2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第23講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第23講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．能畫出y=sin x, y=cos x, y=tan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性； 2．借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在（－π/2，π/2）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點(diǎn)等）； 3．結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin（wx+φ）的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出y=Asin（wx+φ）的圖像，觀察參數(shù)A，w，φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響。 二．命題走向 近幾年高考降低了對(duì)三角變換的考查要求，而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)

2、是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來(lái)獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。 預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察為： 1．題型為1道選擇題（求值或圖象變換），1道解答題（求值或圖像變換）； 2．熱點(diǎn)問(wèn)題是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是y=Asin（wx+φ）的圖象及其變換； 三．要點(diǎn)精講 1．正

3、弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像 2．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 的遞增區(qū)間是， 遞減區(qū)間是； 的遞增區(qū)間是， 遞減區(qū)間是， 的遞增區(qū)間是， 3．函數(shù) 最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。 4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。 利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。 途徑一：先

4、平移變換再周期變換(伸縮變換) 先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。 先將y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個(gè)單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 5．由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數(shù)式： 給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（ωx+）的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)（－，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。 6．對(duì)稱軸與對(duì)稱中心： 的對(duì)稱軸為，

5、對(duì)稱中心為； 的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為； 對(duì)于和來(lái)說(shuō)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。 7．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間； 8．求三角函數(shù)的周期的常用方法： 經(jīng)過(guò)恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。 9．五點(diǎn)法作y=Asin（ωx+）的簡(jiǎn)圖： 五點(diǎn)取法是設(shè)x=ωx+，由x取0、、π、、2π來(lái)求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。 四．典例解析 題型1：三角函數(shù)的圖象 例1．（xx全國(guó)，5）函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是（

6、 ） 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝－xcosx是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A、C，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，y＝－xcosx＜0。答案為D。 例2．（xx上海，15）函數(shù)y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致圖象是（ ） 解析：由奇偶性定義可知函數(shù)y=x+sin|x|，x∈［－π，π］為非奇非偶函數(shù)。選項(xiàng)A、D為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為非奇非偶函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。 題型2：三角函數(shù)圖象的變換 例3．試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象。 解析：y=

7、sin（2x+） 另法答案： （1）先將y=sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，得y=sin2x的圖象； （2）再將y=sin2x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得y=sinx的圖象； （3）再將y=sinx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到y(tǒng)=sinx的圖象。 例4．（xx上海春，15）把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移個(gè)單位，再沿y軸向下平移1個(gè)單位，得到的曲線方程是（ ） A．（1－y）sinx+2y－3=0 B．（y－1）sinx+2y－3=0 C．（y+1）sinx+2y+1=0

8、 D．－(y+1)sinx+2y+1=0 解析：將原方程整理為：y=，因?yàn)橐獙⒃€向右、向下分別移動(dòng)個(gè)單位和1個(gè)單位，因此可得y=－1為所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0. 點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式。如果對(duì)平移有深刻理解，可直接化為：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C選項(xiàng)。 題型3：三角函數(shù)圖象的應(yīng)用 例5．已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為。 （１）右圖是（ω＞0，） 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求 的解析式； （２）如果t在任意一段秒的時(shí)間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？ 解析

9、:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力． （１）由圖可知 A＝300。 設(shè)t1＝－，t2＝， 則周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝。 ∴ ω＝＝150π。 又當(dāng)t＝時(shí)，I＝0，即sin（150π·＋）＝0， 而， ∴ ＝。 故所求的解析式為。 （２）依題意，周期T≤，即≤，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*， 故最小正整數(shù)ω＝943。 點(diǎn)評(píng):本題解答的開竅點(diǎn)是將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言．其中，讀圖、識(shí)圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑。 圖 例6．（1）（xx上海春，18）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>

10、0，x∈R）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，求直線y=與函數(shù)f（x）圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)。 解析：根據(jù)圖象得A=2，T=π－（－）=4π， ∴ω=，∴y=2sin（+）， 又由圖象可得相位移為－，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。 根據(jù)條件=2sin（），∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π（k∈Z）， ∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。 ∴所有交點(diǎn)坐標(biāo)為（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析和解決問(wèn)題的能力。 （2）（xx全國(guó)文5，理4）在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x取值范圍為（

11、 ） A．（，）∪（π，） B．（，π） C．（，） D．（，π）∪（，） 解析：C； 解法一：作出在（0，2π）區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和，由圖1可得C答案。 圖1 圖2 解法二：在單位圓上作出一、三象限的對(duì)角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選C。（如圖2） 題型4：三角函數(shù)的定義域、值域 例7．（1）已知f（x）的定義域?yàn)椋?，1］，求f（cosx）的定義域； （2）求函數(shù)y=lgsin（cosx）的定義域； 分析：求函數(shù)的定義域：（1）要使0≤co

