2022年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 線性規(guī)劃（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 線性規(guī)劃（含解析） 1、不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 (　　)． A．4 B．1 C．5 D．無窮大 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即為所求． 求出點A，B，C的坐標分別為(1,2)，(2,2)，(3,0)，則△ABC的面積為S＝×(2－1)×2＝1. 答案：B 2、若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是 (　　)． A. B．(0,1] C. D．(0,1]∪ 解析　不等式組表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)，求A，B兩點的坐標分別為和(1,0)，若原不等式

2、組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則直線x＋y＝a的a的取值范圍是0＜a≤1或a≥. 答案　D 考點：線性目標函數(shù)的最值 1、(xx·天津卷)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為 (　　)． A．－7 B．－4 C．1 D．2 解析：由x，y滿足的約束條件可畫出所表示的平面區(qū)域為如圖所示的△ABC，作出直線y＝2x，經過平移得目標函數(shù)z＝y(tǒng)－2x在點B(5,3)處取得最小值，即zmin＝3－10＝－7.故選A. 答案：A 2、(xx·新課標全國Ⅱ卷)已知a＞0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝ (　　)． A. B.

3、 C．1 D．2 解析：由約束條件畫出可行域(如圖所示的△ABC)， 由得A(1，－2a)， 當直線2x＋y－z＝0過點A時， z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝，故選B. 答案：B 3、(xx·浙江卷)設z＝kx＋y，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k＝________. 解析　約束條件所表示的可行域為如圖所示的△ABC，其中點A(4,4)，B(0,2)，C(2,0)． 目標函數(shù)z＝kx＋y，化為y＝－kx＋z.當－k≤，即k≥－時，目標函數(shù)z＝kx＋y在點A(4,4)取得最大值12，故4k＋4＝12，k＝2，滿足題意；當－k

4、>即k<－時，目標函數(shù)z＝kx＋y在點B(0,2)取得最大值12，故k·0＋2＝12，無解，綜上可知，k＝2. 答案　2 4、不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標平面內表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應是下列圖形中的(　　)． 解析　(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或畫出平面區(qū)域后，只有C合題意． 答案　C 5．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為(　　)． A．1 B. C. D. 解析　作出不等式組對應的區(qū)域為△BCD，由題意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝. 答案　D 6．在約束條件下，目標函數(shù)z＝x＋y的最大

5、值為(　　)． A. B. C. D. 解析　由z＝x＋y，得y＝－2x＋2z.作出可行域如圖陰影部分，平移直線y＝－2x＋2z，當直線經過點C時，直線y＝－2x＋2z在y軸上的截距最大，此時z最大． 由解得C點坐標為，代入z＝x＋y，得z＝＋×＝. 答案　C 7、若變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為(　　)． A．4 B．3 C．2 D．1 解析　畫出可行域(如下圖)， 由z＝x－2y得y＝x－，則當目標函數(shù)過C(1，－1)時取得最大值，所以zmax＝1－2×(－1)＝3.故選B. 答案　B 8．(xx·北京卷)設關于

6、x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內存在點P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2.求得m的取值范圍是(　　)． A. B. C. D. 解析　由線性約束條件可畫出如圖所示的陰影區(qū)域，要使區(qū)域內存在點P(x0，y0)，使x0－2y0＝2成立，只需點A(－m，m)在直線x－2y－2＝0的下方即可，即－m－2m－2＞0，解得m＜－，故選C. 答案　C 9．(xx·陜西卷)若點(x，y)位于曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最小值為________． 解析　由題意知y＝作出曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，如圖中陰影部分所示，即得過點A(－1,2)時

7、，2x－y取最小值－4. 答案?。? 10．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是________． 解析　畫出可行域，知當直線y＝a在x－y＋5＝0與y軸的交點(0,5)和x－y＋5＝0與x＝2的交點(2,7)之間移動時平面區(qū)域是三角形，故5≤a<7. 答案　[5,7) 11．已知x，y滿足條件(k為常數(shù))，若目標函數(shù)z＝x＋3y的最大值為8，則k＝(　　)． A．－16 B．－6 C．－ D．6 解析　畫出x，y滿足的可行域如圖，聯(lián)立方程解得即C點坐標為 ，由目標函數(shù)z＝x＋3y，得y＝－x＋，平移直線y＝－x＋，可知當直線經過C點時，直線y＝－x

