《2021高考數學一輪復習 第11章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第7節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數學一輪復習 第11章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第7節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布教學案 理 北師大版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第七節(jié)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布最新考綱1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念.2.會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單實際問題.3.借助直觀直方圖認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義1離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為P(Xai)pi(i1,2，r)(1)均值EXa1p1a2p2arpr，均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”(2)方差DXE(XEX)2為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度2均值與方差的性質(1)E(aXb)aEXb.(2)D(aXb)a2DX(a，b為
2、常數)3兩點分布與二項分布的均值、方差均值方差變量X服從兩點分布EXpDXp(1p)XB(n，p)EXnpDXnp(1p)4正態(tài)分布(1)XN(，2)，表示X服從參數為和2的正態(tài)分布(2)正態(tài)分布密度函數的性質：函數圖像關于直線x對稱；(0)的大小決定函數圖像的“胖”“瘦”；p(X)68.3%；p(2X2)95.4%；p(3X3)99.7%.1均值與方差的關系：DXEX2E2X.2超幾何分布的均值：若X服從參數為N，M，n的超幾何分布，則EX.一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的()(2)若XN(，2)，則，2分別表示正態(tài)分布的均值和
3、方差()(3)隨機變量的均值是常數，樣本的平均值是隨機變量()(4)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越小. ()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1已知X的分布列為X101Pa設Y2X3，則EY的值為()AB4C1D1A由概率分布列的性質可知：a1，a.EX(1)01.EY32EX3.2若隨機變量X滿足P(Xc)1，其中c為常數，則D(X)的值為_0P(Xc)1，EXc1c，DX(cc)210.3已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X2c1)P(X2c1)P(Xc3)，2c1c332，c.4甲、乙兩工人在一天生
4、產中出現的廢品數分別是兩個隨機變量X，Y，其分布列分別為：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產量相等，則甲、乙兩人中技術較好的是_乙EX00.410.320.230.11.EY00.310.520.20.9，因為EYEX，所以乙技術好考點1求離散型隨機變量的均值、方差求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值(2)求X取每個值時的概率(3)寫出X的分布列(4)由均值的定義求EX.(5)由方差的定義求DX.為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費
5、，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量(單位：元)，求的分布列與數學期望E，方差D.解(1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為0,40,80元，兩人都付0元的概率為p1，兩人都付40元的概率為p2，兩人都付80元的概率為p3，則兩人所付費用相同的概率為pp1p2p3.(2)由題設甲、乙所付費用之和為，可能取值為0,40,80,
6、120,160，則：P(0)；P(40)；P(80)；P(120)；P(160).的分布列為04080120160PE0408012016080.D(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.(1)求離散型隨機變量的均值與方差關鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算(2)注意E(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX的應用教師備選例題1(2019杭州模擬)已知0a，隨機變量的分布列如下：101Paa當a增大時，()AE增大，D增大BE減小，D增大CE增大，D減小DE減小，D減小B由題意得，Ea，D2a22a22a，又0a
7、，當a增大時，E減小，D增大2設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分(1)當a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量為取出此球所得分數若E，D，求abc.解(1)由題意得2,3,4,5,6，故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E，D222，化簡得解得a3c，b2c，故abc321.1.(2018全國卷)某群體
8、中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，DX2.4，P(X4)P(X6)，則p()A0.7B0.6C0.4D0.3B由題意知，該群體的10位成員使用移動支付的概率分布符合二項分布，所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6)，得Cp4(1p)6Cp6(1p)4，即(1p)20.5，所以p0.6.2大豆是我國主要的農作物之一，因此，大豆在農業(yè)發(fā)展中占有重要的地位，隨著農業(yè)技術的不斷發(fā)展，為了使大豆得到更好的種植，就要進行超級種培育研究某種植基地培育的“超級豆”種子進行種植測試：選擇一塊營養(yǎng)均衡
9、的可種植4株的實驗田地，每株放入三粒“超級豆”種子，且至少要有一粒種子發(fā)芽這株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205 kg.已知每粒豆苗種子成活的概率為(假設種子之間及外部條件一致，發(fā)芽相互沒有影響)(1)求恰好有3株成活的概率；(2)記成活的豆苗株數為，收成為(kg)，求隨機變量分布列及的數學期望E.解(1)設每株豆子成活的概率為P0，則P013.所以4株中恰好有3株成活的概率PC31.(2)記成活的豆苗株數為，收成為2.205，則的可能取值為0,1,2,3,4，且B，所以的分布列如下表：01234PC4C13C22C31C4E43.5，EE(2.205)2.205E7.717
10、 5(kg)考點2均值與方差在決策中的應用利用均值、方差進行決策的2個方略(1)當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷(2)若兩隨機變量均值相同或相差不大則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策某投資公司在2019年年初準備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項目二：通信設備據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和.針對以上兩
11、個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由解若按“項目一”投資，設獲利為X1萬元，則X1的分布列為X1300150PEX1300(150)200.若按“項目二”投資，設獲利為X2萬元，則X2的分布列為X25003000PEX2500(300)0200.DX1(300200)2(150200)235 000，DX2(500200)2(300200)2(0200)2140 000.EX1EX2，DX1DX2，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和
