2022年高考數(shù)學二輪復習 專題2 函數(shù)與導數(shù) 第5講 利用導數(shù)研究不等式恒成立及相關問題 理

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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題2 函數(shù)與導數(shù) 第5講 利用導數(shù)研究不等式恒成立及相關問題 理 導數(shù)的綜合應用 訓練提示:在討論方程的根的個數(shù)、研究函數(shù)圖象與x軸(或某直線)的交點個數(shù)、不等式恒成立等問題時,常常需要求出其中參數(shù)的取值范圍,這類問題的實質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極(最)值的應用. 1.(xx云南省第一次統(tǒng)一檢測)已知函數(shù)f(x)=ln (1+2x)-. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若a>0,b>0,求證ln 2a-ln b≥1-. (1)解:由2x+1>0得x>-. 所以f(x)的定義域為（-,+∞）. 因為f(x)=ln (1+2x)-, 所以f′(

2、x)=-=. 由f′(x)>0得x>-,由f′(x)<0得x<-. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-,+∞), f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,-]. (2)證明:由(1)知,當x=-時,f(x)取得最小值. 所以f(x)的最小值為f(-)=-ln 2. 所以當x>-時,f(x)≥f(-),即f(x)≥-ln 2. 因為a>0,b>0,所以=->-. 設x=,則f()≥-ln 2, 化簡得ln 2a-ln b≥1-. 所以當a>0,b>0時,ln 2a-ln b≥1-. 2.(xx山東濟寧市一模)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a(其中a∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71

3、828…). (1)當a=e時,求函數(shù)f(x)的極值; (2)當0≤a≤1時,求證f(x)≥0; (3)求證:對任意正整數(shù)n,都有(1+)(1+)…(1+)1時,f′(x)>0; 所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減, 在(1,+∞)上單調(diào)遞增, 所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值f(1)=-e, 函數(shù)f(x)無極大值; (2)解:由f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a ①當a=0時,f(x)=ex≥0恒成立,滿足條件, ②當0

4、f′(x)=0,得x=ln a, 則當x∈(-∞,ln a)時,f′(x)<0,當x∈(ln a,+∞)時, f′(x)>0, 所以函數(shù)f(x)在(-∞,ln a)上單調(diào)遞減, 在(ln a,+∞)上單調(diào)遞增, 所以函數(shù)f(x)在x=ln a處取得極小值即為最小值, f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-a=-aln a. 因為0

5、≥x+1,所以ln (x+1)≤x,令x=(n∈N+), 得ln (1+)≤, 所以ln (1+)+ln (1+)+…+ln (1+)≤++…+==1-()n<1, 所以(1+)(1+)…(1+)

6、a=1時, 在x=1處函數(shù)f(x)=(x-2)ex取得極小值,所以a=1; (2)f(x)=(x-2)ex,f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex. x (-∞,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 減 增 當m≥1時,f(x)在[m,m+1]上單調(diào)遞增, f(x)min=f(m)=(m-2)em. 當0

7、)em+1. 綜上,f(x)在[m,m+1]上的最小值 f(x)min= (3)由(1)知f(x)=(x-2)ex, f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex. 令f′(x)=0得x=1, 因為f(0)=-2,f(1)=-e,f(2)=0, 所以f(x)max=0,f(x)min=-e, 所以,對任意x1,x2∈[0,2], 都有|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=e. 4.(xx吉林長春市質(zhì)量監(jiān)測二)設函數(shù)f(x)=(1-ax)ln (x+1)-bx,其中a和b是實數(shù),曲線y=f(x)恒與x軸相切于坐標原點. (1)求常數(shù)b的值; (2

8、)當0≤x≤1時,關于x的不等式f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍; (3)求證:()10000.4

9、=0而且僅有f(0)=0; ②當a≥0時,由于0≤x≤1,有f″(x)=-<0, 于是f′(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,從而f′(x)≤f′(0)=0, 因此f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減, 即f(x)≤f(0)=0而且僅有f(0)=0; ③當-

10、10000.4

11、相當于(2)中a=-情形,對于任意x∈[0,1], 恒有f(x)≥0而且僅有f(0)=0.取x=, 得對于任意正整數(shù)n都有（1+）ln （1+）->0成立. 因此對于任意正整數(shù)n, 不等式（1+）0)上存在極值,求實數(shù)m的取值范圍; (2)設

