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1、2022年高三數(shù)學 第53課時 雙曲線教案
教學目標:掌握雙曲線的兩種定義,標準方程,雙曲線中的基本量及它們之間的基本關(guān)系
教學重點:熟練掌握雙曲線的定義、標準方程、簡單的幾何性質(zhì)及應用.
(一) 主要知識及主要方法:
定義
到兩個定點與的距離之差的絕對值等于定長()的點的軌跡
到定點與到定直線的距離之比等于常數(shù)()的點的軌跡
標準方程
()
()
簡圖
幾何性質(zhì)
焦點坐標
,
,
頂點
,
,
范圍
≥,
≥,
準線
漸近線方程
焦半徑
,
2、
在左支上用“”,
在右支上用“”
,
在下支上用“”,
在上支上用“”
對稱性
關(guān)于軸均對稱,關(guān)于原點中心對稱;
離心率
的關(guān)系
焦點三角形的面積:(,為虛半軸長)
與共漸近線的雙曲線方程-().
與有相同焦點的雙曲線方程-(且)
雙曲線形狀與的關(guān)系:,越大,即漸近線的斜率的絕對值就越大,這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊,即雙曲線的離心率越大,它的開口就越闊.
(二)典例分析:
問題1.根據(jù)下列條件,求雙曲線方程:
與雙曲線有共同的漸近線,且過點;
與雙曲線有公共焦點,且過點;
以橢圓的長軸端點
3、為焦點,且過點;
經(jīng)過點,且一條漸近線方程為;
雙曲線中心在原點,焦點在坐標軸上,離心率為,且過點.
問題2.設(shè)是雙曲線的右支上的動點,為雙曲線的右焦點,已知,①求的最小值;②求的最小值.
(天津市質(zhì)檢)由雙曲線上的一點與左、右兩焦點、構(gòu)成,
求的內(nèi)切圓與邊的切點坐標.
問題3.已知雙曲線方程為
(,)的左、右兩焦點、,
為雙曲線右支上的一點,,,
的平分線交軸于,求雙曲線方程.
問題4.(湖北聯(lián)考)
4、已知雙曲線方程為(,),雙曲線斜率大于零的漸近線交雙曲線的右準線于點,為右焦點,求證:直線與漸近線
垂直;若的長是焦點到直線的距離,,且雙曲線的離心率,
求雙曲線的方程;延長交左準線于,交雙曲線左支于,使為的中點,
求雙曲線的離心率.
問題5.已知直線:與雙曲線與右支有兩個交點、,
問是否存在常數(shù),使得以為直徑的圓過雙曲線的右焦點?
(三)課后作業(yè):
(北京春)雙曲線的漸近線方程是
雙曲線的漸近線方程為,且焦距為,則雙曲線方程為
或
5、
雙曲線的離心率,則的取值范圍是
若方程表示焦點在軸上的雙曲線,則的范圍是
雙曲線的兩個焦點,點在雙曲線上,且,則的面積是
與圓及圓都外切的圓的圓心軌跡方程為
過點作直線,如果它與雙曲線有且只有一個公共點,則直線的條數(shù)是
過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于、兩點,若,則這樣的直線有 條 條 條 不存在
雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率分別為,則應滿足的關(guān)系是
6、
如果分別是雙曲線的左、右焦點,是雙曲線左支上過點的弦,
且,則的周長是
(濰坊一模)雙曲線的左支上的點到右焦點的距離為,則點的坐標為
設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點,為左準線,為雙曲線
左支上一點,點到的距離為,已知,,成等差數(shù)列,求的值
設(shè)雙曲線的右支上存在與右焦點和左準線等距離的點,求離心率的取值范圍.
(全國)設(shè)點到點、距離之差為,到軸、軸距離之比為,求的取值范圍.
7、
(四)走向高考:
(湖南)如果雙曲線上一點到右焦點的距離為,那么點到右準線的距離是
(湖南文)已知雙曲線-(,)的右焦點為,右準線與
一條漸近線交于點,的面積為(為原點),則兩條漸近線的夾角為
(陜西)已知雙曲線 ()的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為
(陜西)已知雙曲線:(,)
8、,以的右焦點為圓心
且與的漸近線相切的圓的半徑是
(全國Ⅱ)設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點,若雙曲線上存在點
,使且,則雙曲線的離心率為
(全國Ⅱ)已知雙曲線的一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為
(湖南)過雙曲線:的左頂點作斜率為的直線, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 且, 則雙曲線的離心率是
(遼寧)曲線與曲線的
焦距相等 離心率相
9、等 焦點相同 準線相同
(福建文)以雙曲線的右焦點為圓心,且與其右準線相切的圓的方程是
(福建)以雙曲線的右焦點為圓心,且與其漸近線相切的圓的方程是
(遼寧)設(shè)為雙曲線上的一點,是該雙曲線的兩個焦點,
若,則的面積為
(安徽)如圖,和分別是雙曲線的兩個焦點,和是以為圓心,以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,且是等邊三角形,則雙曲線的離心率為
(江蘇)在平面直角坐標系中,雙曲線中心在原點,焦點在
10、軸上,一條漸近線方程為,則它的離心率為
(湖北文)過雙曲線左焦點的直線交曲線的左支于兩點,為其右焦點,則的值為
(江西)
設(shè)動點到點和的距離分別為和,,且存在常數(shù),使得.
證明:動點的軌跡為雙曲線,并求出的方程;
過點作直線雙曲線的右支于兩點,試確定的范圍,使,其中點為坐標原點.
(安徽)如圖,為雙曲線:的
右焦點.為雙曲線右支上一點,且位于軸上方,
為左準線上一點,為坐標原點.已知四邊形
為平行四邊形,.
寫出雙曲線的離心率與的關(guān)系式;
當時,經(jīng)過焦點且平行于的
直線交雙曲線于、點,若,
求此時的雙曲線方程.