2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（講）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（講） 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測(cè) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點(diǎn)取到極值的條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極 小值，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題. xx?浙江文科21，理科8，22； xx?浙江文科21，理科22； xx?浙江卷7，20. 1.以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結(jié)合； 2.單獨(dú)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn)，綜合研究函數(shù)的性質(zhì)以大題呈現(xiàn)； 3.適度關(guān)注生

2、活中的優(yōu)化問題. 3.備考重點(diǎn)： (1) 熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是基礎(chǔ)； (2) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）的基本方法，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題. 【知識(shí)清單】 1. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù)圖象的識(shí)別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號(hào)等.解決此類問題應(yīng)先觀察選項(xiàng)的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而得到正確的選項(xiàng).如該題中函數(shù)解析式雖然比較復(fù)雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項(xiàng). 對(duì)點(diǎn)練習(xí)： 【xx浙江卷】函數(shù)y=f(x)

3、的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是 【答案】D 2．與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題 1．方程有實(shí)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)． 2．求極值的步驟： ①先求的根（定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去）； ②分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則為極小值點(diǎn)；若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則為極大值點(diǎn). 3．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn)，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域. 4．函數(shù)的零點(diǎn)就是的根，所以可通過解方程得零點(diǎn)，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)

4、熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo). 對(duì)點(diǎn)練習(xí)： 【xx新課標(biāo)1卷】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). (I)求a的取值范圍； (II)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明：. 【答案】 【解析】 （Ⅰ）． （i）設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)． （ii）設(shè),則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增． 又,,取滿足且,則 , 故存在兩個(gè)零點(diǎn)． （Ⅱ）不妨設(shè),由（Ⅰ）知,,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即． 由于,而,所以 ． 設(shè),則． 所以當(dāng)時(shí),,而,故當(dāng)時(shí),． 從而,故． 3．與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題 不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不

5、等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理． ： 對(duì)點(diǎn)練習(xí)： 設(shè)，函數(shù)，若對(duì)任意的，都有成立，則的取值范圍為 ． 【答案】 4．利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問題 無論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性和最值），達(dá)到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶. 對(duì)點(diǎn)練習(xí)： 【xx課標(biāo)II，理】已知函數(shù)，且。 (1)求； (2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且。 【答案】

6、(1)； (2)證明略。 【解析】 （2）由（1）知 ，。 設(shè)，則。 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ， 所以 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增。 【考點(diǎn)深度剖析】 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)的零點(diǎn)等．從題型看，往往有一道選擇題或填空題，有一道解答題.其中解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結(jié)合考查，且有綜合化更強(qiáng)的趨勢(shì)． 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【1-1】【xx河南開封10月月考】函數(shù)y=4cosx-e|x|（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是

7、 A B C D 【答案】A 【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除B、D，若時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)時(shí)， ，，，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，選A. 【1-2】【xx·全國(guó)卷Ⅰ】函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為(　　) 【答案】D 【領(lǐng)悟技法】 導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 【觸類旁通】 【變式一】

8、【xx江西新余二模】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后得到的圖象，設(shè)，則的圖象大致為（ ） 【答案】A 【變式二】【xx·麗水模擬】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是(　　) A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1) C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2) D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2) 【答案】D 【解析】由題圖，當(dāng)x＜－2時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)－2＜x＜1時(shí)，f′

9、(x)＜0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值． 考點(diǎn)2 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題 【2-1】【xx浙江杭州二?！吭O(shè)方程（， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（ ） A. 當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根 B. 當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C. 當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 【答案】D 【2-2】【xx課標(biāo)3，理11】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a= A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】 試題分析：函數(shù)的零點(diǎn)滿足， 設(shè)，則， 當(dāng)

10、時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值， 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值 ， 【領(lǐng)悟技法】 1.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象. 2.方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理. 3. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與 軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題． 【觸類旁通】

11、 【變式一】【xx湖南長(zhǎng)沙二?！恳阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ，則對(duì)任意，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有（ ） A. 3個(gè) B. 4個(gè) C. 6個(gè) D. 9個(gè) 【答案】A 【解析】當(dāng)時(shí),由此可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， , 且,數(shù)是定義在上的奇函數(shù)， ，而時(shí)， ,所以的圖象如圖，令,則，由圖可知，當(dāng)時(shí)方程至多3個(gè)根，當(dāng)時(shí)方程沒有根，而對(duì)任意， 至多有一個(gè)根，從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有3個(gè). 【變式二】【xx安徽阜陽二?！恳阎瘮?shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) ）. （1）當(dāng)是，求證： ； （2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ） 試題

12、解析：（Ⅰ） ， .得： 且在上單增，在上單減 （Ⅱ） 故等價(jià)于在上有唯一極大值點(diǎn) 得： 故 令 ，則 又在上單增，由，得 綜上， 考點(diǎn)3 與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題 【3-1】若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 【答案】 所以在上是增函數(shù)，在是減函數(shù).所以，所以.(2)令，則，因?yàn)椋?，所以易知，所以在上是增函?shù).易知當(dāng)時(shí)，，故在上無最小值，所以在上不能恒成立.綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是. 【3-2】已知函數(shù)． （1）求在上的最小值； （2）若關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

