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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題4 不等式 專題綜合檢測卷四 理
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．“a＞b＞0”是“ab＜”的(A)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：由a＞b＞0?ab＜，而ab＜?a，b∈R且a≠b，但不能推出a＞b＞0.
2．下列函數(shù)中，y的最小值為4的是(C)
A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(0＜x＜π)
C．y＝ex＋ D．y＝log2x＋
解析：A成立需x＞0；
2、B取不到等號；D成立需x＞1.
3．(xx·天津卷)設x∈R，則“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(A)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：<1?10的解集是{x|－＜ x＜}，則m，n分別是(D)
A．6，－1 B．－6，－1
C．
3、6，1 D．－6，1
6．下列函數(shù)中，最小值是2的是(A)
A．y＝ 2x＋2－x
B．y＝＋
C．y＝sin x ＋，x∈
D．y＝＋
7．(xx·陜西卷)某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料，已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如下表所示．如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(D)
A.12萬元 B．16萬元
C．17萬元 D．18萬元
解析：設每天生產甲、乙產品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有
z＝3x＋4y，作出可行域如圖陰影部分所示，
由圖形可知，當直線z＝3x＋4y經過點A
4、(2，3)時，z取最大值，最大值為3×2＋4×3＝18.
8．(xx·陜西卷)設f(x)＝ln x，0p
C．p＝rq
9．已知向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，其中x＞0，y＞0.若a·b＝4，則＋的最小值為(C)
A. B．2
C. D．2
10．已知a＞0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(B)
A. B. C．1 D．2
解析：本題可先畫出可行域，然后根據(jù)圖形
5、確定出最小值點進行解答．
作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)．
易知直線z＝2x＋y過交點A時，z取最小值，
由
得
∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.故選B.
11．(xx·青島二中月考)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，則＋的最小值是(C)
A．2 B．2 C．4 D．2
解析：因為lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1.所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，當且僅當＝，即x＝，y＝時，取等號．
12．(xx·遼寧六校聯(lián)考)設變量x，y滿足約束條件且不等式x＋2y≤14恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(A)
A．[8，10]
6、 B．[8，9]
C．[6，9] D．[6，10]
解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，顯然a≥8，否則可行域無意義．由圖可知x＋2y在點(6，a－6)處取得最大值2a－6，由2a－6≤14，得a≤10.故選A.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)
13. (xx·江蘇卷)不等式2x2－x＜4的解集為{x|－1＜x＜2}(或(－1，2))．
解析：∵ 2x2－x＜4，∴ 2x2－x＜22，
∴ x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴ －1＜x＜2.
14．(xx·新課標Ⅱ卷)若x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最大值為
7、8．
解析：∵ z＝2x＋y，∴ y＝－2x＋z，
將直線y＝－2x向上平移，經過點B時z取得最大值．
由
解得
∴ zmax＝2×3＋2＝8.
15．已知關于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(0，8)．
16．若不等式x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0的解集為A，不等式x2－5x＋4≥0的解集為B，且A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]∪[4，＋∞)．
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)已知函數(shù)y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3的圖象都在x軸上方，求實數(shù)
8、k的取值范圍．
解析：①由k2＋4k－5＝0，得k＝－5或k＝1，
當k＝1時，y＝3，滿足題意；
當k＝－5時，y＝24x＋3，不合題意．
②當k2＋4k－5≠0，即k≠－5且k≠1時，
函數(shù)的圖象都在x軸上方，則
解得1＜k＜19.
綜上所述，k的取值范圍是(1，19)．
18. (12分) 已知直線過點P(3，2)且與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于A、B兩點．
(1)求△AOB面積的最小值及此時直線l方程(O為原點)；
(2)求直線l在兩坐標軸上截距之和的最小值．
解析：(1)設直線l的方程＋＝1(a＞0，b＞0)．
則＋＝1≥2，≥2，ab≥24.
S＝
9、ab≥12.
僅當＝＝，即a＝6，b＝4，Smin＝12.
此時l：＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
(2)∵＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2.
僅當＝時，即a＝3＋ ，b＝2＋時，
(a＋b)min＝5＋2.
19．(12分)設f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，求證：
(1)a＞0且－2＜＜－1；
(2)方程f(x)＝0在(0，1)內有兩個實根．
解析：(1)∵f(0)＞0，f(1)＞0，
∴
又∵a＋b＋c＝0，
∴b＝－a－c，代入不等式組得a＞c＞0.
要證－2＜＜－1，
∵a＞0，∴只需證－2a＜b＜
10、－a，
即需證
又∵a＋b＝－c＜0，
∴2a＋b＝a＋(a＋b)＝a－c＞0.
∴原不等式成立，即－2＜＜－1.
(2)證法一 f＝＋b＋c＝－a＜0，
又因為f(0)＞0，f(1)＞0，所以f·f(0)＜0，f·f(1)＜0，且f(x)為連續(xù)函數(shù)，所以方程f(x)＝0在區(qū)間與內分別有一個實根，故方程f(x)＝0在(0，1)內有兩個實根．
證法二 ∵－2＜＜－1，
∴對稱軸x＝－∈，
又∵b＝－a－c.
∴Δ＝4b2－12ac＝4(－a－c)2－12ac＝4(a2＋c2－ac)＞0.
由得方程f(x)＝0在(0，1)內有兩個實根．
20. (12分)某公司計劃xx年在
11、甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500 元/分和200 元/分．假定甲、乙兩個電視臺為該公司做的每分鐘廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？
分析：先列出約束條件，建立目標函數(shù)；然后求解．
解析：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，收益為z元．
由題意得
目標函數(shù)z＝3 000x＋2 000y.
二元一次不等式組等價于
作二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖．
作直線l
12、：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直線l，從圖中可知，當直線過點M時，目標函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立
解得x＝100，y＝200.
∴點M的坐標為(100，200)．
∴zmax＝700 000 元，即該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，才能使公司的收益最大，最大收益是70萬元．
21. (12分)某廠家擬在xx年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量(即該產品的年產量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x＝3－(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知xx年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該
13、產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．
(1)將xx年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
(2)該廠家xx年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
解析：(1)由題意可知當m＝0時，x＝1 萬件，
∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－.
每件產品的銷售價格為1.5× 元，
xx年的利潤y＝x·－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－[＋(m＋1)]＋29(m≥0)．
(2)當m≥0時，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，當且僅當＝m＋1?m＝3 萬元時，
ymax＝21 萬元．
∴促銷費用投入3 萬元時，廠家的利潤最大．
22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(a，b為常數(shù))且方程f(x)－x＋12＝0有兩個實根為x1＝3，x2＝4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)設k＞1，解關于x的不等式：f(x)＜.
解析：(1)將x1＝3，x2＝4分別代入方程
－x＋12＝0得
解得
所以f(x)＝(x≠2)．
(2)不等式即為＜，可化為
＜0，
即(x－2)(x－1)(x－k)＞0.
①當1＜k＜2時，解集為；
②當k＝2時，不等式化為(x－2)2(x－1)＞0，解集為；
③當k＞2時，解集為.
2022年高考數(shù)學二輪復習 專題4 不等式 專題綜合檢測卷四 理
