2022年高中數(shù)學(xué) 綜合素質(zhì)測試 新人教B版選修2-2

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 綜合素質(zhì)測試 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 1.是z的共軛復(fù)數(shù).若z+=2,(z-)i=2(i為虛數(shù)單位),則z=(  ) A.1+i       B.-1-i C.-1+i D.1-i [答案] D [解析] 本題考查復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算. 設(shè)z=a+bi,則=a-bi. 由題設(shè)條件可得a=1,b=-1.選D. 2.若f(x)=x2-2x-4lnx,則f′(x)>0的解集為(  ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞)

2、D.(-1,0) [答案] C [解析] 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及分式不等式的解法和對數(shù)的概念.因?yàn)閒(x)=x2-2x-4lnx, ∴f′(x)=2x-2-=>0, 即,解得x>2,故選C. 3.下列命題中正確的是(  ) A.復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d B.任何復(fù)數(shù)都不能比較大小 C.若=,則z1=z2 D.若|z1|=|z2|,則z1=z2或z1= [答案] C [解析] A選項(xiàng)未注明a,b,c,d∈R.實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù),實(shí)數(shù)能比較大小.z1與z2的模相等,符合條件的z1,z2有無數(shù)多個(gè),如單位圓上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模都是1.故選C. 4.?dāng)?shù)列1

3、,,,,,,,,,,…,的前100項(xiàng)的和等于(  ) A.13 B.13 C.14 D.14 [答案] A [解析] 從數(shù)列排列規(guī)律看,項(xiàng)有n個(gè),故1+2+…+n=≤100.得n(n+1)≤200,所以n≤13,當(dāng)n=13時(shí),=13×7=91(個(gè)),故前91項(xiàng)的和為13,從第92項(xiàng)開始到第100項(xiàng)全是,共9個(gè),故前100項(xiàng)的和為13.故選A. 5.對一切實(shí)數(shù)x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,-2] B.[-2,2] C.[-2,+∞) D.[0,+∞) [答案] C [解析] 用分離參數(shù)法可得a≥-(x≠0),則|x|+≥2,∴

4、a≥-2.當(dāng)x=0時(shí),顯然成立. 6.曲線y=ex在點(diǎn)(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為(  ) A. B.2e2 C.e2 D. [答案] D [解析] y′=(ex)′=ex,曲線在點(diǎn)(2,e2)處的切線斜率為e2,因此切線方程為y-e2=e2(x-2),則切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A(1,0),B(0,-e2), 所以:S△AOB=×1×e2=. 7.已知函數(shù)f(x)=x3-12x,若f(x)在區(qū)間(2m,m+1)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  ) A.-1≤m≤1 B.-1

5、x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f ′(x)<0?-2

6、-3),∴b=-6a,c=9a, ∴f(x)=ax3-6ax2+9ax,∵f(1)=4,∴a=1. ∴f(x)=x3-6x2+9x,故選B. 9.若xy是正實(shí)數(shù),則2+2的最小值是(  ) A.3 B. C.4 D. [答案] C [解析] 因?yàn)閤y是正實(shí)數(shù),所以 2+2=x2+++y2++ =++≥1+2+1=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=±時(shí),等號成立.故選C. 10.復(fù)數(shù)z滿足方程=4,那么復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)P組成的圖形為(  ) A.以(1,-1)為圓心,以4為半徑的圓 B.以(1,-1)為圓心,以2為半徑的圓 C.以(-1,1)為圓心,以4為半徑的圓 D.以(

7、-1,1)為圓心,以2為半徑的圓 [答案] C [解析] 原方程可化為|z+(1-i)|=4,即|z-(-1+i)|=4,表示以(-1,1)為圓心,以4為半徑的圓.故選C. 11.已知f(x)=x3+bx2+cx+d在區(qū)間[-1,2]上是減函數(shù),那么b+c(  ) A.有最大值 B.有最大值- C.有最小值 D.有最小值- [答案] B [解析] 由題意f′(x)=3x2+2bx+c在[-1,2]上,f′(x)≤0恒成立. 所以, 即, 令b+c=z,b=-c+z, 如圖A是使得z最大的點(diǎn), 最大值為b+c=-6-=-.故應(yīng)選B. 12.(xx·福建理,10)若定義在

