2022年春八年級數(shù)學(xué)下冊 第1章 三角形的證明 1 等腰三角形教案 （新版）北師大版

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1、2022年春八年級數(shù)學(xué)下冊 第1章 三角形的證明 1 等腰三角形教案 （新版）北師大版教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1了解作為證明基礎(chǔ)的8條公理的內(nèi)容2使學(xué)生經(jīng)歷“探索 發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，學(xué)會用綜合法證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)定理3讓學(xué)生學(xué)會分析幾何證明題的思路，并掌握證明的基本步驟和書寫格式4經(jīng)歷作輔助線的證明過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識，培養(yǎng)主動探究的習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)及推論【教學(xué)難點(diǎn)】運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及推論解決相關(guān)問題及證明的書寫格式教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5 min閱讀】閱讀教材P2P3的內(nèi)容，完成下面練習(xí)【3 mi

2、n反饋】1兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等2全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等3等腰三角形的兩底角相等，簡述為：等邊對等角4等腰三角形“三線合一”：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合5如圖，已知12，則不一定能使ABDACD的條件是(B)ABDCDBABACCBCDBADCAD6如圖，ABCCDA，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(D)A12BACCACDBDACBC環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動1小組討論(師生互學(xué))【例1】如圖，ABACAD，若BAD80，則BCD()A80B100C140D160【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)由邊相等可以得到什么？這與BCD有什

3、么關(guān)系？【分析】BAD80，BBCDD360BAD280.又ABACAD，BACB，ACDD，BCDACBACD2802140.【答案】C【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)求角的度數(shù)時(shí)，需根據(jù)實(shí)際情況分析：(1)在等腰三角形中，要考慮三角形內(nèi)角和定理；(2)有平行線時(shí)，要考慮平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)兩條相交直線中，對頂角相等，互為鄰補(bǔ)角的兩角之和等于180.【例2】等腰三角形的一個(gè)角等于30，求它其余兩角的度數(shù)【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)等腰三角形的角有什么特征？已知角是頂角還是底角？【解答】分情況討論：當(dāng)?shù)捉菫?0時(shí)，頂角度數(shù)為180230120

4、；當(dāng)頂角為30時(shí)，底角度數(shù)為(18030)275.綜上，該等腰三角形其余兩角的度數(shù)為30，120或75，75.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)已知的一個(gè)銳角可以是等腰三角形的頂角，也可以是底角；一個(gè)鈍角只能是等腰三角形的頂角分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1至少有兩邊相等的三角形是(B)A等邊三角形B等腰三角形C直角三角形D銳角三角形2在ABC中，若ABAC，A44，則B68度3已知等腰三角形兩條邊的長分別是3和6，則它的周長等于15.4如圖所示，已知ABAC，F(xiàn)DBC于點(diǎn)D，DEAB于點(diǎn)E，若AFD145，則EDF55度5如圖所示，點(diǎn)D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，ABAC，12.

5、求證：AD平分BAC.證明：12，BDDC.ABAC，ADAD，ADBADC，BADCAD，即AD平分BAC.活動3拓展延伸(學(xué)生對學(xué))【例3】如圖，在ABC中，已知ABAC，BAC和ACB的平分線相交于點(diǎn)D，ADC125.求ACB和BAC的度數(shù)【互動探索】根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得AEBC求出CDE根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”求出DCE根據(jù)角平分線的定義求出ACB根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”列式求出BAC.【解答】ABAC，AE平分BAC，AEBC.ADC125，CDE180ADC55，DCE90CDE35.又CD平分ACB，ACB2DCE70.ABAC，BACB70，BAC180(BA

6、CB)40.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，有兩種類型：一是求邊長，求邊長時(shí)應(yīng)利用等腰三角形底邊上的中線與其他兩線互相重合；二是求角度的大小，求角度時(shí)，應(yīng)利用等腰三角形的頂角平分線或底邊上的高與其他兩線互相重合環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)1兩三角形全等的判定：AAS、ASA、SSS、SAS.2等腰三角形 練習(xí)設(shè)計(jì)請完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí)！第2課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，了解等腰三角形兩底角的平分線(兩腰上的高、中線)的性質(zhì)2學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用其解決問題3把等腰三角形與等邊三角形

