2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 選修專題 第二講 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 選修專題 第二講 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 理1曲線的極坐標(biāo)方程(1)極坐標(biāo)系：一般地，在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系其中，點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸(2)極坐標(biāo)(，)的含義：設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，表示OM的長(zhǎng)度，表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角那么，有序數(shù)對(duì)(，)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)顯然，每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)，決定一個(gè)點(diǎn)的位置其中稱為點(diǎn)M的極徑，稱為點(diǎn)M的極角極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的最大區(qū)別在于：在直角坐標(biāo)系中，平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一

2、一對(duì)應(yīng)的，而在極坐標(biāo)系中，對(duì)于給定的有序數(shù)對(duì)(，)，可以確定平面上的一點(diǎn)，但是平面內(nèi)的一點(diǎn)的極坐標(biāo)卻不是唯一的(3)曲線的極坐標(biāo)方程：一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上的任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程f(，)0，并且坐標(biāo)適合方程f(，)0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(，)0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程2直線的極坐標(biāo)方程(1)過(guò)極點(diǎn)且與極軸成0角的直線方程是0和0，如下圖所示(2)與極軸垂直且與極軸交于點(diǎn)(a，0)的直線的極坐標(biāo)方程是cos a，如下圖所示(3)與極軸平行且在x軸的上方，與x軸的距離為a的直線的極坐標(biāo)方程為sin a，如下圖所示3圓的極坐標(biāo)方程(1)以極點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓的方程為r，

3、如圖1所示(2)圓心在極軸上且過(guò)極點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為2rcos_，如圖2所示(3)圓心在過(guò)極點(diǎn)且與極軸成的射線上，過(guò)極點(diǎn)且半徑為r的圓的方程為2rsin_，如圖3所示4極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化若極點(diǎn)在原點(diǎn)且極軸為x軸的正半軸，則平面內(nèi)任意一點(diǎn)M的極坐標(biāo)M(，)化為平面直角坐標(biāo)M(x，y)的公式如下：或者，tan ，其中要結(jié)合點(diǎn)所在的象限確定角的值1曲線的參數(shù)方程的定義在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x，y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參

4、數(shù)2常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程(1)過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為的直線：(t為參數(shù))，其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P(x0，y0)為起點(diǎn)，點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論：設(shè)A，B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則|AB|tBtA|；線段AB的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于.(2)中心在P(x0，y0)，半徑等于r的圓：(為參數(shù))(3)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上的橢圓：(為參數(shù)).中心在點(diǎn)P(x0，y0)，焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(4)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上的雙曲線：(為參數(shù)).(5)

5、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的拋物線：(t為參數(shù)，p0)注：sec .3參數(shù)方程化為普通方程由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù)，消參數(shù)時(shí)常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，消參數(shù)時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)x，y的限制1已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)是(2，2)2把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(，)化為極坐標(biāo)，結(jié)果為3曲線的極坐標(biāo)方程4sin 化為直角坐標(biāo)方程為x2(y2)244以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2cos5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：(為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為3解析：由直線l：得yxa.由橢圓C：得1.所以橢圓

6、C的右頂點(diǎn)為(3，0)因?yàn)橹本€l過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，所以03a，即a3.一、選擇題1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是(C)A. B.C. D.2若圓的方程為(為參數(shù))，直線的方程為(t為參數(shù))，則直線與圓的位置關(guān)系是(B)A相離 B相交C相切 D不能確定3以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是4cos ，則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為(D)A. B2C. D2解析：由題意可得直線和圓的方程分別為xy40，x2

7、y24x，所以圓心C(2，0)，半徑r2，圓心(2，0)到直線l的距離d，由半徑，圓心距，半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，解得弦長(zhǎng)為2.4已知?jiǎng)又本€l平分圓C：(x2)2(y1)21，則直線l與圓O：(為參數(shù))的位置關(guān)系是(A)A相交 B相切C相離 D過(guò)圓心解析：動(dòng)直線l平分圓C：(x2)2(y1)21，即圓心(2，1)在直線l上，又圓O：的普通方程為x2y29且22129，故點(diǎn)(2，1)在圓O內(nèi)，則直線l與圓O的位置關(guān)系是相交二、填空題5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是(是參數(shù))，若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，則曲線C的極坐標(biāo)方程可寫(xiě)為24sin_30解析：在平面直角坐標(biāo)系xOy中

8、，(是參數(shù))，根據(jù)sin2cos21，可得x2(y2)21，即x2y24y30.曲線C的極坐標(biāo)方程為24sin 30.6在平面直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的圓心的極坐標(biāo)為三、解答題7求極點(diǎn)到直線(R)的距離解析：由sin cos 1xy1，故d.8極坐標(biāo)系中，A為曲線22cos 30上的動(dòng)點(diǎn)，B為直線cos sin 70上的動(dòng)點(diǎn)，求|AB|的最小值9(xx大連模擬)曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，將曲線C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到曲線C2.以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為

9、極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：(cos 2sin )6.(1)求曲線C2和直線l的普通方程；(2)P為曲線C2上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最值解析：(1)由題意可得C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，即C2：1，直線l：(cos 2sin )6化為直角坐標(biāo)方程為x2y60.(2)設(shè)點(diǎn)P(2cos ，sin )，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)P到直線l的距離為d.所以d2，故點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為2，最小值為.10已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(3，5)，傾斜角為.(1)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|PB|的值解析：(1)由曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù))，得普通方程為(x1)2(y2)216，即x2y22x4y110.直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(3，5)，傾斜角為，直線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))(2)將直線的參數(shù)方程代入x2y22x4y110，整理，得t2(23)t30，設(shè)方程的兩根分別為t1，t2，則t1t23，因?yàn)橹本€l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，所以|PA|PB|t1t2|3.