2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一篇集合與常用邏輯用語第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教案 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一篇集合與常用邏輯用語第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教案 理 【xx年高考會這樣考】 1．考查四種命題的意義及相互關(guān)系． 2．考查對充分條件、必要條件、充要條件等概念的理解． 3．考查題型主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，常與集合、幾何等知識結(jié)合命題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)時一定要緊扣概念，聯(lián)系具體數(shù)學(xué)實(shí)例，理清命題之間的相互關(guān)系，重點(diǎn)解決：(1)命題的概念及命題構(gòu)成；(2)四種命題及四種命題間的相互關(guān)系；(3)充分條件、必要條件、充要條件的概念的理解及判定．　　 基礎(chǔ)梳理 1．命題的概念 在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述

2、句叫做命題．其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題． 2．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題 命　題 表述形式 原命題 若p，則q 逆命題 若q，則p 否命題 若綈p，則綈q 逆否命題 若綈q，則綈p (2)四種命題間的逆否關(guān)系 (3)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 3．充分條件、必要條件與充要條件 (1)如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件； (2)如果p?q，q?p，則p是q的充要條件． 一個區(qū)別 否命題與命題的否定是兩

3、個不同的概念：①否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造的一個新的命題；②命題的否定只是否定命題的結(jié)論，常用于反證法． 兩條規(guī)律 (1)逆命題與否命題互為逆否命題； (2)互為逆否命題的兩個命題同真假． 三種方法 充分條件、必要條件的判斷方法 (1)定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件． (2)等價法：利用p?q與綈q?綈p，q?p與綈p?綈q，p?q與綈q?綈p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價法． (3)集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件

4、；若A＝B，則A是B的充要條件． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)以下三個命題：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要條件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要條件．其中真命題的序號是________． 解析?、儆?＞－3?/ 22＞(－3)2知，該命題為假； ②a2＞b2?|a|2＞|b|2?|a|＞|b|，該命題為真； ③a＞b?a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c?a＞b； ∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要條件為真命題． 答案?、冖? 2．(xx·陜西)設(shè)a，b是向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是(　　

5、)． \A．若a≠－b，則|a|≠|(zhì)b| B．若a＝－b，則|a|≠|(zhì)b| C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－b D．若|a|＝|b|，則a＝－b 解析　“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是“若|a|＝|b|，則a＝－b”． 答案　D 3．(xx·山東)對于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的(　　)． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　若y＝f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)， ∴|f(－x)|＝|－f

6、(x)|＝|f(x)|， ∴y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，但若y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函數(shù)，故選B. 答案　B 4．(xx·安徽)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是(　　)． A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C．存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù) D．存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 解析　原命題是全稱命題，則其否定是特稱命題，故選D. 答案　D 5．命題“若a＞b，則2a＞2b－1”的否命題為 . 答案 若a≤b，則有2a≤2

7、b－1 考向一　命題正誤的判斷 【例1】?(xx·海南三亞)設(shè)集合A、B，有下列四個命題： ①A?B?對任意x∈A都有x?B； ②A?B?A∩B＝?； ③A?B?B?A； ④A?B?存在x∈A，使得x?B. 其中真命題的序號是______(把符合要求的命題序號都填上)． [審題視點(diǎn)] 對于假命題，舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢且浑y點(diǎn)． 解析　①不正確，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A?B但2∈A且2∈B. ②不正確，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A?B而A∩B＝{2}． ③不正確，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A?B但B?A. ④正確． 答案　④ 正確

8、的命題要有充分的依據(jù)，不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時舉出反例可能比進(jìn)行推理論證更困難，二者同樣重要． 【訓(xùn)練1】 給出如下三個命題： ①四個非零實(shí)數(shù)a，b，c，d依次成等比數(shù)列的充要條件是ad＝bc； ②設(shè)a，b∈R，且ab≠0，若＜1，則＞1； ③若f(x)＝log2x，則f(|x|)是偶函數(shù)． 其中不正確命題的序號是(　　)． A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 解析　對于①，可舉反例：如a，b，c，d依次取值為1,4,2,8，故①錯；對于②，可舉反例：如a、b異號，雖然＜1，但＜0，故②錯；對于③，y＝f(

