2022年高三數學一輪復習講義 三角函數的圖像與性質教案 新人教A版

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1、2022年高三數學一輪復習講義 三角函數的圖像與性質教案 新人教A版基礎梳理1“五點法”描圖(1)ysin x的圖象在0,2上的五個關鍵點的坐標為 (0,0)(,0)(2,0) (2)ycos x的圖象在0,2上的五個關鍵點的坐標為 (0,1),(,1),(2,1) 2.三角函數的圖象和性質函數性質ysin xycos xytan x定義域RRx|xk,kZ圖象 值域1,11,1R對稱性對稱軸:_ xk(kZ)_ _;對稱中心:_ (k,0)(kZ)_ _對稱軸: xk(kZ)_;對稱中心:_(k,0) (kZ)_ 對稱中心:_ (kZ) _周期2_2單調性單調增區(qū)間_2k,2k(kZ)_;單

2、調減區(qū)間2k,2k (kZ) _單調增區(qū)間2k,2k (kZ) _;單調減區(qū)間2k,2k(kZ)_單調增區(qū)間_(k,k)(kZ)_ 奇偶性奇函數偶函數奇函數3.一般地對于函數f(x),如果存在一個非零的常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,都有f(xT)f(x),那么函數f(x)就叫做周期函數,非零常數T叫做這個函數的周期,把所有周期中存在的最小正數,叫做最小正周期(函數的周期一般指最小正周期)對函數周期性概念的理解周期性是函數的整體性質,要求對于函數整個定義域范圍的每一個x值都滿足f(xT)f(x),其中T是不為零的常數.如果只有個別的x值滿足f(xT)f(x),或找到哪怕只有一個x值不滿

3、足f(xT)f(x),都不能說T是函數f(x)的周期.函數yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為 ,ytan(x)的最小正周期為 .4.求三角函數值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性;關于正、余弦函數的有界性由于正余弦函數的值域都是1,1,因此對于xR,恒有1sin x1,1cos x1,所以1叫做ysin x,ycos x的上確界,1叫做ysin x,ycos x的下確界.(2)形式復雜的函數應化為yAsin(x)k的形式逐步分析x的范圍,根據正弦函數單調性寫出函數的值域;含參數的最值問題,要討論參數對最值的影響.(3)換元法:把sin x或cos x看作

4、一個整體,可化為求函數在區(qū)間上的值域(最值)問題利用換元法求三角函數最值時注意三角函數有界性,如:ysin2x4sin x5,令tsin x(|t|1),則y(t2)211,解法錯誤.5.求三角函數的單調區(qū)間時,應先把函數式化成形如yAsin(x) (0)的形式,再根據基本三角函數的單調區(qū)間,求出x所在的區(qū)間.應特別注意,應在函數的定義域內考慮.注意區(qū)分下列兩題的單調增區(qū)間不同;利用換元法求復合函數的單調區(qū)間(要注意x系數的正負號) (1)ysin;(2)ysin.熱身練習:1函數ycos,xR()A是奇函數 B既不是奇函數也不是偶函數C是偶函數 D既是奇函數又是偶函數 2函數ytan的定義域

5、為()A.B.C. D.3函數ysin(2x)的圖象的對稱軸方程可能是( )Ax Bx Cx Dx【解析】令2xk,則x(kZ)當k0時,x,選D.4ysin的圖象的一個對稱中心是()A(,0) B. C. D.解析ysin x的對稱中心為(k,0)(kZ),令xk(kZ),xk(kZ),由k1,x得ysin的一個對稱中心是.答案B5下列區(qū)間是函數y2|cos x|的單調遞減區(qū)間的是()A.(0,)B. C. D.6已知函數f(x)sin(2x),其中為實數,若f(x)|f()|對任意xR恒成立,且f()f(),則f(x)的單調遞增區(qū)間是( )Ak,k(kZ) Bk,k(kZ)Ck,k(kZ)

6、 Dk,k(kZ) 【解析】當xR時,f(x)|f()|恒成立,f()sin()1可得2k或2k,kZf()sin()sinf()sin(2)sinsin0.1cos x1,0cos x1.利用單位圓中的余弦線OM,依題意知0OM1,OM只能在x軸的正半軸上,其定義域為 x|2kx2k,kZ.(2)要使函數有意義,必須使sin xcos x0.利用圖象.在同一坐標系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象,如圖所示.在0,2內,滿足sin xcos x的x為,再結合正弦、余弦函數的周期是2,所以定義域為.變式訓練1 (1)求函數的定義域;解(1)要使函數有意義,則 圖如圖利用單位圓得:函