12、全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定教師備選例題某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(1)求X的分布列；(2)若
13、要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n19與n20之中選其一，應選用哪個？解(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0
14、.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)當n19時，EY192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.當n20時，EY202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知當n19時所需費用的期望值小于當n20時所需費用的期望值，故應選n19.(2019合肥二模)某種大型醫(yī)療檢查機器生產商，對一次性購買2臺機器的客戶，推出兩種超過質保期后
15、兩年內的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7 000元，在延保的兩年內可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2 000元；方案二：交納延保金10 000元，在延保的兩年內可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1 000元某醫(yī)院準備一次性購買2臺這種機器現需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數，得下表：維修次數0123臺數5102015以這50臺機器維修次數的頻率代替1臺機器維修次數發(fā)生的概率記X表示這2臺機器超過質保期后延保的兩年內共需維修的次數(1)求X的分布列；(2)以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據，醫(yī)院選擇哪種延保方
16、案更合算？解(1)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6.P(X0)，P(X1)2，P(X2)2，P(X3)22，P(X4)2，P(X5)2，P(X6)，X的分布列為X0123456P(2)選擇延保方案一，所需費用Y1元的分布列為：Y17 0009 00011 00013 00015 000PEY17 0009 00011 00013 00015 00010 720(元)選擇延保方案二，所需費用Y2元的分布列為：Y210 00011 00012 000PEY210 00011 00012 00010 420(元)EY1EY2，該醫(yī)院選擇延保方案二較合算考點3正態(tài)分布關于正態(tài)總體在某個區(qū)間
17、內取值的概率求法(1)熟記P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.正態(tài)曲線關于直線x對稱，從而在關于x對稱的區(qū)間上概率相等；P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)(2017全國卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2)(1)假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數，求P(X1)及X的數學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(3，3)
18、之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得xi9.97，s)0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1,2，16.用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差s作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除(3，3)之外的數據，用剩下的數據估計和(精確到0.01)附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(，
19、2)，則P(3Z3)0.997 4,0.997 4160.959 2，0.09.解(1)抽取的一個零件的尺寸在(3，3)之內的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 6，故XB(16,0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X的數學期望EX160.002 60.041 6.(2)如果生產狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況
20、，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的由9.97，s0.212，得的估計值為9.97，的估計值為0.212，由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對當天的生產過程進行檢查剔除(3，3)之外的數據9.22，剩下數據的平均數為(169.979.22)10.02.因此的估計值為10.02.x160.2122169.9721 591.134，剔除(3，3)之外的數據9.22，剩下數據的樣本方差為(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估計值為0.09.本題考查正態(tài)分布、概率統(tǒng)計問題的綜合，是在知識網絡的交匯處命制的一道較為新穎的試
21、題正態(tài)分布與統(tǒng)計案例有些知識點是所謂的高考“冷點”，由于考生對這些“冷點”的內容重視不夠，復習不全面，一旦這些“冷點”知識出了考題，雖然簡單但也做錯，甚至根本不會做，因而錯誤率相當高本題求解的關鍵是借助題設提供的數據對問題做出合理的分析，其中方差公式的等價變形是數據處理的關鍵點1.在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(1,1)的密度曲線)的點的個數的估計值為()附：若XN(，2)，則P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A1 193 B1 359C2 718 D3 413B對于正態(tài)分布N(1,1)，1，1，正態(tài)曲線關于x1對稱，故題圖中
22、陰影部分的面積為P(3X1)P(2X0)P(2X2)P(X)(0.954 40.682 6)0.135 9，所以點落入題圖中陰影部分的概率P0.135 9，投入10 000個點，落入陰影部分的個數約為10 0000.135 91 359.2為評估設備M生產某種零件的性能，從設備M生產零件的流水線上隨機抽取100個零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm5859616263646566個數11356193318直徑/mm676869707173合計個數442121100經計算，樣本直徑的平均值65，標準差2.2，以頻率值作為概率的估計值(1)為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中
23、任意抽取一件，記其直徑為X，并根據以下不等式進行評判(P表示相應事件的概率)：P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；若僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部都不滿足，則等級為丁，試判斷設備M的性能等級(2)將直徑小于等于2或直徑大于2的零件認為是次品從設備M的生產流水線上隨機抽取2件零件，計算其中次品件數Y的數學期望EY；從樣本中隨機抽取2件零件，計算其中次品件數Z的數學期望EZ.解(1)P(X)P(62.80.682 6，P(2X2)P(60.6X69.4)0.940.954 4，P(3X3)P(58.4X71.6)0.980.997 4，因為設備M的數據僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙(2)易知樣本中次品共6件，可估計設備M生產零件的次品率為0.06.由題意可知YB，于是EY2.由題意可知Z的分布列為Z012P故EZ012.13
2021高考數學一輪復習 第11章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第7節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布教學案 理 北師大版