7、的性質(zhì)進(jìn)行比較，體會等腰三角形和等邊三角形的相同之處和不同之處二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)【教學(xué)難點(diǎn)】等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5 min閱讀】閱讀教材P5P6的內(nèi)容，完成下面練習(xí)【3 min反饋】1等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；等腰三角形兩腰上的高相等；等腰三角形兩腰上的中線相等2等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60.3一個(gè)等腰非等邊三角形中，它的角平分線、中線及高線的條數(shù)共為(重合的算一條)(B)A9B7C6D54等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于(B)A頂角B頂角的一半C頂角的2倍D底角的一半環(huán)

8、節(jié)2合作探究，解決問題活動1小組討論(師生互學(xué))【例1】 如圖，在ABC中，ABAC，CDAB于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，求證：DEBC.【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)要證DEBC，需證ADEABC，從而結(jié)合已知條件考慮證BECCDB即可【證明】ABAC，ABCACB.又CDAB于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，AEBADC90，ABEACD，ABCABEACBACD，EBCDCB.在BEC和CDB中， BECCDB，BDCE，ABBDACCE，即ADAE，ADEAED.又A是ADE和ABC的頂角，ADEABC，DEBC.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的中線相等，兩腰上

9、的高相等【例2】如圖，ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)BE、DE.若ABE40，BEDE，求CED的度數(shù)【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)由ABC是等邊三角形可以得到哪些結(jié)論？如何利用這些結(jié)論求CED?【解答】ABC是等邊三角形，ABCACB60.ABE40，EBCABCABE20.BEDE，DEBC20，CEDACBD40.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60，這個(gè)性質(zhì)常常應(yīng)用在求三角形角度的問題上，所以必須熟練掌握活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，ABBCACBD，則ADC的大小為(

10、D)A120B135C145D1502如圖所示，ABC為等邊三角形，AQPQ，PRPS，PRAB于點(diǎn)R，PSAC于點(diǎn)S，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是(A)點(diǎn)P在BAC的平分線上； ASAR；QPAR；BRPCSP.A全部正確B僅和正確C僅和正確D僅和正確3已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為40，則此等腰三角形的頂角為50或130.4如圖所示，已知lm，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾銳角為20，求的度數(shù)解：如題圖，過點(diǎn)C作CE直線m.lm，lmCE，ACE，BCECBF20.在等邊三角形ABC中，ACB60，CBFACB60，40.5如圖，ABC為正三角形，

11、點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是邊CA上任意一點(diǎn)，且BMCN，BN與AM相交于點(diǎn)Q，求BQM的度數(shù)解：ABC為正三角形，ABCCBAC60，ABBC.在AMB和BNC中， AMBBNC，BAMCBN，BQMABQBAMABQCBNABC60.活動3拓展延伸(學(xué)生對學(xué))【例3】如圖，已知等邊ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為M，求證：BMEM.【互動探索】要證BMEM，由題意證BDMEDM即可【證明】連結(jié)BD.在等邊ABC中，D是AC的中點(diǎn)，ABCACB60，DBCABC30.CECD，CDEE.ACBCDEE，E30，DBCE30.DMBC，DMBDM

12、E90.在DMB和DME中， DMBDME，BMEM.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)證明線段相等可以利用三角形全等得到此外，要明確等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性質(zhì)完全適合等邊三角形環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)1等腰三角形兩底角的平分線相等，等腰三角形兩腰上的高相等；等腰三角形兩腰上的中線相等2等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60.練習(xí)設(shè)計(jì)請完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí)！第3課時(shí)等腰三角形的判定與反證法教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo) 1.理解等腰三角形的判定定理，并會運(yùn)用其進(jìn)行簡單的證明2了解反證法的基本證明思路，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，并能簡單應(yīng)用二、重難點(diǎn)目標(biāo)

