017全國)如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBC AD，BADABC90.證明：直線BC平面PAD；證明證明在平面AB
6、CD內(nèi)，因?yàn)锽ADABC90，所以BCAD.又BC 平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.證明若PCD的面積為2 ，求四棱錐PABCD的體積.解答解解如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因?yàn)镃M底面ABCD，所以PMCM.取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PNCD，解得x2(舍去)或x2.所以四棱錐PABCD的體積(2)(2017重慶市巴蜀中學(xué)三模)如圖，平面ABCD平面ADEF，四邊形ABCD為菱形，四邊形ADEF為矩形，M，N分別是EF，BC的中點(diǎn)，AB2AF, CBA60.求
7、證：DM平面MNA；證明證明證明連接AC，在菱形ABCD中，CBA60，且ABBC，ABC為等邊三角形，又N為BC的中點(diǎn)，ANBC，BCAD，ANAD，又平面ABCD平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD，AN平面ABCD，AN平面ADEF，又DM平面ADEF，DMAN.在矩形ADEF中，AD2AF，M為EF的中點(diǎn)，AMF為等腰直角三角形，AMF45，同理可證DME45，DMA90，DMAM，又AMANA，且AM，AN平面MNA，DM平面MNA.若三棱錐ADMN的體積為 ，求MN的長.證明思維升華證明證明設(shè)AFx，則AB2AF2x，在RtABN中，AB2x, BNx, ABN60，平面AB
8、CD平面ADEF, AD為交線，F(xiàn)AAD，F(xiàn)A平面ABCD，設(shè)h為點(diǎn)M到平面ADN的距離，則hAFx，思維升華思維升華垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)，即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l，ala.跟蹤演練跟蹤演練2(2017北京市海淀區(qū)適應(yīng)性考試)如圖，四棱錐PA
9、BCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，且PA ，E是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn).(1)求四棱錐PABCD的體積；解解PA平面ABCD，解答(2)如果E是PA的中點(diǎn)，求證：PC平面BDE；證明證明連接AC交BD于O，連接OE.四邊形ABCD是正方形，O是AC的中點(diǎn)，又E是PA的中點(diǎn)，PCOE，PC 平面BDE, OE平面BDE，PC平面BDE.證明(3)是否無論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE ？證明你的結(jié)論.解解無論點(diǎn)E在任何位置，都有BDCE.證明如下：四邊形ABCD是正方形，BDAC，PA底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPA，又ACPAA，AC，PA平面PAC，BD平面P
10、AC.無論點(diǎn)E在任何位置，都有CE平面PAC，無論點(diǎn)E在任何位置，都有BDCE.解答熱點(diǎn)三平面圖形的折疊問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化，有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.一般地，在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法.例例3(2017孝義質(zhì)檢)如圖(1)，在五邊形ABCDE中，EDEA，ABCD，CD2AB，EDC150.如圖(2)，將EAD沿AD折到PAD的位置，得到四棱錐PAB
11、CD.點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)，且BM平面PCD.(1)求證：平面PAD平面ABCD；證明四邊形ABMN為平行四邊形，ANBM，又BM平面PCD，AN平面PCD，ANPD，ANCD.由EDEA，即PDPA及N為PD的中點(diǎn)，可得PAD為等邊三角形，PDA60，又EDC150，CDA90，CDAD，又ANADA，AN平面PAD，AD平面PAD，CD平面PAD，又CD平面ABCD，平面PAD平面ABCD.解解設(shè)四棱錐PABCD的高為h，四邊形ABCD的面積為S，解答思維升華思維升華思維升華(1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口.(2)存在探索性問題可先假設(shè)存在，然后在此前提下進(jìn)行邏輯推理，得
12、出矛盾或肯定結(jié)論.跟蹤演練跟蹤演練3(2017屆四川省成都市九校模擬)如圖，在直角梯形ABCD中， ADBC, ABBC, BDDC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，連接AE, AC, DE, 得到如圖所示的空間幾何體.(1)求證：AB平面ADC；證明證明證明因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又BDDC，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因?yàn)锳B平面ABD，所以DCAB.又ADAB，DCADD，AD，DC平面ADC，所以AB平面ADC.解答故BC3.由于AB平面ADC，ABAC，E為BC的中點(diǎn)，因?yàn)镈C平面ABD，設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為d
13、，真題押題精練真題體驗(yàn)1.(2017全國改編)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是_.答案解析12(1)解析解析對(duì)于(1)，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QDAB.QD平面MNQQ，QD與平面MNQ相交，直線AB與平面MNQ相交；12對(duì)于(2)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；12對(duì)于(3)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；12對(duì)于(4)，作如圖所示
14、的輔助線，則ABCD，CDNQ，ABNQ，又AB 平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.122.(2017江蘇)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；證明證明在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，所以ABEF.又EF 平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.12證明(2)ADAC.證明證明因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，B
15、C平面ABC，所以AD平面ABC.又AC平面ABC，所以ADAC.12證明押題預(yù)測答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)空間兩條直線、兩個(gè)平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn).此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識(shí)相交匯，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力.121.不重合的兩條直線m，n分別在不重合的兩個(gè)平面，內(nèi)，下列為真命題的是A.mnm B.mnC.m D.mn押題依據(jù)12解析解析構(gòu)造長方體，如圖所示.因?yàn)锳1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1與平面AA1B1B不垂直，所以平面AA1C1C與平面AA1B1B不垂直.所以選
16、項(xiàng)A，B都是假命題.CC1AA1，但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行，所以選項(xiàng)D為假命題.“若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個(gè)平面”是真命題，故選C.2.如圖(1)，在正ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且BEAF2CF.點(diǎn)P為邊BC上的點(diǎn)，將AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC，連接A1B，A1P，EP，如圖(2)所示.(1)求證：A1EFP；押題依據(jù)押題依據(jù)以平面圖形的翻折為背景，探索空間直角與平面位置關(guān)系的考題創(chuàng)新性強(qiáng)，可以考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力，預(yù)計(jì)將成為今年高考的命題形式.12證明押題依據(jù)證明證明在正ABC
17、中，取BE的中點(diǎn)D，連接DF，如圖所示.因?yàn)锽EAF2CF，所以AFAD，AEDE，而A60，所以ADF為正三角形.又AEDE，所以EFAD.所以在題圖(2)中A1EEF，又A1E平面A1EF，平面A1EF平面BEFC，且平面A1EF平面BEFCEF，所以A1E平面BEFC.因?yàn)镕P平面BEFC，所以A1EFP.12(2)若BPBE，點(diǎn)K為棱A1F的中點(diǎn)，則在平面A1FP上是否存在過點(diǎn)K的直線與平面A1BE平行，若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.解答12解解在平面A1FP上存在過點(diǎn)K的直線與平面A1BE平行.理由如下：如題圖(1)，在正ABC中，因?yàn)锽PBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如圖所示，取A1P的中點(diǎn)M，連接MK，因?yàn)辄c(diǎn)K為棱A1F的中點(diǎn)，所以MKFP.因?yàn)镕PBE，所以MKBE.因?yàn)镸K 平面A1BE，BE平面A1BE，所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在過點(diǎn)K的直線MK與平面A1BE平行.12
數(shù)學(xué)五 立體幾何與空間向量 第2講 空間中的平行與垂直 理