12、g(x)=[xf(x)-1],若對任意x∈(0,1)恒有g(x)<-2,求實數(shù)a的取值范圍. 解:(1)由題意k=f(x)=,x>0, 所以f′(x)=（）′=- 當00;當x>1時,f′(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減, 故f(x)在x=1處取得極大值. 因為函數(shù)f(x)在區(qū)間（m,m+）(其中m>0)上存在極值, 所以得0,不合題意. 當a>0時,由g(x)<-2,可得ln x+<0, 設h(x)=ln x

13、+,則h′(x)=. 設t(x)=x2+(2-4a)x+1,Δ=(2-4a)2-4=16a(a-1), ①若00,h′(x)>0, 所以h(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,又h(1)=0, 所以h(x)1,則Δ>0,t(0)=1>0,t(1)=4(1-a)<0, 所以存在x0∈(0,1),使得t(x0)=0, 則h(x)在(x0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,又h(1)=0, 所以當x∈(x0,1)時,h(x)>0,不合要求. 綜合①②可得a的取值范圍是(0,1]. 2.設函數(shù)f(x)=x2+ln (x+1).

14、 (1)求證:當x∈(0,+∞)時f(x)>x恒成立; (2)求證:++…+0時,g′(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上遞減, 所以g(x)0時,x-x2

15、n

16、R), 所以f′(x)=-a-=-, x∈(0,+∞), 令h(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞), 當a≥時,由f′(x)=0,則ax2-x+1-a=0, 解得x1=1,x2=-1. ①當a=時,x1=x2,h(x)≥0恒成立, 此時f′(x)≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; ②當0,此時f′(x)<0, 函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; x∈（-1,1）時,h(x)<0,此時f′(x)>0, 函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; x∈(1,+∞)時,h(x)>0,此時f′(x)<0, 函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;

17、 ③當a≥1時,由于-1≤0, x∈(0,1)時,h(x)<0,此時f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; x∈(1,+∞)時,h(x)>0,此時f′(x)<0, 函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; 綜上所述: 當a=時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當

18、ln ）, 令F(t)=t-1-ln t,則F′(t)=1-=(t>0) 當01時,F′(t)>0,F(t)單調(diào)遞增, 故當t≠1時,F(t)>F(1)=0,即t-1-ln t>0 從而-1-ln >0,-1-ln >0, 所以(x1)>0,(x2)<0 因為函數(shù)(x)在區(qū)間(x1,x2)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線, 所以存在x0∈(x1,x2),使(x0)=0, 所以g′(x0)=k成立. 4.已知函數(shù)f(x)=a-be-x(e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)的圖象在x=0處的切線方程為y=x. (1)求a

19、,b的值; (2)若g(x)=mln x-e-x+x2-(m+1)x+1(m>0),求函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)若正項數(shù)列{an}滿足a1=,an=f(an),證明:數(shù)列{an}是遞減 數(shù)列. (1)解:由題意得f(0)=0,f′(0)=1,則a-b=0,b=1, 解得a=1,b=1. (2)解:由題意得h(x)=mln x+x2-(m+1)x, x∈(0,+∞). h′(x)=+x-(m+1)= = ①當00, 并注意到函數(shù)的定義域(0,+∞), 得01,則h(x)的增區(qū)間是(0,m),(1,+∞);

20、 同理可求h(x)的減區(qū)間是(m,1). ②當m=1時,h′(x)≥0, 則h(x)是定義域(0,+∞)內(nèi)的增函數(shù). ③當m>1時,令h′(x)>0, 并注意到函數(shù)的定義域(0,+∞)得0m, 則h(x)的增區(qū)間是(0,1),(m,+∞); 同理可求h(x)的減區(qū)間是(1,m). (3)證明:因為正項數(shù)列{an}滿足a1=, an=f(an), 所以ln (an)=ln (1-),即an+1=-ln . 要證數(shù)列{an}是遞減數(shù)列 ?an+1?>an+1. 設u(x)=ex-x-1,x∈(0,+∞).因為u′(x)=ex-1>0,

21、 所以u(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),則u(x)>u(0)=0, 即ex>x+1,故>an+1, 則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列. 5.(xx四川德陽市一診)如圖,已知點A(11,0),函數(shù)y=的圖象上的動點P在x軸上的射影為H,且點H在點A的左側,設|PH|=t, △APH的面積為f(t). (1)求函數(shù)f(t)的解析式及t的取值范圍; (2)若a∈(0,2),求函數(shù)f(t)在(0,a]上的最大值. 解:(1)由已知可得=t,所以點P的橫坐標為t2-1, 因為點H在點A的左側,所以t2-1<11, 即-20,所以0