7、數的定義域為x|2kx2k,kZ. (2)求函數的定義域.要使函數有意義則利用數軸可得圖圖函數的定義域是x|0x0,0,0)的部分圖象如圖所示(1)求f(x)的解析式;(2)設g(x)f(x)2,求函數g(x)在x,上的最大值,并確定此時x的值【解析】(1)由圖可知A2,則4 .又f()2sin()2sin()0sin()00,0)來確定;的確定:由函數yAsin(x)K最開始與x軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令x0,x)確定.例4若方程sinxcosxa在0,2上有兩個不同的實數根x1,x2,求a的取值范圍,并求此時x1x2的值【解析】sinxcosx2sin(x),x0,2,作出y2

8、sin(x)在0,2內的圖象如圖由圖象可知,當1a2或2a1時,直線ya與y2sin(x)有兩個交點,故a的取值范圍為a(2,1)(1,2)當1a2時,x1x2.x1x2.當2a1時,x1x23,x1x2.【點評】利用三角函數圖象形象直觀,可使有些問題得到順利、簡捷的解決,因此我們必須準確把握三角函數“形”的特征例4已知函數f(x)Asin(x),xR(其中A0,0,0)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為M(,2)(1)求f(x)的解析式;(2)將函數f(x)的圖象向右平移個單位后,再將所得圖象上各點的橫坐標縮小到原來的,縱坐標不變,得到yg(x)的圖象,求函

9、數yg(x)的解析式,并求滿足g(x)且x0,的實數x的取值范圍【解析】(1)由函數圖象的最低點為M(,2),得A2,由x軸上相鄰兩個交點間的距離為,得,即T,2.又點M(,2)在圖象上,得2sin(2)2,即sin()1,故2k,kZ,2k,又(0,),.綜上可得f(x)2sin(2x)(2)將f(x)2sin(2x)的圖象向右平移個單位,得到f1(x)2sin2(x),即f1(x)2sin2x的圖象,然后將f1(x)2sin2x的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的,縱坐標不變,得到g(x)2sin(22x),即g(x)2sin4x.由得.則即.故x 或 x.題型四 、三角函數的奇偶性與周期性及

10、應用例1已知函數f(x)sin(x),其中0,|.(1)若coscossinsin0,求的值;(2)在(1)的條件下,若函數f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于,求函數f(x)的解析式;并求最小正實數m,使得函數f(x)的圖象向左平移m個單位后所對應的函數是偶函數【解析】(1)由coscossinsin0 得cos()0.|0)的函數的單調區(qū)間,可以通過解不等式的方法去解答.列不等式的原則是:把“x (0)”視為一個“整體”;A0 (A0,0):若求yf(x)的對稱軸,只需令xk(kZ),求出x;若求yf(x)的對稱中心的橫坐標,只零令xk(kZ),求出x;若求yf(x)的單調增區(qū)間,

11、只需令2kx2k,求出x;若求yf(x)的單調減區(qū)間,只需令2kx2k,求出x.題型七三角函數的對稱性與奇偶性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR),函數yf(x) 的圖象關于直線x0對稱,則的值為_.(2)如果函數y3cos(2x)的圖象關于點中心對稱,那么|的最小值為() A . B. C. D.(1) (x)2sin, yf(x)2sin圖象關于x0對稱,即f(x)為偶函數k,kZ,即k,kZ,所以當k0時,. (2)A3cos3cos3cosk,kZ,k,kZ,取k0,得|的最小值為.故選 探究提高若f(x)Asin(x)為偶函數,則當x0時,f(x)取得最大或最小值.若f