12、sx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，這里的cosx以它的值充當(dāng)角。 解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。 ∴所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。 （2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。 又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。 故所求定義域?yàn)閧x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。 點(diǎn)評(píng)：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線。 例8．（xx京春，18）已知函數(shù)f（x）=，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域

13、。 解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠，k∈Z}， 因?yàn)閒（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 且f（－x）==f（x）。 所以f（x）是偶函數(shù)。 又當(dāng)x≠（k∈Z）時(shí)， f（x）=。 所以f（x）的值域?yàn)閧y|－1≤y<或

14、）|的圖象。 解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。 故由2kπ－≤－≤2kπ+。 3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調(diào)減區(qū)間； 由2kπ+≤－≤2kπ+。 3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調(diào)增區(qū)間。 ∴遞減區(qū)間為［3kπ－，3kπ+］， 遞增區(qū)間為［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。 （2）y=－|sin（x+）|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，減區(qū)間為［kπ－，kπ+］。 例10．（xx京皖春文，9）函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是（ ） A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z） B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z） C．［2kπ－π，2kπ

15、］（k∈Z） D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z） 解析：A；函數(shù)y=2x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間。 題型6：三角函數(shù)的奇偶性 例11．判斷下面函數(shù)的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。 分析：判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再看f（x）與f（－x）的關(guān)系。 解析：定義域?yàn)镽，又f（x）+f（－x）=lg1=0， 即f（－x）=－f（x），∴f（x）為奇函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要（但不充分）條件。 例12．（xx上海春）關(guān)于x的函數(shù)f（x）=sin（x+）有以下命題： ①對(duì)任意

16、的，f（x）都是非奇非偶函數(shù)； ②不存在，使f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)； ③存在，使f（x）是奇函數(shù)； ④對(duì)任意的，f（x）都不是偶函數(shù)。 其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_____.因?yàn)楫?dāng)=_____時(shí)，該命題的結(jié)論不成立。 答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z） 解析：當(dāng)=2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）=sinx是奇函數(shù)。當(dāng)=2（k+1）π，k∈Z時(shí)f（x）=－sinx仍是奇函數(shù)。當(dāng)=2kπ+，k∈Z時(shí)，f（x）=cosx，或當(dāng)=2kπ－，k∈Z時(shí)，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的。無(wú)論為何值都不能使f（x）恒等于零。所

17、以f（x）不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。①和④都是假命題。 點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問(wèn)題的能力，注意k∈Z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個(gè)空全答對(duì)才能得分。 題型7：三角函數(shù)的周期性 例13．求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時(shí)，y有最大值。 分析：將原函數(shù)化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解。 解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x） =1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+。 ∴T=。 當(dāng)cos4x=1，即x=（k∈Z）時(shí)

18、，ymax=1。 例14．設(shè)的周期，最大值， （1）求、、的值； （2）。 解析：(1) ， ， ， 又 的最大值。 ， ① ，且 ②， 由 ①、②解出 a=2 , b=3. (2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， 。 點(diǎn)評(píng)：方程組的思想是解題時(shí)常用的基本思想方法；在解題時(shí)不要忘記三角函數(shù)的周期性。 題型8：三角函數(shù)的最值 例15．（xx京春文，2）設(shè)M和m分別表示函數(shù)y=cosx－1的最大值和最小值，則M+m等于（ ） A． B．－

19、C．－ D．－2 解析：D；因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=cosx的最大值、最小值分別為1和－1。所以y=cosx－1的最大值、最小值為－和－。因此M+m=－2。 例16．（xx京、皖春理，10）函數(shù)y＝的最大值是（ ） A．－1 B．＋1 C．1－ D．－1－ 解析：B；。 五．思維總結(jié) 1．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在中學(xué)階段，對(duì)各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過(guò)觀察圖象而得到的。 2．作函數(shù)的圖象時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域。 3．對(duì)于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象。 4．求定義域時(shí)，若需先把式子化簡(jiǎn)，一定要注意變形時(shí)x的取值范圍不能發(fā)生變化。 5．求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。 6．函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個(gè)子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先將它們化歸為同一單調(diào)區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小。 7．判斷y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的單調(diào)區(qū)間，只需求y=Asin（ωx+）的相反區(qū)間即可，一般常用數(shù)形結(jié)合而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0＝單調(diào)區(qū)間時(shí)，則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎?，再設(shè)法求之。