2022年高三數(shù)學(xué)第一次診斷性考試試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次診斷性考試試題 文（含解析）新人教A版 第I卷（共50分） 【試卷綜析】試題在重視基礎(chǔ)，突出能力，體現(xiàn)課改，著眼穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)了新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題與老高考試題的嘗試性對接. 縱觀新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化思維量，控制運(yùn)算量，突出綜合性，破除了試卷的八股模式，以全新的面貌來詮釋新課改的理念，試題圖文并茂，文字闡述清晰，圖形設(shè)計(jì)簡明，無論是在試卷的結(jié)構(gòu)安排方面，還是試題背景的設(shè)計(jì)方面，都進(jìn)行了大膽的改革和有益的探索，應(yīng)當(dāng)說是一份很有特色的試題. 一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

2、題目要求的. 【題文】1.已知集合 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】一元二次不等式的解法；集合運(yùn)算. A1 E3 【答案解析】D 解析：，所以,故選D. 【思路點(diǎn)撥】化簡集合N，求得. 【題文】2.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于 A.2 B. C. D. 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算. L4 【答案解析】A 解析：由=是純虛數(shù)得：， 解得a=2，故選A. 【思路點(diǎn)撥】化簡已知復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件求得a值. 【題文】3.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的 A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必

3、要條件 D.既不充分又不必要條件 【知識點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性. B3 【答案解析】B 解析：函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)的充要條件是： ，即.又是的真子集，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的充分不必要條件，故選B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)集合關(guān)系，若A是B的真子集，則A是B的充分不必要條件. 【題文】4.已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于 A.1 B.2 C.3 D.4 【知識點(diǎn)】函數(shù)值的意義. B1 【答案解析】B 解析：因?yàn)?，所以? ,即a=1.故選B. 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)值的意義得關(guān)于a的方程即可. 【題文】5.已知兩個(gè)不同的平面和兩個(gè)不重合的直線m、n，有下列四個(gè)命

4、題： ①若； ②若； ③若； ④若. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【知識點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系；空間中的垂直關(guān)系. G4 G5 【答案解析】D 解析：根據(jù)線面垂直的定義、平行線的性質(zhì)、線面垂直的判定得①正確； 由線面垂直的性質(zhì)、面面平行的判定定理得②正確；因?yàn)?。所以? 又因?yàn)椋?，故③正確；若，則m與n可能平行，也可能異面，故④不正確，所以選D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)空間線、面平行于垂直的判定與性質(zhì)，一一判斷每個(gè)命題的正誤. 【題文】6.若實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值是 A.8 B.7 C.4 D.2 【知識點(diǎn)】

5、簡單的線性規(guī)劃問題. E5 【答案解析】B解析：設(shè)，畫出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)z=0時(shí)的直線y=-2x，得使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解是直線x-y=2與直線x+y=4的交點(diǎn)坐標(biāo)（3，1）,所以的最大值是，故選B. 【思路點(diǎn)撥】畫出可行域，平移直線y=-2x，得使取得最大值的最優(yōu)解是直線x-y=2與直線x+y=4的交點(diǎn)坐標(biāo)（3，1）,所以的最大值是7. 【題文】7.一個(gè)三棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正三角形，其正（主）視圖如右圖所示.該三棱錐側(cè)面積和體積分別是 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】空間幾何體的三視圖；空間幾何體的結(jié)構(gòu). G1 G2 【答案解析】A解析：根據(jù)

6、題意知，此幾何體是底面邊長2， 高為2 的正三棱錐，則底面正三角形的高為，從而斜高為，所以該三棱錐側(cè)面積為，體積為，故選A. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖可得該幾何體的結(jié)構(gòu)是底面邊長2，高為2 的正三棱錐，則底面正三角形的高為，從而斜高為，由此求得該三棱錐側(cè)面積和體積. 【題文】8.若函數(shù)的大致圖像如右圖， 其中為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖像是 【知識點(diǎn)】函數(shù)圖像的應(yīng)用. B8 【答案解析】B解析：由函數(shù)的大致圖像可得：所以是減函數(shù)，的圖像由圖像向上平移b個(gè)單位得到，所以函數(shù)的大致圖像是B，故選B. 【思路點(diǎn)撥】由已知函數(shù)圖像得，所以是減函數(shù)，的

7、圖像由圖像向上平移b個(gè)單位得到，所以函數(shù)的大致圖像是B. 【題文】9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì). H6 【答案解析】A解析：此直線從與第二、四象限漸近線平行開始，繞焦點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與第一、三象限漸近線平行為止，這個(gè)過程中直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以此直線的斜率的取值范圍是，故選A. 【思路點(diǎn)撥】首先分析出，過點(diǎn)F與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線位置的圖形表現(xiàn)，然后求出其斜率的取值范圍. 【題文】10.設(shè)向量，定義一種運(yùn)算“”。向量