12、(x)Asin(x)為奇函數,則當x0時,f(x)0.如果求f(x)的對稱軸,只需令xk (kZ),求x.如果求f(x)的對稱中心的橫坐標,只需令xk (kZ)即可.變式訓練3 (1)已知函數f(x)sinxacos x的圖象的一條對稱軸是x,則函數g(x)asin xcos x的最大值是 ()A. B. C. D.由題意得f(0)f ,a.a, g(x)sin xcos xsin,g(x)max.(2)若函數f(x)asin xbcos x (05,ab0)的圖象的一條對稱軸方程是x,函數f(x)的圖象的一個對稱中心是,則f(x)的最小正周期是_.(1)B(2)由題設,有,即(ab),由此得

13、到ab.又,所以a0,從而tan 1,k,kZ,即8k2,kZ,而00,a0或a0,|)的最小正周期為,將該函數的圖象向左平移個單位后,得到的圖象對應的函數為奇函數,則f(x)的圖象( )A關于點(,0)對稱 B關于直線x對稱C關于點(,0)對稱 D關于直線x對稱【解析】由已知得2,則f(x)sin(2x)設平移后的函數為g(x),則g(x)sin(2x)(|0)和g(x)2cos(2x)1的圖象的對稱軸完全相同.若x0,則f(x)的取值范圍是_.4函數f(x)2sin x(0)在上單調遞增,且在這個區(qū)間上的最大值是,那么等于_解析因為f(x)2sin x(0)在上單調遞增,且在這個區(qū)間上的最

14、大值是,所以2sin,且0,因此.答案6.關于函數f(x)4sin (xR),有下列命題:由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整數倍;yf(x)的表達式可改寫為y4cos;yf(x)的圖象關于點對稱;yf(x)的圖象關于直線x對稱.其中正確命題的序號是_.解析函數f(x)4sin的最小正周期T,由相鄰兩個零點的橫坐標間的距離是知錯利用誘導公式得f(x)4cos4cos4cos,知正確由于曲線f(x)與x軸的每個交點都是它的對稱中心,將x代入得f(x)4sin4sin 00,因此點是f(x)圖象的一個對稱中心,故命題正確曲線f(x)的對稱軸必經過圖象的最高點或最低點,且與y軸平行,而x時y

15、0,點不是最高點也不是最低點,故直線x不是圖象的對稱軸,因此命題不正確答案三、解答題7.設函數f(x)sin (0),yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求;(2)求函數yf(x)的單調增區(qū)間.解(1)(2)由(1)得:f(x)sin,令2k2x2k,kZ,可解得kxk,kZ,因此yf(x)的單調增區(qū)間為,kZ.8.(1)求函數y2sin (x)的值域;(2)求函數y2cos2x5sin x4的值域.解(1)x,02x,00)在區(qū)間上的最小值是2,則的最小值等于()A. B. C.2 D.33.函數f(x)cos 2xsin是()A.非奇非偶函數 B.僅有最小值的奇函數C.僅有最大值的偶

16、函數 D.有最大值又有最小值的偶函數二、填空題4.設定義在區(qū)間(0,)上的函數y6cos x的圖象與y5tan x的圖象交于點P,過點P作x軸的垂線,垂足為P1,直線PP1與函數ysin x的圖象交于點P2,則線段P1P2的長為_.5.函數f(x)2sin x(0)在上單調遞增,且在這個區(qū)間上的最大值是,那么_.解析因為f(x)2sin x(0)在上單調遞增,且在這個區(qū)間上的最大值是,所以2sin,且0,因此.答案6.給出下列命題:函數ycos是奇函數; 存在實數,使得sin cos ;若、是第一象限角且,則tan 0)的圖象與直線ym相切,并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數列. (1)求m

17、的值;(2)若點A(x0,y0)是yf(x)圖象的對稱中心,且x0,求點A的坐標.7.解(1)f(x)(1cos 2ax)sin 2ax(sin 2axcos 2ax)sin.yf(x)的圖象與ym相切,m為f(x)的最大值或最小值,即m或m.(2)切點的橫坐標依次成公差為的等差數列,f(x)的最小正周期為.T,a0,a2,即f(x)sin.由題意知sin0,則4x0k (kZ),x0 (kZ).由0 (kZ)得k1或2,因此點A的坐標為,.三角函數的圖象與性質練習四一、選擇題1函數f(x)2sin xcos x是()A最小正周期為2 的奇函數 B最小正周期為2 的偶函數C最小正周期為的奇函數

