2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次摸底考試試題 文(含解析)新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次摸底考試試題 文(含解析)新人教A版【試卷綜評】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當面的考察,覆蓋面廣,注重數(shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用,試題有新意,符合課改和教改方向,能有效地測評學(xué)生,有利于學(xué)生自我評價,有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí),既重視雙基能力培養(yǎng),側(cè)重學(xué)生自主探究能力,分析問題和解決問題的能力,突出應(yīng)用,同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。第I卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)【題文】(1)設(shè)集合M=,N=,則如圖所示的Venn圖的陰影部分所表示的集合為(A)0(B)0,1(C)

2、0,1(D)-1,1【知識點】交集及其運算.A1 【答案解析】B 解析:M= ,N= ,則【思路點撥】先把集合化簡,再求交集即可?!绢}文】(2)“”是“”成立的(A)充分必要條件(B)必要不充分條件(C)充分不必要條件(D)既不充分也不必要條件【知識點】充要條件.A2 【答案解析】C 解析:由解得,但不能推出,所以“”是“”成立的充分不必要條件,故選C.【思路點撥】先解出,再做出雙向判斷即可?!绢}文】(3)函數(shù)的定義域為(A)-2,2(B)(0,2(C)(0,1)(1,2)(D)(0,1)(1,2【知識點】函數(shù)的定義域。B1 【答案解析】C 解析:由題意可知滿足:,解得其定義域為(0,1)(1

3、,2),故選C.【思路點撥】由題意列出不等式組即可?!绢}文】(4)下列命題中,真命題是(A)(B)(C)(D)【知識點】命題的真假的判斷.A2 【答案解析】A 解析: 為真命題;易知B,C,D為假命題,故選A.【思路點撥】利用指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷?!绢}文】(5)“”是“”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【知識點】充要條件A2 【答案解析】A 解析:由得:當a0時,有1a,即a1;當a0時,不等式恒成立所以a1或a0,從而a1是的充分不必要條件故應(yīng)選:A【思路點撥】可以把不等式“”變形解出a的取值范圍,然后再作判斷,具體地說,兩邊同

4、乘以分母a要分類討論,分a0,a0兩類討論,除了用符號法則,這是解答分式不等式的另一種重要方法【題文】(6)若,則下列不等式成立的是(A)(B)(C)(D)【知識點】不等式的基本性質(zhì)E1 【答案解析】C 解析:b=,a=,則ab=,b2=,故A不正確;a2=,ab=,故D不正確;log=2,log=1,故B不正確;0ba1,21,2b2a2,故選:C【思路點撥】取特殊值,確定A,B,D不正確,0ba1,21,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得C正確【題文】(7)如圖,已知直線l和圓C,當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)(轉(zhuǎn)動角度不超過90)時,它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積y是時間x的函數(shù),這個函數(shù)的圖象

5、大致是 (A) (B) (C) (D)【知識點】直線與圓相交的性質(zhì)H4 【答案解析】B 解析:觀察可知面積S變化情況為“一直增加,先慢后快,過圓心后又變慢”對應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小,由此知D符合要求,故選B【思路點撥】由圖象可以看出,陰影部分的面積一開始增加得較慢,面積變化情況是先慢后快然后再變慢,由此規(guī)律找出正確選項。【題文】(8)定積分的值為(A) (B) (C) (D)【知識點】定積分B13 【答案解析】A 解析:dx=ln2ln1+=故選:A【思路點撥】求出被積函數(shù)的原函數(shù),直接代入積分上限和積分下限后作差得答案【題文】(9)偶函數(shù)的定義域為R,為奇函數(shù),且,則(A)0 (

6、B)1(C)-1(D)xx【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì);函數(shù)的值B4 【答案解析】B 解析:g(x)是奇函數(shù),g(x)=f(x1)=g(x)=f(x1);又f(x)是偶函數(shù),f(x+1)=f(x1),即f(x1)=f(x+1),f(x)=f(x+2)=f(x+4)f(x)是周期為4的周期函數(shù);f(xx)=f(2+5034)=f(2)=g(3)=1故選B【思路點撥】根據(jù)g(x)是奇函數(shù)及已知條件得到f(x+1)=f(x1),即f(x1)=f(x+1),所以f(x)=f(x+2)=f(x+4),所以函數(shù)f(x)的周期是4,所以f(xx)=f(2+5034)=f(2),所以根據(jù)已知條件求f(2)即可【

