2022年高一數(shù)學上 第二章 函數(shù):函數(shù)2.1.2優(yōu)秀教案

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1、2022年高一數(shù)學上 第二章 函數(shù):函數(shù)2.1.2優(yōu)秀教案 [教學目的] ⒈以集合、映射的觀點加深學生對函數(shù)概念的理解,明確決定函數(shù)的三個要素(定義域、值域和對應法則); ⒉掌握函數(shù)的三種主要表示方法(解析法、列表法、圖象法); ⒊能夠正確使用“區(qū)間”、“無窮大”等記號; ⒋會求某些函數(shù)的定義域和值域,會畫一些簡單函數(shù)的圖象. [重點難點] 重點:在映射的基礎上理解函數(shù)的概念; 難點:函數(shù)的概念. [教學設想] 1.教法 2.學法 3.課時 [教學過程] §2.2.1 函 數(shù)(一) --函數(shù)的概念和表示方法 [教學目的] ⒈以集合、映射的觀點加深學生對函數(shù)

2、概念的理解,明確決定函數(shù)的三個要素(定義域、值域和對應法則); ⒉掌握函數(shù)的三種主要表示方法(解析法、列表法、圖象法). [重點難點] 重點:在映射的基礎上理解函數(shù)的概念; 難點:函數(shù)的概念. [教學過程] 一、復習引入 ⒈復習提問:在從集合A到集合B的映射中, ⑴對于集合A中的任意一個元素a,在集合B中是不是一定有象?是不是只有一個象? 答:必定有象,且只有一個象. ⑵對于集合B中的任意一個元素b,在集合A中是不是一定有原象?是不是只有一個原象? 答:對于集合B中任意一個元素b,在集合A中不一定有原象,在有原象時,也不一定只有一個. ⒉復習引入:我們在初中已經(jīng)學過函

3、數(shù),例如,正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等.那么函數(shù)的概念是什么?在初中我們是怎樣定義它呢? 那時的定義可敘述為:設在一個變化過程中有兩個變量x和y,如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應,那么就說x是自變量,y是x的函數(shù).并將自變量x取值的集合叫做函數(shù)的定義域,和自變量x的值對應的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域. 這種用變量敘述的函數(shù)定義我們稱之為函數(shù)的傳統(tǒng)定義. 我們回想映射的定義,不難知道,上面所說的函數(shù)實際上就是集合A到集合B的一個特殊映射f:A→B,構成這種映射的集合A,B是非空的數(shù)集,而且對于自變量在定義域A內的任何一個值x,在集合B中都有唯一的

4、函數(shù)值和它對應;自變量的值是原象,和它對應的函數(shù)值是象;原象的集合A就是函數(shù)的定義域,象的集合C就是函數(shù)的值域,顯然CB. 這種用映射刻劃的函數(shù)定義是我們高中階段學習的函數(shù)定義. 二、學習、講解新課 ⒈用映射刻劃的函數(shù)定義 如果A,B都是非空的數(shù)集,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函數(shù),記作y=f(x),其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域,象的集合C(CB)叫做函數(shù)y=f(x)的值域.函數(shù)符號y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”,有時簡記作函數(shù)f(x). 這種用映射刻劃的函數(shù)定義我們稱之為函數(shù)的近代定義. 例如,一次函數(shù)是集合A(A=R)到集合B(B

5、=R)的映射f:A→B,它使集合B中的元素y=ax+b(a0)與集合A中是元素x對應,記為f(x)= ax+b(a0),集合A為定義域,集合C(C=R)為值域(這里C=B). 反比例函數(shù)是集合A={x|x0}到集合B(B=R)的映射f:A→B,它使集合B中的元素y=k/x(k0)與集合A中是元素x對應,記為f(x)= k/x(k0),集合A為定義域,集合C={y|y0}為值域(這里CB). 二次函數(shù)是集合A(A=R)到集合B(B=R)的映射f:A→B,它使集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)與集合A中是元素x對應,記為f(x)= ax2+bx+c (a0),集合A為定義域,當a>0時

6、,集合C={y|y(4ac-b2)/4a}為值域;當a<0時,集合C={y|y(4ac-b2)/4a}為值域(這里CB). ⒉ 函數(shù)的三要素 ⑴函數(shù)符號y=f(x)的含義:它表示y是x的函數(shù),而不是f和x的乘積.其中f表示對應法則,小括號表示把對應法則f施加于x這個變量之上,而等號表示施加之后對應于y. 例如,f(x)=2x2+3,這里是用一個代數(shù)式把f所表示的對應法則具體化了,就是說“把自變量x先平方再二倍再加3”即得x對應的函數(shù)值,而f就表示了這一套運算手續(xù). 另外,f還可能是由圖表表示的數(shù)之間的對應法則(后面再舉例). ⑵符號f(a)的含義:f(a)表示自變量x取a時所對應的函