18、 D最小正周期為的偶函數解析f(x)2sin xcos xsin 2x.f(x)是最小正周期為的奇函數答案C2函數ysin2xsin x1的值域為()A1,1 B. C. D.解析(數形結合法)ysin2xsin x1,令sin xt,則有yt2t1,t1,1,畫出函數圖象如圖所示,從圖象可以看出,當t及t1時,函數取最值,代入yt2t1可得y.答案C3若函數f(x)sin x(0)在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,則()A. B. C2 D3解析由題意知f(x)的一條對稱軸為x,和它相鄰的一個對稱中心為原點,則f(x)的周期T,從而.答案B4函數f(x)(1tan x)cos x的最小正周

19、期為()A2 B. C D.解析依題意,得f(x)cos xsin x2sin.故最小正周期為2.答案A5下列函數中,周期為,且在上為減函數的是()Aysin BycosCysin Dycos解析(篩選法)函數的周期為.排除C、D,函數在上是減函數,排除B. 答案A【點評】 本題采用了篩選法,體現了篩選法的方便、快捷、準確性,在解選擇題時應注意應用.6已知函數f(x)sin(xR),下面結論錯誤的是()A函數f(x)的最小正周期為2 B函數f(x)在區(qū)間上是增函數C函數f(x)的圖象關于直線x0對稱 D函數f(x)是奇函數解析ysincos x,T2,在上是增函數,圖象關于y軸對稱,為偶函數答

20、案D二、 填空題7.y=|sin(x+)|的單調增區(qū)間為_k+,k+(kZ)_.8.要得到的圖象,可以將函數y = 3 sin2 x的圖象向左平移_單位.9.若動直線與函數和的圖像分別交于兩點,則的最大值為_.10函數f(x)=() 的值域是_-1,0_ _.11.已知,且在區(qū)間有最小值,無最大值,則_12、給出下面的3個命題:(1)函數的最小正周期是;(2)函數在區(qū)間上單調遞增;(3)是函數的圖象的一條對稱軸.其中正確命題的序號是 13若函數f(x)cos xcos(0)的最小正周期為,則的值為_解析f(x)cos xcoscos xsin xsin 2x,T.1. 答案114函數ytan的

21、圖象與x軸交點的坐標是_解析由2xk,kZ,得:x,kZ,故交點坐標為(kZ) 答案(kZ)15已知函數f(x)sin(x)cos(x)是偶函數,則的值為_解析(回顧檢驗法)據已知可得f(x)2sin,若函數為偶函數,則必有k(kZ),又由于,故有,解得,經代入檢驗符合題意答案三、解答題16已知f(x)sin xsin. (1)若0,且sin 2,求f()的值;(2)若x0,求f(x)的單調遞增區(qū)間解(1)由題設知f()sin cos .sin 22sin cos 0,0,sin cos 0.由(sin cos )212sin cos ,得sin cos ,f().(2)由(1)知f(x)si

22、n,又0x,f(x)的單調遞增區(qū)間為.17設函數f(x)sin(2x)(0),yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求; (2)求函數yf(x)的單調增區(qū)間解(1)令2k,kZ,k,kZ,又0,則k,kZ,k1,則.(2)由(1)得:f(x)sin,令2k2x2k,kZ,可解得kxk,kZ,因此yf(x)的單調增區(qū)間為,kZ. 18、設函數(1)求的最小正周期(2)若函數與的圖像關于直線對稱,求當時的最大值解:()= = = 故的最小正周期為T = =8 ()解法一: 在的圖象上任取一點,它關于的對稱點 .由題設條件,點在的圖象上,從而 = = 當時,因此在區(qū)間上的最大值為 解法二: 因區(qū)間關于x = 1的對稱區(qū)間為,且與的圖象關于x = 1對稱,故在上的最大值為在上的最大值由()知當時,因此在上的最大值為 .19、設函數,其中向量,且的圖象經過點(1)求實數的值; (2)求函數的最小值及此時值的集合 (3)求函數的單調區(qū)間; (4)函數圖象沿向量平移得到的圖象,求向量。19、(1)(2)(3)(4) 20、設函數,給出下列三個論斷: 的圖象關于直線對稱; 的周期為; 的圖象關于點對稱 以其中的兩個論斷為條件,余下的一個論斷作為結論,寫出你認為正確的一個命題,并對該命題加以證明或,證明略

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