7、題文】(10)函數(shù)在處有極值10,則點的坐標為(A)(B) (C)或 (D)不存在【知識點】函數(shù)在某點取得極值的條件B12 【答案解析】B 解析:對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得 f(x)=3x22axb,又在x=1時f(x)有極值10,解得 或 ,驗證知,當a=3,b=3時,在x=1無極值,故選B【思路點撥】首先對f(x)求導(dǎo),然后由題設(shè)在x=1時有極值10可得 解之即可求出a和b的值【題文】(11)若-1,1,則實數(shù)t的取值范圍是(A)-1,0(B),0 (C) (D),【知識點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用A1 【答案解析】A 解析:令f(x)=|x2tx+t|,1,1x|x2tx+t|1,|f(1)|

8、1,|f(1)|1,即|1+2t|1,解得:1t0,實數(shù)t的取值范圍是1,0,故選:A【思路點撥】令f(x)=|x2tx+t|,依題意可得|f(1)|1,|f(1)|1,解之即可【題文】(12)x表示不超過x的最大整數(shù),函數(shù)的定義域為R;的值域為0,1); 是偶函數(shù); 不是周期函數(shù);的單調(diào)增區(qū)間為.上面結(jié)論中正確的個數(shù)是(A)3(B)2(C)1(D)0【知識點】函數(shù)解析式的求解及常用方法B1 【答案解析】C 解析:f(x)=|x|x,函數(shù)的定義域為Rf(x+1)=|x+1|x+1=|x+1|x1=|x|x=f(x),f(x)=|x|x在R上為周期是1的函數(shù)當0x1時,f(x)=|x|x=|x|

9、0=|x|,函數(shù)x的值域為0,1),函數(shù)y=|x|x為非奇非偶函數(shù),函數(shù)y=|x|x在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k,k+1)(kN)故正確,故選:C【思路點撥】根據(jù)已知中x表示不超過x的最大整數(shù),我們可以分別求出函數(shù)y=|x|x的值域,奇偶性,周期性,單調(diào)性,比較已知中的個結(jié)論,即可得到答案二、填空題:本大題4小題,每小題5分.【題文】(13)設(shè)函數(shù)若,則a的值為_;【知識點】函數(shù)的值B1 【答案解析】-5 解析:數(shù)f(x)=,f(f(1)=2,f(1)=2e11=2,f(f(1)=f(2)=log3(4a)=2,4a=9,解得a=5故答案為:5【思路點撥】由已知得f(

10、1)=2e11=2,從而f(f(1)=f(2)=log3(4a)=2,由此能求出a的值【題文】(14)函數(shù)恰好有兩個零點,則的值為_【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;函數(shù)零點的判定定理;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性B12 【答案解析】2或-2 解析:f(x)=x33x+m,f(x)=3x23,由f(x)0,得x1或x1,此時函數(shù)單調(diào)遞增,由f(x)0,得1x1,此時函數(shù)單調(diào)遞減即當x=1時,函數(shù)f(x)取得極大值,當x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值要使函數(shù)f(x)=x33x+a只有兩個零點,則滿足極大值等于0或極小值等于0,由極大值f(1)=1+3+m=m+2=0,解得m=2;再由極小值f(1)=

11、13+m=m2=0,解得m=2綜上實數(shù)m的取值范圍:m=2或m=2,故答案為:2或2【思路點撥】若函數(shù)f(x)恰好有兩個不同的零點,等價為函數(shù)的極值為0,建立方程即可得到結(jié)論【題文】(15)函數(shù)是定義在(0,4)上的減函數(shù),且,則a的取值范圍是_.【知識點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)B3 【答案解析】(-1,0)(1,2) 解析:根據(jù)已知條件,原不等式變成,解得1a0,或1a2;a的取值范圍是(1,0)(1,2)故答案為:(1,0)(1,2)【思路點撥】因為f(x)是定義在(0,4)上的減函數(shù),所以由f(a2a)f(2)得,解該不等式組即得a的取值范圍【題文】(16)已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當時,

12、對任意的,不等式恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是_.【知識點】函數(shù)恒成立問題;函數(shù)奇偶性的性質(zhì)B4 【答案解析】() 解析:當x0時,f(x)=x2函數(shù)是奇函數(shù),當x0時,f(x)=x2f(x)=,f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù),且滿足2f(x)=f(x),不等式f(x+t)2f(x)=f(x)在t,t+2恒成立,x+tx在t,t+2恒成立,即:x(1+)t在t,t+2恒成立,t+2(1+)t,解得:t,故答案為:,+)【思路點撥】由當x0時,f(x)=x2,函數(shù)是奇函數(shù),可得當x0時,f(x)=x2,從而f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù),且滿足2f(x)=f(x),再根據(jù)不等式f(x+t)2f(x)=

