2022年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊一 直線與橢圓(2)完整講義（學(xué)生版）

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊一 直線與橢圓(2)完整講義（學(xué)生版）1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，焦點(diǎn)是，且，焦點(diǎn)是，且3橢圓的幾何性質(zhì)（用標(biāo)準(zhǔn)方程研究）：范圍：，；對(duì)稱性：以軸、軸為對(duì)稱軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心又叫做橢圓的中心；橢圓的頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，如圖中的；長軸與短軸：焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段稱為橢圓的長軸，如圖中線段的；另一對(duì)頂點(diǎn)間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段橢圓的離心率：，焦距與長軸長之比，越趨近于，

2、橢圓越扁；反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓4直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對(duì)于拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為：設(shè)直線：，圓錐曲線：，由消去（或消去）得：若，相交；相離；相切若，得到一個(gè)一次方程：為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；為拋物線，則與拋物線的對(duì)稱軸平行因此直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件5連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦求弦長的一種求法是將直線方程與

3、圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求；另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則弦長公式為兩根差公式：如果滿足一元二次方程：，則（）6直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有：從方程的觀點(diǎn)出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來進(jìn)行討論，這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ)要重視通過設(shè)而不求與弦長公式簡化計(jì)算，并同時(shí)注意在適當(dāng)時(shí)利用圖形的平面幾何性質(zhì)以向量為工具，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與中點(diǎn)、弦長、角度相關(guān)的問題典例分析【例1】 設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為求橢圓的方程；當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上【例2】 已知橢

4、圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切求橢圓的方程；設(shè)，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)；在的條件下，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍【例3】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【例4】 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和求軌跡的方程；當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn)【例5】 在直

5、角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是，直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和求軌跡的方程；是否存在常數(shù)，？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【例6】 設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，且過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)求橢圓的方程；是否存在直線，使得若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由若是橢圓經(jīng)過原點(diǎn)的弦，求證：為定值【例7】 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為、，且四邊形是邊長為的正方形求橢圓的方程；若、分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，連結(jié)，交橢圓于點(diǎn)證明：為定值在的條件下，試問軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【例8】 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線求橢圓的離心率；設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值【例9】 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過點(diǎn)且離心率過定點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)求橢圓的方程；在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由