9、|x|)＝log2|x|，顯然為偶函數(shù)，故選B. 答案　B 考向二　四種命題的真假判斷 【例2】?已知命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的是(　　)． A．否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m＞1”，是真命題 B．逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，是假命題 C．逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”，是真命題 D．逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”，是真命題 [審題視點(diǎn)] 分清命題的

10、條件和結(jié)論，理解四種命題間的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 解析　f′(x)＝ex－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤ex在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，這說明原命題正確，反之若m≤1，則f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命題正確，但對增函數(shù)的否定不是減函數(shù)，而是“不是增函數(shù)”，故選D. 答案　D 判斷四種形式的命題真假的基本方法是先判斷原命題的真假，再判斷逆命題的真假，然后根據(jù)等價關(guān)系確定否命題和逆否命題的真假．如果原命題的真假不好判斷，那就首先判斷其逆否命題的真假． 【訓(xùn)練2】 已知命題“函數(shù)f(x)、g(x)定義在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均為奇函

11、數(shù)，則h(x)為偶函數(shù)”的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個數(shù)是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由f(x)、g(x)均為奇函數(shù)，可得h(x)＝f(x)·g(x)為偶函數(shù)，反之則不成立，如h(x)＝x2是偶函數(shù)，但函數(shù)f(x)＝，g(x)＝ex都不是奇函數(shù)，故逆命題不正確，故其否命題也不正確，即只有原命題和逆否命題正確． 答案　C 考向三　充要條件的判斷 【例3】?指出下列命題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)． (1)在△A

12、BC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)對于實(shí)數(shù)x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0， q：(x－1)(y－2)＝0. [審題視點(diǎn)] 結(jié)合充分條件，必要條件的定義判斷所給命題間的關(guān)系． 解　(1)在△ABC中，∠A＝∠B?sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因?yàn)锳與B不可能互補(bǔ)(因?yàn)槿切稳齻€內(nèi)角和為180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要條件． (2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，顯然綈q?綈p，但綈p

13、?/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要條件，根據(jù)原命題和逆否命題的等價性知，p是q的充分不必要條件． (3)顯然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分條件． (4)條件p：x＝1且y＝2，條件q：x＝1或y＝2， 所以p?q但q?/ p，故p是q的充分不必要條件． 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q，二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題． 【訓(xùn)練3】 (xx·山東)設(shè)

14、{an}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“a1＜a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(　　)． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　a1＜a2且a1＞0，則a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，則數(shù)列{an}遞增；反之亦然． 答案：C 難點(diǎn)突破2——高考中充要條件的求解 從近幾年課改區(qū)高考試題可以看出，高考主要以選擇題或填空題的形式對充分條件、必要條件內(nèi)容進(jìn)行考查，一般難度不大，屬中檔題，常與不等式、數(shù)列、向量、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、立體幾何等內(nèi)容結(jié)合考查．考查形式主要有兩種：一是判斷指定的條件與結(jié)論之間的關(guān)系；二是探求某結(jié)

15、論成立的充要條件、充分不必要條件或必要不充分條件． 判斷充分、必要條件要從兩方面考慮：一是必須明確哪個是條件，哪個是結(jié)論；二是看由條件推出結(jié)論和由結(jié)論推出條件哪個成立，該類問題雖然屬于容易題，但有時會因顛倒條件與結(jié)論或因忽視某些隱含條件等細(xì)節(jié)而失分． 一、充要條件與不等式的解題策略 【示例】?(xx·天津)設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 二、充要條件與方程結(jié)合的解題策略 【示例】? (xx·陜西)設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根

16、的充要條件是n＝________. 三、充要條件與數(shù)列結(jié)合的解題策略 【示例】? (xx·山東)設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1＜a2＜a3”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(　　)． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 四、充要條件與向量結(jié)合的解題策略 【示例】?(xx·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，則“x＝4”是“|a|＝5”的(　　)． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 五、充要條件與三角函數(shù)結(jié)合的解題策略 【示例】? (xx·上海)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件