8、.已知，點(diǎn)的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最小值為 A. B. C.2 D. 【知識點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算. F2 【答案解析】B解析：根據(jù)題意得： =，設(shè)Q(X,Y),則（x是參數(shù)） 所以,即，所以的最小值為：-2， 故選B. 【思路點(diǎn)撥】由題設(shè)得，設(shè)Q(X,Y),則（x是參數(shù)），所以,即，所以的最小值為：-2. 第II卷（非選擇題 共100分） 二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分.將答案填在題中橫線上. 【題文】11.某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值等于_________. 【知識點(diǎn)】算法與程序框圖

9、. L1 【答案解析】解析：由程序框圖得循環(huán)過程中S,k的值依次為：（1）（2） （3） （4），此時(shí)滿足 ，所以輸出 = . 【思路點(diǎn)撥】由框圖得循環(huán)過程中S,k依次取的值，從而得到該程序運(yùn)行后輸出的值. 【題文】12.函數(shù)的圖像，其部分圖象如圖所示，則_______. 【知識點(diǎn)】的圖像與性質(zhì). C4 【答案解析】解析：由圖像得周期T=， 從而，所以，又是函數(shù)增區(qū)間上的零點(diǎn)，所以，所以， 所以. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖像確定函數(shù)的周期、初相，從而得到函數(shù)解析式，進(jìn)而求得的值. 【題文】13.已知圓C過點(diǎn)，且圓心在軸的負(fù)半軸上，直線被該圓所截得的弦

10、長為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.］ 【知識點(diǎn)】直線與圓；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. H3 H4 【答案解析】解析：設(shè)圓心C（a,0），則C到直線y=x+1的距離d=， 圓半徑，由勾股定理得，解得a=1(舍去)或a=-3，所以圓心C(-3，0),半徑2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題設(shè)條件及垂徑定理，求得圓心坐標(biāo)及半徑從而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【題文】14.下面給出的四個(gè)命題中： ①以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為； ②若，則直線與直線相互垂直； ③命題“，使得”的否定是“，都有”； ④將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象。

11、 其中是真命題的有___________（將你認(rèn)為正確的序號都填上）。 【知識點(diǎn)】命題的真假. A2 【答案解析】①②③ 解析：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F（1,0）,且F到原點(diǎn)的距離為1， 所以，以F為圓心坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為，故①正確；當(dāng)m=-2時(shí) ，兩直線方程分別為，顯然這兩條直線垂直，故②正確；根據(jù)含量詞的命題的否定知命題③正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，故④不正確.所以填①②③. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線互相垂直的條件，含量詞的命題的否定方法，確定命題①、②、③正確；根據(jù)圖像左右的口訣:左加、右減，得命題④不正確. 【題文】15.已知恒成立，

12、則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______. 【知識點(diǎn)】基本不等式.E1 【答案解析】-4＜m＜2 解析：解：解：根據(jù)題意，x＞0，y＞0，則，即的最小值為8， 若恒成立，必有m2+2m＜8恒成立，m2+2m＜8?m2+2m-8＜0， 解可得，-4＜m＜2，故答案為-4＜m＜2． 【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是利用基本不等式求出的最小值． 三、解答題：本大題共6個(gè)小題.共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 【題文】16.（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為，且滿足. （I）求的面積； （II）若、的值. 【知識點(diǎn)】解三角形. C8 【答案解析】

13、（I）2；（II） 解析：（I） ------2分 而----4分 又-----5分 ------6分 （II）而c=1，-------9分 ------10分 又.-------12分 【思路點(diǎn)撥】（I）利用二倍角公式,再由平方關(guān)系求,由向量的數(shù)量積定義式求出bc，再用三角形面積個(gè)公式求解；（II）由（I）的結(jié)論及c=1得b=5，再根據(jù)余弦定理求a， 正弦定理求. 【題文】17.（本小題滿分12分） 如圖所示，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且分別是線段PA、PD、CD、BC的中點(diǎn). （I）求證：BC//平面EFG； （II）求證：平面AEG； （III）

14、求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比. 【知識點(diǎn)】線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)；錐體的體積. G1 G4 G5 【答案解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ） 解析：（Ⅰ）∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF．．．．．．．．．．2分 ∥平面EFG．．．．．．．．．．．．3分 （Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH ，即 AE⊥DH．．．．．．．．．．5分 ∵△ADG≌△DCH ，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90° ∴∠AGD+∠HDC=90° ∴DH⊥AG 又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG．．．．．．．．．．．．8分