7、數(shù)值.f如果由解析式表達,則可算出f(a). 例如,f(x)=x2+2x-1在x=0,x=1,x=2時的函數(shù)值分別為f(0)=-1, f(1)=2,f(2)=7;若f由圖表給出,那么就可以通過點的坐標或查表找出f(a). 要注意f(a)與f(x)的聯(lián)系與區(qū)別:f(a)表示當自變量x=a時函數(shù)f(x)的值,它是一個常量;而f(x)是自變量x的函數(shù),在一般情況下,它是一個變量,f(a)是f(x)的一個特殊值. ⑶函數(shù)的三要素:由函數(shù)的定義可知,函數(shù)由定義域、值域和對應法則三部分組成,這三部分就叫做函數(shù)的三要素,而確定函數(shù)的要素是定義域和對應法則.當定義域和對應法則確定之后,函數(shù)的值域也就隨著

8、確定了,至于用什么字母表示自變量和函數(shù)則是無關緊要的,因此y=f(x)=x2與z=f(t)=t2表示的是同一函數(shù). 另外,在同時研究兩個或多個函數(shù)時,要用不同的符號來表示它們.除了f(x)外還常用g(x),F(x),G(x)等符號. ⒊函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法和圖象法三種. ⑴解析法:就是把兩個變量的函數(shù)關系,用一個等式表示,這個等式叫做函數(shù)的解析表達式,簡稱解析式. 例如,s=60t2,A=r2,S=2,y=ax2+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函數(shù)關系的. 用解析式表示函數(shù)關系的優(yōu)點:一是簡明、全面地概括了變量間的關系;二是可以

9、通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數(shù)值.中學階段研究的函數(shù)主要是用解析法表示的函數(shù). ⑵列表法:就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關系. 例如,數(shù)學用表中的平方表、平方根表、三角函數(shù)表,銀行里的利息表,列車時刻表等等都是用列表法來表示函數(shù)關系的. 用列表法表示函數(shù)關系的優(yōu)點:不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數(shù)值. ⑶圖象法:就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關系. 例如,氣象臺應用自動記錄器描繪溫度隨時間變化的曲線,課本中我國人口出生率變化的曲線,工廠的生產(chǎn)圖象,股市走向圖等都是用圖象法表示函數(shù)關系的. 用圖象法表示函數(shù)關系的優(yōu)點:能直觀形象地表示出自變量的變化,

10、相應的函數(shù)值變化的趨勢,這樣使得我們可以通過圖象來研究函數(shù)的某些性質. ⒋例題評價 例1(P54) 已知函數(shù)f(x)=3x2-5x+2,求f(3), f(-), f(a+1). 解:f(3)=3×32-5×3+2=14; f(-)=3×(-)2-5×(-)+2=8+5; f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a. 例2(補) 已知函數(shù)f(x)=4x+3,g(x)=x2,求f[f(x)],f[g(x)], g[f(x)],g[g(x)]. 解:f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15; f[g(x)]=4g(x)+3=4x2+3; g

11、[f(x)]=[f(x)]2=(4x+3)2=16x2+24x+9; g[g(x)]=[g(x)]2=(x2)2=x4. ⒌目標檢測 ⑴課本P56練習:1,2. ⑵(補充題) 已知f(x)=3x+1,求f(x2+1)與f(x2)+1相差多少. 答案:⑴課本練習:1.⑴定義域是{-3,-2,-1,0,1,2,3},值域是{0,1,4,9} ;⑵和x=-2對應的象是4;⑶y=9和原象-3,3對應. 2.f(0)=-3,f(2)=1,f(5)=7;函數(shù)的值域是{-3,-1,1,3,7}. ⑵(補充題):解:∵f(x2+1)=3(x2+1)+1=3x2+4,f(x2)+1=3x2+1+1

12、 =3x2+2,而f(x2+1)-f(x2)+1=3x2+4-(3x2+2)=2,∴f(x2+1)與f(x2)+1相差2. 三、小 結 ⒈函數(shù)是一種特殊的映射f:A→B,其中集合A,B必須是非空的數(shù)集;y=f(x)表示y是x的函數(shù); ⒉定義域、值域和對應法則是函數(shù)的三要素,定義域和對應法則一經(jīng)確定,值域隨之確定. ⒊f(x)與f(a)既有區(qū)別也有聯(lián)系:f(a)表示f(x)在x=a時的函數(shù)值,是常量;而f(x)是x的函數(shù),通常是變量. 4.表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法和圖象法三種. 四、布置作業(yè) (一)復習:課本內容,熟悉鞏固有關概念. (二)書面:課本P57習題2.2:1,3.

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