13、【教學(xué)重點(diǎn)】掌握等腰三角形的判定定理【教學(xué)難點(diǎn)】利用反證法進(jìn)行證明教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5 min閱讀】閱讀教材P8P9的內(nèi)容，完成下面練習(xí)【3 min反饋】1有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，簡述為：等角對等邊2先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法3用反證法證明命題“一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，至多有一個(gè)銳角”的第一步是假設(shè)三角形的三個(gè)外角中，有兩個(gè)銳角4如圖所示，在ABC中，A36，ABAC，BD是ABC的角平分線若在邊AB上截取BEBC，連結(jié)DE，則圖中等腰三角形共有(D)A2個(gè)B3

14、個(gè)C4個(gè)D5個(gè)環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動1小組討論(師生互學(xué))【例1】 如圖，在ABC中，ACB90，CD是AB邊上的高，AE是BAC的平分線，AE與CD交于點(diǎn)F，求證：CEF是等腰三角形【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)要證CEF是等腰三角形，結(jié)合已知條件考慮證明CECF即可【證明】在ABC中，ACB90，BBAC90.CD是AB邊上的高，ACDBAC90，BACD.AE是BAC的平分線，BAEEAC.又BBAEAEC，ACDEACCFE，CEFCFE，CECF，CEF是等腰三角形【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個(gè)三

15、角形中，若在兩個(gè)不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立【例2】求證：ABC中不能有兩個(gè)鈍角【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)用反證法證明時(shí)，假設(shè)什么？【證明】假設(shè)ABC中能有兩個(gè)鈍角，不妨設(shè)A90，B90，C90，所以ABC180，這與三角形的內(nèi)角和為180矛盾，所以假設(shè)不成立，因此原命題正確，即ABC中不能有兩個(gè)鈍角【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)反證法的步驟：(1)假設(shè)結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；(3)假設(shè)不成立，則結(jié)論成立在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論反面的所有可能的情況如果只有一種，那么否定一種就可以了；如果有多種情況，則必須一一否定活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1用反證法證明命題“三角

16、形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中(C)A有一個(gè)內(nèi)角大于60B有一個(gè)內(nèi)角小于60C每一個(gè)內(nèi)角都大于60D每一個(gè)內(nèi)角都小于602在等腰梯形ABCD中，ABC2ACB，BD平分ABC，ADBC，則圖中的等腰三角形有(D)A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)3如圖，在43的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B分別在格點(diǎn)上，在圖中確定格點(diǎn)C，則以A、B、C為頂點(diǎn)的等腰三角形有3個(gè)4用反證法證明等腰三角形的底角必為銳角證明：不妨設(shè)等腰三角形ABC中，A為頂角，則分情況證明設(shè)B、C都是直角，則BC180，故ABC180A180，這與三角形內(nèi)角和等于180矛盾；設(shè)B、C都是鈍角，則BC180，故ABC180，

17、這與三角形內(nèi)角和等于180矛盾綜上所述，假設(shè)錯(cuò)誤，所以B、C只能為銳角，即等腰三角形的底角必為銳角5如圖所示，D為ABC的邊AB的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DFAC，垂足為點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BDBE，求證：ABC是等腰三角形證明：DFAC，DFAEFC90，AD90，C190，ADC1.BDBE，2D.12，1D，ADCD，AC，ABBC，ABC是等腰三角形活動3拓展延伸(學(xué)生對學(xué))【例3】如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BECF，BDCE.(1)求證：DEF是等腰三角形；(2)當(dāng)A50時(shí)，求DEF的度數(shù)【互動探索】(1)根據(jù)“等邊對等角”可得BC，從而利

18、用“邊角邊”證明BDECEF，進(jìn)而根據(jù)“全等三角形對應(yīng)邊相等”可得DEEF，即可證得結(jié)論；(2)根據(jù)“全等三角形對應(yīng)角相等”可得BDECEF，從而得到BEDCEFBEDBDE，再利用三角形的外角定理求出BDEF，進(jìn)而求出DEF.【解答】(1)證明：ABAC，BC.在BDE和CEF中， BDECEF，DEEF，DEF是等腰三角形(2)BDECEF，BDECEF，BEDCEFBEDBDE.BBDEDEFCEF，BDEF.A50，ABAC，B(180A)65，DEF65.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)等腰三角形提供了很多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段

