2022年高中數學 3-1-2 空間向量的數乘運算 活頁規(guī)范訓練 新人教A版選修2-1

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1、2022年高中數學 3-1-2 空間向量的數乘運算 活頁規(guī)范訓練 新人教A版選修2-1 1.給出的下列幾個命題: ①向量a,b,c共面,則它們所在的直線共面; ②零向量的方向是任意的; ③若a∥b,則存在唯一的實數λ,使a=λb.其中真命題的個數為 (  ). A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ①假命題.三個向量共面時,它們所在的直線或者在平面內或者與平面平行; ②真命題.這是關于零向量的方向的規(guī)定;③假命題.當b=0,則有無數多個λ使之成 立. 答案 B

2、2.設空間四點O,A,B,P滿足=m+n,其中m+n=1,則 (  ). A.點P一定在直線AB上 B.點P一定不在直線AB上 C.點P可能在直線AB上,也可能不在直線AB上 D.與的方向一定相同 解析 已知m+n=1,則m=1-n,=(1-n)+n=-n+n?-= n(-)?=n.因為≠0,所以和共線,即點A,P,B共線,故選A. 答案 A 3.已知點M在平面ABC內,并且對空間任意一點O,有=x++,則x的值為 (

3、  ). A.1 B.0 C.3 D. 解析 ∵=x++,且M,A,B,C四點共面,∴x++=1,x=,故 選D. 答案 D 4.以下命題:①兩個共線向量是指在同一直線上的兩個向量;②共線的兩個向量互相平行;③共面的三個向量是指在同一平面內的三個向量;④共面的三個向量是指平行于同一平面的三個向量.其中正確命題的序號是________. 解析 根據共面與共線向量的定義判定,易知②④正確. 答案 ②④ 5.設e1,e2是平面內不共線的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B

4、,D三點共線,則k=______. 解析 =-=e1-4e2,=2e1+ke2, 又A、B、D三點共線,由共線向量定理得=λ, ∴=.∴k=-8. 答案?。? 6.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點,請判斷向量與+是否共線? 解 取AC中點為G. 連接EG,FG, ∴=,=, 又∵,,共面, ∴=+ =+ =(+), ∴與+共線. 7.對于空間任一點O和不共線的三點A,B,C,有=x+y+z,則x+y+z=1是P,A,B,C四點共面的 (  )

5、. A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 解析 若x+y+z=1,則=(1-y-z)+y+z,即=y(tǒng)+z,由共面定 理可知向量,,共面,所以P,A,B,C四點共面;反之,若P,A,B,C四 點共面,當O與四個點中的一個(比如A點)重合時,=0,x可取任意值,不一定有x +y+z=1,故選B. 答案 B 8.已知O、A、B是平面上的三個點,直線AB上有一點C,滿足2+=0,則等于(  ). A.2- B.-+2 C.- D.-+ 解析

6、 由已知得2(-)+(-)=0, ∴=2-. 答案 A 9.如圖所示,在四面體O—ABC中,=a,=b,=c,D為BC的中點,E為AD的中點,則=______(用a,b,c表示). 解析?。剑絘+ =a+(-) =a+ =a+×(+) =a+b+c. 答案 a+b+c 10.已知A,B,C三點共線,則對空間任一點O,存在三個不為0的實數λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值為________. 解析 ∵A,B,C三點共線,∴存在唯一實數k使=k, 即-=k(-), ∴(k-1)+-k=0, 又λ+m+n=0, 令λ=k-1,m=1,n=-k, 則λ+

7、m+n=0. 答案 0 11.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1和A1D1的中點. 證明:向量、、是共面向量. 證明 法一?。剑? =-+ =(+)- =-. 由向量共面的充要條件知,、、是共面向量. 法二 連結A1D、BD,取A1D中點G,連結FG、BG, 則有FG綉DD1,BE綉DD1, ∴FG綉B(tài)E. ∴四邊形BEFG為平行四邊形. ∴EF∥BG. ∴EF∥平面A1BD. 同理,B1C∥A1D,∴B1C∥平面A1BD, ∴、、都與平面A1BD平行. ∴、、共面. 12.(創(chuàng)新拓展)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點. (1)證明E,F,G,H四點共面; (2)證明BD∥平面EFGH. 證明 如圖,連結EG,BG. (1)∵=+ =+(+) =++=+, 由向量共面的充要條件知:E,F,G,H四點共面. (2)法一 ∵=-=-=, ∴EH∥BD. 又EH?面EFGH,BD?面EFGH, ∴BD∥面EFGH. 法二 ∵=+=2+2 =2=2(+)=2+2, 又,不共線,∴與,共面. 又BD?面EFGH,∴BD∥面EFGH.

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