13、f(x)在t,t+2恒成立,可得x+tx在t,t+2恒成立,即可得出答案三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程)【題文】(17)(本題滿分10分)已知函數(shù)(1)當a=0時,畫出函數(shù)的簡圖,并指出的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若函數(shù)有4個零點,求的取值范圍.【知識點】根的存在性及根的個數(shù)判斷;函數(shù)圖象的作法B8 B9 【答案解析】(1)見解析;(2)1a0解析:(1)當a=0時,由圖可知,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,1)和(0,1)(2)由f(x)=0,得x22|x|=a,曲線y=x22|x|與直線y=a有4個不同交點,根據(jù)(1)中圖象得1a0【思路點撥】(1)當a=0時,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函

14、數(shù),進行化圖;(2)根據(jù)f(x)有4個零點,結(jié)合圖象確定a的取值范圍【題文】(18)(本題滿分12分)已知直線為曲線在點(1,0)處的切點,直線為該曲線的另一條切線,且的斜率為1.(I)求直線、的方程;(II)求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程;兩條直線的交點坐標B12 【答案解析】()y=4x4,y=x2;()解析:()求得f(x)=3x2+1(1,0)在曲線上,直線l1的斜率為k1=f(1)=4所以直線l1的方程為y=4(x1)即y=4x4設(shè)直線l2過曲線f(x)上的點P(x0,y0),則直線l2的斜率為k2=f(x0)=3x02+1=1解得x0=

15、0,y0=x03+x02=2即P(0,2)l2的方程y=x2()直線l1、l2的交點坐標為直線l1、l2和x軸的交點分別為(1,0)和(2,0)所以所求的三角形面積為【思路點撥】()求出f(x),把x=1代入導(dǎo)函數(shù)即可求出直線l1的斜率,然后根據(jù)斜率和(1,0)寫出直線l1的方程即可;設(shè)直線l2與曲線相切的切點坐標,將橫坐標代入導(dǎo)函數(shù)即可表示出直線l2的斜率,又l2的斜率為1,列出關(guān)于橫坐標的方程,求出解得到切點的橫坐標,代入f(x)中求得縱坐標,然后根據(jù)切點坐標和直線的斜率為1寫出直線l2的方程即可;()聯(lián)立兩條直線方程求出交點坐標,然后分別求出兩直線與x軸的交點坐標為(1,0)和(2,0)

16、,三角形以|21|長為底,交點的縱坐標|為高,根據(jù)三角形的面積公式即可求出面積【題文】(19)(本題滿分12分)某旅游景點經(jīng)營者欲增加景點服務(wù)設(shè)施以提高旅游增加值.經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn),在控制投入成本的前提下,旅游增加值(萬元)與投入成本(萬元)之間滿足:,其中實數(shù)為常數(shù),且當投入成本為10萬元時,旅游增加值為9.2萬元.(I)求實數(shù)的值;(II)當投入成本為多少萬元時,旅游增加值去的最大值.【知識點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用B10 【答案解析】(I)a=;(II) 投入50萬元改造時旅游取得最大增加值解析:(I)由于當x=10萬元時y=9.2萬元,因此,9.2a102+10ln10+ln10,解得a=;

17、(II)從而f(x)=+xlnx+ln10(10x100),f(x)=,令f(x)=0,可得 x=1,或 x=50當x(1,50)時,f(x)0,且f(x)在(1,50)上連續(xù),因此f(x)在(1,50上是增函數(shù);當x(50,+)時,f(x)0,且f(x)在(50,+)上連續(xù),因此f(x)在(50,+)上是減函數(shù)則x=50時,函數(shù)f(x)取得極大值,即投入50萬元改造時旅游取得最大增加值【思路點撥】(I)代入x=10萬元時y=9.2萬元,可得9.2a102+10ln10+ln10,從而求a;(II)求導(dǎo)f(x)=,判斷函數(shù)的單調(diào)性從而求其最大值【題文】(20)(本題滿分12分)已知函數(shù),當時取