19、環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)1等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊)2反證法的步驟：(1)假設(shè)結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；(3)假設(shè)不成立，則結(jié)論成立練習(xí)設(shè)計(jì)請完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí)！第4課時(shí)等邊三角形的判定及含30角的直角三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1理解等邊三角形的判定定理及其證明，理解含有30角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這些定理解決一些簡單的問題2經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明【教學(xué)難點(diǎn)】理解并掌握含30角直角三角形的

20、性質(zhì)，能靈活運(yùn)用其解決有關(guān)問題教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5 min閱讀】閱讀教材P10P12的內(nèi)容，完成下面練習(xí)【3 min反饋】1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形2在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半3等邊三角形中，兩條中線所夾的鈍角的度數(shù)為(A)A120B130C150D1604下列三角形：有兩個(gè)角等于60；有一個(gè)角等于60的等腰三角形；三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角)都相等的三角形；一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形其中是等邊三角形的有(D)ABCD環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動1小組討論(師生互學(xué)

21、)【例1】已知a、b、c是ABC的三邊，且滿足關(guān)系式a2c22ab2bc2b2，試說明ABC是等邊三角形【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)證明ABC是等邊三角形應(yīng)從哪些角度考慮？(邊、角)結(jié)合已知條件，本題應(yīng)從邊的角度考慮證明ABC是等邊三角形【證明】原關(guān)系式整理，得a2c22ab2bc2b20，a2b22abc22bcb20，(ab)2(bc)20，ab0且bc0，即ab且bc，abc，ABC是等邊三角形【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)(1)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零；(2)有兩邊相等的三角形是等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形【例2】如圖

22、，在RtABC中，ACB90，B30，CD是斜邊AB上的高，AD3 cm，則AB的長度是()A3 cmB6 cmC9 cmD12 cm【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，ADC90，ACDB30，在RtACD中，AC2AD6 cm，在RtABC中，AB2AC12 cm.即AB的長度是12 cm.【答案】D【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時(shí)，要分清線段所在的直角三角形活動2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1若三角形中，三條中線都垂直于所對的邊，則此三角形是(D)A等腰三角形B鈍角三角形C直角三角形D等邊三角形2下列說法錯(cuò)誤的是(C)A等邊

23、三角形是等腰三角形B一個(gè)外角的平分線平行于一邊的三角形是等腰三角形C有兩個(gè)內(nèi)角不相等的三角形不是等腰三角形D有兩個(gè)內(nèi)角分別是70和40的三角形是等腰三角形3ABC中，ABAC，AC，則B60.4在ABC中，BC15，AB2 cm，CDAB交BA的延長線于點(diǎn)D，則CD的長度是1 cm.5如圖所示，P、Q是ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且BPPQQCAPAQ，求BAC的度數(shù)解：PAPQAQ，APQ是等邊三角形，APQPQAQAP60.PAPB，BPAB.又BPABAPQ60，PBAPAB30.同理，QAC30，BACBAPPAQQAC306030120.活動3拓展延伸(學(xué)生對學(xué))【例3】如圖，在EBD中，

24、EBED，點(diǎn)C在BD上，CECD，BECE，A是CE延長線上一點(diǎn)，ABBC.試判斷ABC的形狀，并證明你的結(jié)論【互動探索】由CECD，EBED，根據(jù)“等邊對等角”及三角形外角性質(zhì)，可得CBEECB.再由BECE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得ECB60.又ABBC，從而得出ABC是等邊三角形【解答】ABC是等邊三角形證明如下：CECD，CEDD.又ECBCEDD，ECB2D.BEDE，CBED，ECB2CBE，CBEECB.BECE，CEB90.又ECBCBECEB180，ECBECB90180，ECB60.又ABBC，ABC是等邊三角形【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)(1)已知一個(gè)三角形中兩邊相等，要證明這個(gè)三角形是等邊三角形，有兩種方法：證明另一邊也與這兩邊相等；證明這個(gè)三角形中有一個(gè)角等于60.(2)已知一個(gè)三角形中有一個(gè)角等于60，要證明這個(gè)三角形是等邊三角形，有兩種方法：證明另外兩個(gè)角也等于60；證明這個(gè)三角形中有兩邊相等環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)1等邊三角形的判定定理： 2含30角的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半練習(xí)設(shè)計(jì)請完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí)！