8、R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)>k>1,則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是(  ) A.f< B.f> C.f< D.f> [答案] C [解析] 由已知條件,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-kx,則g′(x)=f′(x)-k>0,故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,且>0,故g()>g(0),所以f()->-1,f()>,所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C,選項(xiàng)D不確定;構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-x,則h′(x)=f′(x)-1>0,所以函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增,且>0,所以h()>h(0),即f()->-1,f()>-1,選項(xiàng)A,B無法判斷,故選C. 二、填空題(本

9、大題共4個(gè)小題,每小題4分,共16分,將正確答案填在題中橫線上) 13.(xx·天津理,9)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為________. [答案]?。? [解析] (1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i是純虛數(shù),所以a+2=0,即a=-2. 14.已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+, 則fxx(x)的表達(dá)式為________. [答案] fxx(x)= [解析] 本題考查了函數(shù)的解析式. f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))==,f3(x)=f(f2(x))=

10、=,…, fxx(x)=. 15.定積分sintcostdt=________. [答案]  [解析]  sintcostdt=sin2tdt =(-cos2t)=×(1+1)=. 16.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=lgxn,則a1+a2+…+a99的值為________. [答案]?。? [解析] 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì). ∵k=y(tǒng)′|x=1=n+1, ∴切線l:y-1=(n+1)(x-1), 令y=0,xn=,∴an=lg, ∴原式=lg+lg+…+lg =lg××…×=lg=-

11、2. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本題滿分12分)已知a>b>0,求證:<-<. [證明] 要證明原不等式成立, 只需證b>0,所以a-b>0,->0. 所以只需證<-<, 即證<2<, 即證<1<,即證<1<. 因?yàn)閍>b>0,所以<1<成立. 故原不等式成立. 18.(本題滿分12分)請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成

12、一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒,E、F在AB上,是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=x(cm). (1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值? (2)某廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值. [解析] 設(shè)包裝盒的高為hcm,底面邊長為acm. 由已知得a=x,h==(30-x),0

13、x=20. 當(dāng)x∈(0,20)時(shí),V′>0;當(dāng)x∈(20,30)時(shí),V′<0. 所以當(dāng)x=20時(shí),V取得極大值,也是最大值. 此時(shí)=.即包裝盒的高與底面邊長的比值為. 19.(本題滿分12分)求同時(shí)滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z: (1)z+是實(shí)數(shù),且1

14、化為1<2a≤6, ∴0. (1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性; (2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值. [解析] (1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f ′(x)=1+a-2x-3x2, 令f ′(x)=0得x1=, x2=,x1x2時(shí),f ′(x)<0;當(dāng)x1<

15、x0,故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增. (2)因?yàn)閍>0,所以x1<0,x2>0, ①當(dāng)a≥4時(shí),x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值. ②當(dāng)0

16、(x)在x=0處取得最小值. 21.(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=(n∈N*). (1)求a2,a3,a4; (2)猜測數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. [解析] (1)由an+1=,可得a2==,a3===,a4===. (2)猜測an=(n∈N*). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=1時(shí),左邊=a1=a, 右邊==a,猜測成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)猜測成立, 即ak=. 則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1== = =. 故當(dāng)n=k+1時(shí),猜測也成立. 由①,②可知,對任意n∈N*都有 an=成立. 22.(本題

17、滿分14分)(xx·新課標(biāo)Ⅱ理,21)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx. (1)證明:f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增; (2)若對于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍. [解析] (1)f′(x)=m(emx-1)+2x. 若m≥0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),emx-1≤0,f′(x)<0; 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),emx-1≥0,f′(x)>0. 若m<0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),emx-1>0,f′(x)<0; 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),emx-1<0,f′(x)>0. 所以,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞

18、減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增. (2)由(1)知,對任意的m,f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,在[0,1]上單調(diào)遞增,故f(x)在x=0處取得最小值.所以對于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要條件是:即①,設(shè)函數(shù)g(t)=et-t-e+1,則g′(t)=et-1.當(dāng)t<0時(shí),g′(t)<0;當(dāng)t>0時(shí),g′(t)>0,故g(t)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故當(dāng)t∈[-1,1]時(shí),g(t)≤0,當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立.當(dāng)m>1時(shí),由g(t)的單調(diào)性,g(m)>0,即em-m>e-1;當(dāng)m<-1時(shí),g(-m)>0,即e-m+m>e-1.綜上,m的取值范圍是[-1,1].

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