18、得極值5.(I)求的極小值;(II)對任意,判斷不等式是否能恒成立,并說明理由.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值B12 【答案解析】()-27;() 不等式|f(x1)f(x2)|32能恒成立 解析:()函數(shù)f(x)=ax3+bx29x(a0)的導(dǎo)數(shù)f(x)=3ax2+2bx9,當x=1時f(x)取得極值5,則有f(1)=5且f(1)=0,即有a+b+9=5且3a2b9=0,解得a=1,b=3則f(x)=x33x29x,f(x)=3x26x9,f(x)0得,x3或x1;f(x)0得,1x3則f(x)在x=3處取極小值且為272727=27()由于任意x1,x2(3,3),|f(x1)f(x2)

19、|f(x)maxf(x)min,由()可知f(x)在(3,1)上遞增,(1,3)上遞減,則x=1取得最大值,且為5,f(3)=f(3)=27,由于任意x1,x2(3,3),則|f(x1)f(x2)|5(27)=32,故對任意x1,x2(3,3),不等式|f(x1)f(x2)|32能恒成立【思路點撥】()f(x)是實數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù),再通過極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,即極值點必為f(x)=0的根建立起相關(guān)等式,運用待定系數(shù)法確定a、b的值,進而得到極小值;()分別求出端點值和極值,通過比較即可的出結(jié)論由中求得的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,3)上單調(diào)性,求出最大值和最小值,從而得到對任意x1

20、,x2(3,3),不等式|f(x1)f(x2)|32恒成立【題文】(21)(本題滿分12分)已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,其離心率,短軸長為4.(I)求橢圓C的標準方程;(II)已知直線和橢圓C相交于A、B兩點,點Q(1,1),是否存在實數(shù)m,使ABQ的面積S最大?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題H8 【答案解析】()()3 解析:()由題意可設(shè)橢圓C的方程為,又e=,2b=4,a2=b2+c2,解得a=3,b=2故橢圓C的方程為()設(shè)直線l:y=x+mmR和橢圓C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點聯(lián)立方程得,消去y得,13x2+

21、18mx+9m236=0上式有兩個不同的實數(shù)根,=324m24139(m24)=144(13m2)0且,AB=點Q(1,1)到l:y=x+m的距離為ABQ的面積S=3當且僅當13m2=m2,即m=時,S取得最大值,最大值為3【思路點撥】()由題意可設(shè)橢圓C的方程為,又e=,2b=4,由此能求出橢圓C的方程()設(shè)直線l:y=x+mmR和橢圓C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點聯(lián)立方程,得13x2+18mx+9m236=0由此利用根的判別式和韋達定理結(jié)合已知條件能求出當m=時,S取得最大值3【題文】(22)(本題滿分12分)已知函數(shù).(I)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(II)當時,已知,且,求證

22、:【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)B12 【答案解析】(I)(1,+)為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(,1)為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(II)見解析。 解析:(I),令f(x)=0,得x=1,當a0時,如果x(1,+),那么f(x)0,因此(1,+)為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;如果x(,1),那么f(x)0,因此(,1)為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間當a0時,如果x(1,+),那么f(x)0,因此(1,+)為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;如果x(,1),那么f(x)0,因此(,1)為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間(II)當a=1時,f(x)=,由(1)知,(1,+)為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(,1)為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間又f(0)=0,f(1)

23、=,函數(shù)f(x)的圖象:x1x2,且f(x1)=f(x2),從圖象上看,x11,x21,f(x1)f(2x2)f(x2)f(2x2),要證f(x1)f(2x2)只要證明x21時f(x2)f(2x2)0即可:構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)f(2x),即g(x)=,下面證明:對于x1,g(x)0恒成立,則g(x)=,如果x(1,+),那么x10,e2(x1)1,則(1x)(1e2(x1)0,因此g(x)0,因此g(x)在(1,+)上為單調(diào)增函數(shù);g(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,在x1,+)時:當x=1時,函數(shù)g(x)取最小值,即,對于x(1,+),g(x)0恒成立,x21時f(x2)f(2x2)0,f(x2)f(2x2),又f(x1)=f(x2),f(x1)f(2x2)【思路點撥】(I),令f(x)=0,得x=1,再分a0時與a0時,討論f(x)0或f(x)0,進一步可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(II)畫函數(shù)f(x)的圖象,找出x11,x21,要證f(x1)f(2x2)只要證明x21時f(x2)f(2x2)0即可,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)f(2x),即g(x)=,只要證明對于x1,g(x)0恒成立即可

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