8、＋的截距最大，此時z最大，把C點代入z＝x＋3y，得8＝－＋3×，解得k＝－6.經檢驗，符合題意． 答案　B 12．(xx·江蘇卷)拋物線y＝x2在x＝1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域為D(包含三角形內部與邊界)．若點P(x，y)是區(qū)域D內的任意一點，則x＋2y的取值范圍是________． 解析　∵y＝x2，∴y′|x＝1＝2x|x＝1＝2. 故拋物線y＝x2在x＝1處的切線方程為2x－y－1＝0，設其與x軸、y軸交于A，B兩點，則A，B(0，－1)，區(qū)域D為如圖陰影部分， 令z＝x＋2y，即y＝－x＋z，易知y＝－x＋z分別過A，B兩點時z取最大、最小值，∴zmax＝＋2

9、×0＝，zmin＝0＋2×(－1)＝－2， ∴x＋2y的取值范圍是. 13．已知實數(shù)x，y滿足不等式組則2x＋y的最大值是(　　)． A．0 B．3 C．4 D．5 解析　設z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，作出不等式對應的區(qū)域，平移直線y＝－2x＋z，由圖象可知當直線經過點B時，直線的截距最大，由解得即B(1,2)，代入z＝2x＋y，得z＝2x＋y＝4. 答案　C 14．實數(shù)x，y滿足若目標函數(shù)z＝x＋y取得最大值4，則實數(shù)a的值為(　　)． A．4 B．3 C．2 D. 解析　 作出可行域，由題意可知可行域為△ABC內部及邊界，y＝－x＋z，則z的幾何意

10、義為直線在y軸上的截距，將目標函數(shù)平移可知當直線經過點A時，目標函數(shù)取得最大值4，此時A點坐標為(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2. 答案　C 考點：求解非線性目標函數(shù)的最值 1、已知實數(shù)x，y滿足 (1)若z＝，求z的最大值和最小值； (2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值． 解　不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，圖中的陰影部分即為可行域．易得A(1,2)，B(2,1), M(2,3)． (1)∵z＝＝，∴z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率，觀察圖形可知zmax＝kOA＝2，zmin＝kOB＝. 所以z的最大值為2，最小值為. (2)過原點(0

11、,0)作直線l垂直于直線x＋y－3＝0，垂足N，則直線l的方程為y＝x， 由得N， 點N在線段AB上，也在可行域內． 觀察圖象可知，可行域內點M到原點的距離最大，點N到原點的距離最小，又|OM|＝，|ON|＝， 即≤≤，∴≤x2＋y2≤13. ∴z的最大值為13，最小值為. 2、(xx·山東卷改編)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則z＝的最小值為(　　)． A．2 B．1 C．－ D．－ 解析　不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，由圖可知，z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率． 由得C(3，－1)，當M點與C點重合時，z取最小值

12、，∴z的最小值為－，故選C. 答案　C 3．變量x，y滿足 (1)設z＝，求z的最小值； (2)設z＝x2＋y2，求z的取值范圍； (3)設z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍． 解　由約束條件 作出(x，y)的可行域如圖陰影部分所示． 由解得A. 由解得C(1,1)． 由解得B(5,2)． (1)∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的點B與原點O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝. (2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方．結合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中， dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝. 故z的

13、取值范圍是[2,29]． (3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點到點(－3,2)的距離的平方．結合圖形可知，可行域上的點到(－3,2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8. 故z的取值范圍是[16,64]. 4．點P(x，y)在不等式組表示的平面區(qū)域內，若點P(x，y)到直線y＝kx－1(k＞0)的最大距離為2，則k＝________. 解析　在坐標平面內畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線y＝kx－1的大概位置，如圖所示，因為k＞0，所以由圖可知，點(0,3)到直線y＝kx－1的距離最大，因此＝2，解得k＝1(負值舍去)． 答案　1