15、 （Ⅲ）．．．．．．．．．．．．．．． 10分 ．．．．．．．．．．．．．．．12分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理，只需證；（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的判定定理，只需證DH與平面AEG中的兩條相交直線AE、AG都垂直盡即可； （Ⅲ）, 而，由此求得三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比. 【題文】18.（本小題滿分12分） 某公司有男職員45名，女職員15名，按照分層抽樣的方法組建了一個(gè)4人的科研攻關(guān)小組. （I）求某職員被抽到的概率及科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù)； （II）經(jīng)過一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論，這個(gè)科研攻關(guān)組決定選出兩名職員做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，方法是先從小組里選出1名職

16、員做實(shí)驗(yàn)，該職員做完后，再從小組內(nèi)剩下的職員中選一名做實(shí)驗(yàn)，求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率； （III）試驗(yàn)結(jié)束后，第一次做試驗(yàn)的職員得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為68，70，71，72，74，第二次做試驗(yàn)的職員得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為69，70，70，72，74，請問哪位職員的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定？并說明理由. 【知識點(diǎn)】抽樣方法；古典概型；一組數(shù)據(jù)的數(shù)字特征. I1 K2 【答案解析】（I）某職員被抽到的概率為，男、女職員的人數(shù)分別為3,1；（II）； （III）第二次做試驗(yàn)的職員做的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定，（理由：略）. 解析：（I）某職員被抽到的概率為--2分 設(shè)有x名職員，則，男、女職員的人數(shù)分別為3,

17、1----4分 （II）把3名男職員和1名女職員記為，則選取兩名小于的基本事件有 共12 種，其中有一名女職員的有6種，所以選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率為---------8分 （Ⅲ）， ， 第二次做試驗(yàn)的職員做的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定………………………12分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式某職員被抽到的概率，由抽樣比乘以每層的人數(shù)為此層抽到的人數(shù)，得科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù)；（Ⅱ）從這4名職員中有順序的抽取兩名職員的情況用列舉法知有12種，其中恰有一名女職員的有6種，據(jù)此得所求概率；（Ⅲ）分別求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差得距結(jié)論. 【

18、題文】19.（本小題滿分12分） 在數(shù)列中，已知. （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （III）設(shè)數(shù)列滿足的前項(xiàng)和. 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和. D2 D3 【答案解析】（I）；（II）略；（III）. 解析：（I） ,∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， ∴.…………………………………………………………………3分 （II） ………………………………………………………………4分 ∴.………………………………………………………6分 ∴，公差 ∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列. ……………………

19、…………7分 （III）由（1）知，, ∴ ……………………………………………………8分 ∴ ……………………………10分 …………………………12分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）易知數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得； （Ⅱ）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式判斷數(shù)列是等差數(shù)列； （Ⅲ）由于數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列通項(xiàng)的和構(gòu)成的，所以用分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【題文】20.（本小題滿分13分） 已知函數(shù). （I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （II）若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值； （III）設(shè)在區(qū)間上的最小值.（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)） 【知識點(diǎn)

20、】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B12 【答案解析】（I）的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是（0,2）； （II）1；（III）當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值=；當(dāng)時(shí)，最小值為. 解析：（I）----------3分 在區(qū)間和上，；在區(qū)間（0,2）上， 所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是（0,2）.---4分 （II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則---------7分 解得.-----------8分 （Ⅲ）， 則， …………………9分 解，得， 所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)， 在區(qū)間上，為遞增函數(shù).

21、 ……………10分 當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)， 所以最小值為. 當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)， 所以最小值為. ………………11分 當(dāng)，即時(shí)，最小值 =. ………………12分 綜上所述，當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值=；當(dāng)時(shí)，最小值為. ………13分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由定義域上，導(dǎo)函數(shù)大于0的區(qū)間是增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0的區(qū)間是減區(qū)間求得結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)及字母常數(shù)a的方程組，求得實(shí)數(shù)a；（Ⅲ）導(dǎo)數(shù)法求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最

22、值. 【題文】21.（本小題滿分14分） 已知橢圓過點(diǎn)，且長軸長等于4. （I）求橢圓C的方程； （II）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是以為直徑的圓，直線O相切，并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若，求k的值. 【知識點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的關(guān)系.H5,H8 【答案解析】(I) (II) 解析：解：（Ⅰ）由題意，橢圓的長軸長，得，…………2分 ∵點(diǎn)在橢圓上，∴得，…………４分 ∴橢圓的方程為.………………6分 (II)由直線L與圓O相切，得，即，設(shè)由消去y，整理得，由題意可知圓O在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交 …………10分 ∴………………11分 ∵，∴.………………１2分 ∵，∴，，得k的值為.…………13分 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可直接求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系列出關(guān)系式求出K的取值.