13、 【答案】（1） ；（2）. 【解析】 ∴若，的最小值為，．．．4分若，的最小值為， 綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)，的最小值為 （2）由（1）知，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為， 且在上，又，則．又． ∴時(shí)，由不等式得或，而解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合題意； 時(shí)，由不等式得，解集為， 整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合題意； 時(shí)，由不等式得或， ∵解集為無整數(shù)解， 若不等式有兩整數(shù)解，則， ∴ 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 【領(lǐng)悟技法】 含參數(shù)的不等式恒成立、有解、無解的處理方法：①的圖象和圖象特點(diǎn)考考慮；②構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為的最值處理；③參變分離法，將不等式等價(jià)變形為，或

14、，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 【觸類旁通】 【變式一】已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【變式二】【xx福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù)， ． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：過點(diǎn)有三條直線與曲線相切； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)， ，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（I）詳見解析；（II）. 【解析】 解法一：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ， 設(shè)直線與曲線相切，其切點(diǎn)為， 則曲線在點(diǎn)處的切線方程為： ， 因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以， 即 ， ∵，∴， 設(shè)， ∵， ， ， ∴在三個(gè)區(qū)間上至少

15、各有一個(gè)根 又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻€(gè)根，所以方程恰有三個(gè)根， 故過點(diǎn)有三條直線與曲線相切． （1）當(dāng)時(shí)，∵，∴，從而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立） ∴在上單調(diào)遞增， 又∵，∴當(dāng)時(shí)， ，從而當(dāng)時(shí)， ， ∴在上單調(diào)遞減，又∵， 從而當(dāng)時(shí)， ，即 于是當(dāng)時(shí)， ． （2）當(dāng)時(shí)，令，得，∴， 故當(dāng)時(shí)， ， ∴在上單調(diào)遞減， 又∵，∴當(dāng)時(shí)， ， 從而當(dāng)時(shí)， ， 解法二：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ， ， 設(shè)直線與曲線相切，其切點(diǎn)為， 則曲線在點(diǎn)處的切線方程為， 因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以， 即 ， ∵，∴ 設(shè)，則，令得 當(dāng)變化時(shí)， ， 變化情況如下表：

16、 + 0 - 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 考點(diǎn)4利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問題 【4-1】若的定義域?yàn)椋愠闪?，，則解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，又，所以解集為. 【4-2】【xx浙江溫州二?！?證明： （1）當(dāng)，； （2）對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，. 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析. 【解析】試題解析： 證明：（1）考慮函數(shù)，， 則的導(dǎo)數(shù)， 從而， 故在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增， 因此對(duì)任意，都有， 即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

17、，等號(hào)成立）①， 所以當(dāng)時(shí)，，即； （2）由①可知當(dāng)時(shí)，， 即當(dāng)時(shí)，②； 當(dāng)時(shí)，③. 令函數(shù)，， 注意到，故要證②與③，只需證明在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增. 【領(lǐng)悟技法】 1.利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)>0，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個(gè)突破口. 2.利用導(dǎo)數(shù)解不等式的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性 ，從而解不等式的方法. 【觸類旁通】 【變式一】【xx廣東佛山二模】設(shè)函數(shù)，其中，

18、是自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍； （Ⅱ）若，證明： . 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析. 【解析】試題分析：（I）由于函數(shù)單調(diào)遞增，故導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，分離常數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此得到的取值范圍；（II）將原不等式，轉(zhuǎn)化為，令，求出的導(dǎo)數(shù)，對(duì)分成兩類，討論函數(shù)的最小值，由此證得，由此證得. 試題解析： 令， ， 是上的減函數(shù)， 又，故1是的唯一零點(diǎn)， 當(dāng)， ， ， 遞增；當(dāng)， ， ， 遞減； 故當(dāng)時(shí)， 取得極大值且為最大值， 所以，即的取值范圍是. （Ⅱ） . 令（），以下證明當(dāng)時(shí)， 的最小值大于0. 求導(dǎo)得 . ①當(dāng)時(shí)， ，

19、； ②當(dāng)時(shí)， ，令， 則 ，又 ， 取且使，即，則 ， 因?yàn)?，故存在唯一零點(diǎn)， 即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，又， 【變式二】【xx課標(biāo)3，理21】已知函數(shù) . （1）若 ，求a的值； （2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n ，求m的最小值. 【答案】(1) ； (2) 【解析】 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例：已知函數(shù). （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得＜，求的取值范圍． 易錯(cuò)分析：（Ⅰ）忽視定義域致誤；（Ⅱ）對(duì)全稱量詞和特稱量詞理解不深刻致誤． 正確解析：. （Ⅰ）. ①當(dāng)時(shí)，，， 在區(qū)間上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

20、單調(diào)遞減區(qū)間是. ②當(dāng)時(shí)，， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. ③當(dāng)時(shí)，， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是. ④當(dāng)時(shí)，， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. ②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 故. 由可知，，， 所以，，， 綜上所述，, 溫馨提醒：(1)研究函數(shù)問題應(yīng)豎立定義域優(yōu)先原則；(2) 任意，指的是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)自變量；存在，指的是區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)自變量，故本題是恒成立問題和有解問題的組合. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 ——————化抽象為具體——數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合是一種重要

21、的數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).? 數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍. , 在解答導(dǎo)數(shù)問題中，主要存在兩類問題，一是“有圖考圖”，二是 “無圖考圖”，如： 【典例1】已知是常數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（ ） 【答案】D 【解析】 【典例2】已知函數(shù)（a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象在點(diǎn)A（e,1）處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____. 【答案】 【解析】